AMC 8 · 2010 · #24

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition

exponentspattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: exponentsmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 수 $10^8$ , $5^{12}$ , $2^{24}$ 의 올바른 대소 순서는 어느 것일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2^{24}<10^8<5^{12}$

(B)

$2^{24}<5^{12}<10^8$

(C)

$5^{12}<2^{24}<10^8$

(D)

$10^8<5^{12}<2^{24}$

(E)

$10^8<2^{24}<5^{12}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 수 $10^8$, $5^{12}$, $2^{24}$ 를 작은 것부터 큰 것 순으로 나열하고, 그에 맞는 선택지를 고르세요.

주어진 것: 세 거듭제곱: $10^8$, $5^{12}$, $2^{24}$; 세 지수 모두 $4$ 의 배수: $8 = 4 \times 2$, $12 = 4 \times 3$, $24 = 4 \times 6$; 선택지: (A) $2^{24}<10^8<5^{12}$, (B) $2^{24}<5^{12}<10^8$, (C) $5^{12}<2^{24}<10^8$, (D) $10^8<5^{12}<2^{24}$, (E) $10^8<2^{24}<5^{12}$

구하는 것: $10^8$, $5^{12}$, $2^{24}$ 의 올바른 대소 순서

이해

문제 재정리: 세 수 $10^8$, $5^{12}$, $2^{24}$ 를 작은 것부터 큰 것 순으로 나열하고, 그에 맞는 선택지를 고르세요.

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 비슷한 문제 풀어보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

$9$ 자리짜리 수를 정면으로 비교하는 건 번거롭지만, 지수 $8$, $12$, $24$ 가 모두 공약수 $4$ 를 가집니다. 그래서 도구 #9 로, 원래 문제를 "네제곱근끼리 비교하기" 라는 더 쉬운 문제로 바꿉니다. 네제곱근은 양수에서 증가함수이므로 네제곱근의 순서가 곧 원래 수의 순서입니다. 그 뒤 도구 #7 로 세 수 비교를 작은 수 $10^2$, $5^3$, $2^6$ 사이의 짝 비교로 쪼개면, $6$ 학년 수준의 계산만으로 답이 나옵니다.

실행 — 정답: A

#9 더 쉬운 비슷한 문제 풀어보기 8.EE.A.1 단계 1

지수 법칙 $(a^m)^n = a^{mn}$ 을 이용해 세 수를 모두 "무언가의 $4$ 제곱" 꼴로 다시 씁니다.
$8 = 2 \cdot 4$, $12 = 3 \cdot 4$, $24 = 6 \cdot 4$ 이므로 바깥 지수가 모두 $4$ 로 통일됩니다.

$$10^8 = (10^2)^4, \quad 5^{12} = (5^3)^4, \quad 2^{24} = (2^6)^4$$

💡 지수를 $4$ 로 똑같이 맞추는 것이 핵심입니다 — 이제 밑 $10^2$, $5^3$, $2^6$ 만 비교하면 됩니다.

#9 더 쉬운 비슷한 문제 풀어보기 6.EE.A.1 단계 2

$x \mapsto x^4$ 는 양수에서 증가함수이므로, $A^4$ 과 $B^4$ 을 비교하는 것은 $A$ 와 $B$ 를 비교하는 것과 같습니다.
따라서 $10^8$, $5^{12}$, $2^{24}$ 의 순서는 밑 $10^2$, $5^3$, $2^6$ 의 순서와 같고, 비교 대상이 훨씬 작아집니다.

$10^8$ vs. $5^{12}$ vs. $2^{24}$ 대신 $10^2$ vs. $5^3$ vs. $2^6$ 을 비교

💡 어려운 문제를 "순서가 같은 더 쉬운 문제" 로 바꿔치기하는 게 도구 #9 의 핵심입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 3

작아진 세 거듭제곱의 값을 각각 계산합니다.
$6$ 학년이라면 암산으로도 가능한 수준입니다.

$$10^2 = 100, \quad 5^3 = 125, \quad 2^6 = 64$$

💡 $10^2$, $5^3$, $2^6$ 를 따로따로 구하는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 동작입니다 — 짧은 독립 계산 세 개.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.A.2 단계 4

세 값을 작은 것부터 큰 것 순으로 줄세웁니다.

$$64 < 100 < 125$$

💡 세 자릿수 안에 다 들어오니, 수직선 위에서 비교하는 것처럼 한눈에 정리됩니다.

