AMC 8 · 2010 · #16
학년 8 geometry-2d문제
정사각형과 원의 넓이가 같습니다. 정사각형의 한 변의 길이와 원의 반지름의 비는 얼마일까요?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정사각형과 원의 넓이가 정확히 같습니다. 정사각형의 한 변의 길이와 원의 반지름의 비는 얼마인가요?
주어진 것: 정사각형의 넓이 $=$ 원의 넓이; 정사각형 넓이 공식: $s^2$ ($s$ 는 한 변의 길이); 원의 넓이 공식: $\pi r^2$ ($r$ 은 반지름); 선택지: (A) $\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$, (B) $\sqrt{\pi}$, (C) $\pi$, (D) $2\pi$, (E) $\pi^2$
구하는 것: 비 $\dfrac{s}{r}$ (정사각형 한 변 $:$ 원 반지름)
이해
문제 재정리: 정사각형과 원의 넓이가 정확히 같습니다. 정사각형의 한 변의 길이와 원의 반지름의 비는 얼마인가요?
주어진 것: 정사각형의 넓이 $=$ 원의 넓이; 정사각형 넓이 공식: $s^2$ ($s$ 는 한 변의 길이); 원의 넓이 공식: $\pi r^2$ ($r$ 은 반지름); 선택지: (A) $\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$, (B) $\sqrt{\pi}$, (C) $\pi$, (D) $2\pi$, (E) $\pi^2$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #1 그림 그리기, #6 추측하고 확인하기
비 $s/r$ 은 실제 크기와 무관하므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 $r = 1$ 로 못 박으면 문제는 "넓이가 $\pi$ 인 정사각형의 한 변은?" 한 줄로 줄어듭니다 — 추상적인 변수 없이 구체적인 한 경우만으로 비가 나옵니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 "넓이가 같다" 는 조건을 눈에 보이게 해 줍니다 — 반지름 $1$ 인 원과 같은 넓이의 정사각형을 나란히 그려 봅니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 는 객관식 안전망입니다 — 각 선택지를 제곱했을 때 $\pi$ 가 되는 것은 단 하나입니다.
실행 — 정답: B
3.MD.C.7 단계 1 - 그림으로 정리합니다.
- 한 변이 $s$ 인 정사각형과 반지름이 $r$ 인 원을 나란히 그리고, 각각의 넓이 $s^2$ 과 $\pi r^2$ 을 적습니다.
- 두 넓이가 같다는 조건이 곧 한 줄의 식입니다.
💡 3학년 정사각형 넓이 공식 (한 변 $\times$ 한 변) 과 원의 넓이 공식을 같다고 놓는 것이 그림에서 바로 보입니다.
7.G.B.4 단계 2 - 쉬운 경우로 줄입니다.
- 비 $s/r$ 은 어떤 크기 짝에서도 같으므로, 가장 간단한 원으로 $r = 1$ 을 고릅니다.
- 그러면 원의 넓이는 $\pi \cdot 1^2 = \pi$ 이고, 정사각형의 넓이도 $\pi$ 여야 합니다.
💡 7학년 원의 넓이 공식 $\pi r^2$ 은 $r = 1$ 에서 $\pi$ 로 간단해져 변수 $r$ 이 사라집니다.
8.EE.A.2 단계 3 - 한 변의 길이를 구합니다.
- 정사각형의 넓이는 한 변의 제곱이므로, 한 변은 넓이의 (양의) 제곱근입니다.
💡 제곱을 풀어 양의 제곱근으로 길이를 구하는 것은 8학년 "$x^2 = p$ 의 해를 제곱근 기호로 표현하기" 그대로입니다.
6.RP.A.1 단계 4 - 비를 만듭니다.
- $r = 1$, $s = \sqrt{\pi}$ 이므로, 한 변 대 반지름의 비는 곧 $s$ 자체입니다.
