AMC 8 · 2009 · #17

학년 8 number-theory

prime-factorizationperfect-squaresexponents identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: prime-factorizationexponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

The positive integers $x$ and $y$ are the two smallest positive integers for which the product of $360$ and $x$ is a square and the product of $360$ and $y$ is a cube. What is the sum of $x$ and $y$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

115

(D)

165

(E)

610

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $360 \cdot x$ 가 완전제곱수가 되게 하는 가장 작은 양의 정수를 $x$, $360 \cdot y$ 가 완전세제곱수가 되게 하는 가장 작은 양의 정수를 $y$ 라 합시다. $x + y$ 를 구하세요.

주어진 것: 기준이 되는 수는 $360$; $360 \cdot x$ 는 완전제곱수여야 한다; $360 \cdot y$ 는 완전세제곱수여야 한다; $x$, $y$ 는 이 조건을 만족하는 가장 작은 양의 정수; 선택지: (A) $80$, (B) $85$, (C) $115$, (D) $165$, (E) $610$

구하는 것: $x + y$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #12 규칙 찾기

한 문제처럼 보이지만 사실은 "$x$ 구하기" 와 "$y$ 구하기" 라는 독립된 두 문제를 합으로 묶어 놓은 구조입니다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 자연스러운 출발점 — 각각 푼 다음 마지막에 더하면 됩니다. 두 소문제는 모두 같은 준비물(360의 소인수분해와 지수)을 씁니다. 도구 #12(규칙 찾기)는 두 소문제를 관통하는 패턴을 이름 붙여 줍니다: 어떤 수가 완전제곱수(또는 세제곱수)가 되려면 각 소인수의 지수를 다음 짝수(또는 $3$의 배수)까지 끌어올리면 된다. 이 한 줄짜리 규칙이 $360$ 의 소인수분해만 있으면 $x$ 와 $y$ 를 기계적으로 만들어 줍니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 1

$360$ 을 소인수분해합니다.
$360 = 36 \cdot 10$ 에서 $36 = 2^2 \cdot 3^2$, $10 = 2 \cdot 5$ 를 꺼내 합치면, 세 소인수 $(2, 3, 5)$ 의 지수는 $(3, 2, 1)$ 입니다.

$$360 = 36 \cdot 10 = (2^2 \cdot 3^2)(2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$$

💡 소인수의 지수를 읽어 내는 것은 6학년 수론 기본 동작이며, 제곱·세제곱 질문을 "각 지수별 조건" 으로 바꿔 줍니다.

#12 규칙 찾기 8.EE.A.2 단계 2

$360x$ 가 완전제곱수가 되게 하는 가장 작은 $x$ 를 찾습니다.
완전제곱수는 모든 소인수 지수가 짝수여야 합니다.
현재 지수 $(3, 2, 1)$ 을 가장 가까운 짝수까지 올리면 $3 \to 4$, $2 \to 2$, $1 \to 2$.
따라서 $x$ 가 채워야 할 양은 $2^{4-3} \cdot 3^{2-2} \cdot 5^{2-1} = 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^1$ 입니다.

$$x = 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^1 = 2 \cdot 5 = 10$$

💡 "각 지수를 다음 짝수까지 올린다" 가 완전제곱수의 패턴(도구 #12)이며, 지수와 제곱을 연결하는 8학년 사고와 정확히 맞물립니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 3

$x = 10$ 을 확인합니다.
$360 \cdot 10 = 3600 = 60^2$ 이므로 $360 \cdot 10$ 은 진짜 완전제곱수입니다.

$$360 \cdot 10 = 3600 = 60^2 \;\checkmark$$

💡 제곱근을 직접 확인하는 것은 지수 계산이 맞았는지 보는 빠른 점검입니다.