#9 더 쉬운 비슷한 문제 풀어보기 8.EE.A.1 단계 5

그 순서를 원래 수에 그대로 옮겨 적습니다.
작은 수들이 각각 큰 수들의 네제곱근이었으므로, 동일한 부등식이 원래 거듭제곱에도 성립합니다.
이는 선택지 (A) 와 일치합니다.

$$2^6 < 10^2 < 5^3 \;\Longrightarrow\; 2^{24} < 10^8 < 5^{12} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 네제곱 함수가 순서를 보존하므로, 쉬운 비교의 결과가 원래 비교에도 그대로 옮겨 갑니다.

[1] #9 8.EE.A.1 지수 법칙 $(a^m)^n = a^{mn}$ 을 이용해 세 수를 모두 "무언가의 $4$ 제곱" 꼴로 다시 씁니다. $8 = 2 \cdot 4$,

[2] #9 6.EE.A.1 $x \mapsto x^4$ 는 양수에서 증가함수이므로, $A^4$ 과 $B^4$ 을 비교하는 것은 $A$ 와 $B$ 를 비교하는 것과 같습니다

[3] #7 6.EE.A.1 작아진 세 거듭제곱의 값을 각각 계산합니다. $6$ 학년이라면 암산으로도 가능한 수준입니다.

[4] #7 5.NBT.A.2 세 값을 작은 것부터 큰 것 순으로 줄세웁니다.

[5] #9 8.EE.A.1 그 순서를 원래 수에 그대로 옮겨 적습니다. 작은 수들이 각각 큰 수들의 네제곱근이었으므로, 동일한 부등식이 원래 거듭제곱에도 성립합니다. 이는

검토

합리성 확인: 어림으로도 확인해 봅시다. $2^{10} \approx 1000$ 이므로 $2^{24} = 2^{20} \cdot 2^4 \approx 10^6 \cdot 16 \approx 1.6 \times 10^7$ 로, $10^8$ 보다 한참 작습니다. 또 $10^8 = (5 \cdot 2)^8 = 5^8 \cdot 2^8 = 5^8 \cdot 256$ 이고 $5^{12} = 5^8 \cdot 5^4 = 5^8 \cdot 625$ 인데, $625 > 256$ 이므로 $5^{12} > 10^8$. 두 어림 모두 $2^{24} < 10^8 < 5^{12}$ 와 맞아떨어집니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 로, $4$ 제곱 대신 공통 지수를 $8$ 로 맞춰도 됩니다. $2^{24} = (2^3)^8 = 8^8$, $10^8$ 은 그대로, $5^{12} = (5^{3/2})^8 = (\sqrt{125})^8$. 지수가 같아졌으니 밑 $8$, $10$, $\sqrt{125} \approx 11.18$ 을 비교하면 됩니다. $8 < 10 < \sqrt{125}$ 이므로 같은 답 $2^{24} < 10^8 < 5^{12}$, 선택지 (A) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.NBT.A.2 $10$ 의 거듭제곱과 자리수 패턴 설명 ($10^8$ 을 $10$ 의 거듭제곱으로 읽고, 줄어든 세 값 $64$, $100$, $125$ 의 대소를 수직선 위에서 정리.)
6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식의 작성·계산 (쉬워진 식 $10^2 = 100$, $5^3 = 125$, $2^6 = 64$ 를 직접 계산.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질 이해와 활용 ($(a^m)^n = a^{mn}$ 으로 $10^8 = (10^2)^4$, $5^{12} = (5^3)^4$, $2^{24} = (2^6)^4$ 로 다시 써서 세 수의 바깥 지수를 $4$ 로 통일.)

⭐ 맞붙여 비교하기엔 너무 큰 수가 나오면, 공통 지수를 찾아 같은 거듭제곱근을 씌워 보세요 — 순서는 그대로, 숫자는 손으로 다룰 만한 크기로 줄어듭니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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