💡 두 길이의 비를 적는 것은 6학년 비의 정의 그 자체이고, 결과가 선택지 (B) 와 정확히 일치합니다.
3.MD.C.7 그림으로 정리합니다. 한 변이 $s$ 인 정사각형과 반지름이 $r$ 인 원을 나란히 그리고, 각각의 넓이 $s^2$ 과 $\pi r^2$ 을 적 7.G.B.4 쉬운 경우로 줄입니다. 비 $s/r$ 은 어떤 크기 짝에서도 같으므로, 가장 간단한 원으로 $r = 1$ 을 고릅니다. 그러면 원의 넓이는 $\ 8.EE.A.2 한 변의 길이를 구합니다. 정사각형의 넓이는 한 변의 제곱이므로, 한 변은 넓이의 (양의) 제곱근입니다. 6.RP.A.1 비를 만듭니다. $r = 1$, $s = \sqrt{\pi}$ 이므로, 한 변 대 반지름의 비는 곧 $s$ 자체입니다. 검토
합리성 확인: 크기 감각으로 점검합니다. $\sqrt{\pi} \approx \sqrt{3.14} \approx 1.77$ 이므로 정사각형의 한 변은 원의 반지름의 약 $1.77$ 배 — 즉 지름 ($2r$) 보다 살짝 작습니다. 그림으로도 맞습니다: 반지름 $r$ 인 원은 한 변이 $2r$ (넓이 $4r^2$) 인 정사각형 안에 쏙 들어가므로, 같은 넓이의 정사각형은 그보다 한 변이 살짝 짧아야 합니다. $1.77r$ 은 정확히 그 범위 안입니다. 다른 선택지는 이 검산을 통과 못 합니다 — $\pi \approx 3.14$, $2\pi \approx 6.28$ 이면 정사각형이 둘러싸는 $2r$ 정사각형보다 훨씬 커져 버려 불가능합니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 제곱해 봅니다. $s^2 = \pi r^2$ 에서 $r = 1$ 일 때 $s^2 = \pi$ 가 나와야 하므로, 각 후보를 제곱했을 때 $\pi$ 가 되는 것을 찾으면 됩니다. (A) $(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2})^2 = \tfrac{\pi}{4}$, (B) $(\sqrt{\pi})^2 = \pi$ ✓, (C) $\pi^2$, (D) $4\pi^2$, (E) $\pi^4$. 정확히 $\pi$ 를 돌려주는 것은 (B) 뿐입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
3.MD.C.7넓이를 곱셈과 연결하기; 자연수 변 길이를 가진 직사각형의 넓이 구하기 (정사각형의 넓이를 한 변 $\times$ 한 변 $= s^2$ 으로 쓰는 것 — 3학년 직사각형 넓이 개념을 정사각형에 적용.)7.G.B.4원의 넓이와 둘레 공식을 알고 문제 해결에 사용하기 (원의 넓이를 $\pi r^2$ 으로 쓰고, 쉬운 경우 $r = 1$ 에 대입해 넓이 $\pi$ 를 얻는 데 사용.)8.EE.A.2$x^2 = p$ 형태의 방정식의 해를 제곱근 기호로 나타내기 ($s^2 = \pi$ 에서 양의 제곱근을 취해 $s = \sqrt{\pi}$ 를 얻는 데 사용.)6.RP.A.1비의 개념을 이해하고 비 언어로 관계를 기술하기 ("한 변 대 반지름의 비" 라는 질문을 읽고 $s : r = \sqrt{\pi} : 1$ 로 정답을 식별하는 데 사용.)
⭐ 비가 크기에 안 달려 있을 때는, 가장 쉬운 경우 ($r = 1$) 를 고르면 문제 전체가 제곱근 하나로 줄어듭니다!
⭐ 비가 크기에 안 달려 있을 때는, 가장 쉬운 경우 ($r = 1$) 를 고르면 문제 전체가 제곱근 하나로 줄어듭니다!
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