#12 규칙 찾기 8.EE.A.2 단계 4

$360y$ 가 완전세제곱수가 되게 하는 가장 작은 $y$ 를 찾습니다.
완전세제곱수는 모든 지수가 $3$ 의 배수여야 합니다.
지수 $(3, 2, 1)$ 을 가장 가까운 $3$ 의 배수까지 올리면 $3 \to 3$, $2 \to 3$, $1 \to 3$.
따라서 $y$ 가 채워야 할 양은 $2^{3-3} \cdot 3^{3-2} \cdot 5^{3-1} = 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^2$ 입니다.

$$y = 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$$

💡 앞 단계와 같은 규칙에서 "다음 짝수" 만 "$3$ 의 배수" 로 바꾼 것 — 규칙이 풀이보다 한 줄 더 깁니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 5

$y = 75$ 를 확인합니다.
$360 \cdot 75 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5^2 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 3 \cdot 5)^3 = 30^3 = 27000$ 이므로 $360 \cdot 75$ 는 정말 완전세제곱수입니다.

$$360 \cdot 75 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^3 = 30^3 = 27000 \;\checkmark$$

💡 지수가 모두 $3$ 으로 맞아 $(2 \cdot 3 \cdot 5)^3$ 로 묶이는 모습이 세제곱 조건이 채워졌다는 시각적 확인입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 6

두 소문제의 답을 더해 마무리합니다.

$$x + y = 10 + 75 = 85 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 "이제 합한다" 는 도구 #7 분할의 마지막 단계 — 두 소문제만 풀리면 나머지는 한 자리 덧셈입니다.

[1] #7 6.NS.B.4 $360$ 을 소인수분해합니다. $360 = 36 \cdot 10$ 에서 $36 = 2^2 \cdot 3^2$, $10 = 2 \cdot 5$

[2] #12 8.EE.A.2 $360x$ 가 완전제곱수가 되게 하는 가장 작은 $x$ 를 찾습니다. 완전제곱수는 모든 소인수 지수가 짝수여야 합니다. 현재 지수 $(3, 2

[3] #7 8.EE.A.2 $x = 10$ 을 확인합니다. $360 \cdot 10 = 3600 = 60^2$ 이므로 $360 \cdot 10$ 은 진짜 완전제곱수입니다.

[4] #12 8.EE.A.2 $360y$ 가 완전세제곱수가 되게 하는 가장 작은 $y$ 를 찾습니다. 완전세제곱수는 모든 지수가 $3$ 의 배수여야 합니다. 지수 $(3,

[5] #7 8.EE.A.2 $y = 75$ 를 확인합니다. $360 \cdot 75 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5^2 = 2^3

[6] #7 4.NBT.B.4 두 소문제의 답을 더해 마무리합니다.

검토

합리성 확인: 선택지의 크기로 점검합니다. 보기는 $80$ 부터 $610$ 까지 분포돼 있고, 가운데에 있는 $85, 115, 165$ 는 $10 + 75$ 와 비슷한 규모입니다. 극단의 $80$ 이나 $610$ 이 답이 되려면 $y$ 가 $70$ 근처나 $600$ 근처여야 하는데, $360 \cdot 600 = 216000 = 60^3$ 은 "가장 작은" 세제곱 배수가 아니고 $360 \cdot 70 = 25200$ 은 세제곱수도 아닙니다. 소인수 분석이 가리키는 $85$ 가 보기의 구조와도, 규모와도 모두 맞아떨어집니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 보기를 직접 대입해 봅시다. $x$ 후보 중 $1, 2, 5$ 는 모두 $360x$ 가 제곱수가 되지 못해 탈락하고, $x = 10$ 만 살아남습니다 ($3600 = 60^2$). $x = 10$ 으로 고정한 뒤, 보기 $\{80, 85, 115, 165, 610\}$ 에서 $y = $ (보기) $- 10$ 을 만들어 보면 $70, 75, 105, 155, 600$ 이 나오는데, $360y$ 를 세제곱수로 만드는 값은 $y = 75$ 하나뿐 ($30^3 = 27000$) 이므로 답은 (B) 로 유일하게 결정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 능숙히 수행 (두 소문제 풀이 후 최종 합 $x + y = 10 + 75 = 85$ 를 계산하는 데 사용.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 (풀이 전체의 토대인 소인수분해 $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ 을 수행하는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호와 해의 표현, 완전제곱수·완전세제곱수의 이해 ("$360x$ 가 완전제곱수", "$360y$ 가 완전세제곱수" 라는 조건을 소인수 지수 조건(모두 짝수 / 모두 $3$ 의 배수)으로 번역하고, $3600 = 60^2$, $27000 = 30^3$ 을 확인하는 데 사용.)

⭐ $360$ 을 소인수로 쪼갠 뒤, 제곱수에서는 각 지수를 다음 짝수, 세제곱수에서는 다음 $3$ 의 배수까지 올리는 한 가지 규칙으로 $x$ 와 $y$ 가 한 번에 나옵니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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