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AMC 8 · 2012 · #17

학년 4 geometry-2d
유형 Grid Tiling / Packing with Divisibility
area-rectanglesperfect-squaresspatial-visualizationsystematic-enumeration bound-inequality-then-enumeratephysical-representation ↑ 선수 지식: area-rectanglesperfect-squares
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 변의 길이가 정수인 정사각형을 1010 개의 정사각형으로 자르는데, 자른 정사각형들의 한 변의 길이도 모두 정수이고 그중 적어도 88 개는 넓이가 11 입니다. 원래 정사각형의 한 변의 길이로 가능한 가장 작은 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$hspace{.05in}3$
(B)
$hspace{.05in}4$
(C)
$hspace{.05in}5$
(D)
$hspace{.05in}6$
(E)
$hspace{.05in}7$
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 정수 $S$ 인 정사각형이 있습니다. 이 정사각형을 정확히 $10$ 개의 작은 정사각형으로 자르는데, 작은 정사각형들의 변의 길이도 모두 정수이고 그중 적어도 $8$ 개는 넓이가 $1$ (즉 한 변이 $1$) 입니다. $S$ 의 가능한 가장 작은 값은 얼마일까요?

주어진 것: 원래 정사각형의 한 변 $S$ 는 양의 정수; 원래 정사각형을 정확히 $10$ 개의 작은 정사각형으로 분할; $10$ 개 작은 정사각형 모두 변의 길이는 정수; 그중 적어도 $8$ 개는 넓이가 $1$ (한 변이 $1$); 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$

구하는 것: 원래 정사각형의 한 변 $S$ 의 가능한 가장 작은 정수 값

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 정수 $S$ 인 정사각형이 있습니다. 이 정사각형을 정확히 $10$ 개의 작은 정사각형으로 자르는데, 작은 정사각형들의 변의 길이도 모두 정수이고 그중 적어도 $8$ 개는 넓이가 $1$ (즉 한 변이 $1$) 입니다. $S$ 의 가능한 가장 작은 값은 얼마일까요?

주어진 것: 원래 정사각형의 한 변 $S$ 는 양의 정수; 원래 정사각형을 정확히 $10$ 개의 작은 정사각형으로 분할; $10$ 개 작은 정사각형 모두 변의 길이는 정수; 그중 적어도 $8$ 개는 넓이가 $1$ (한 변이 $1$); 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 관련 문제 풀기

보조 도구: #2 체계적으로 나열하기, #1 그림 그리기

처음부터 대수를 세우지 말고 도구 #9(더 쉬운 관련 문제) 로 선택지를 작은 쪽부터 직접 시험합니다 — "$S = 3$ 이 되나? $S = 4$ 가 되나?" 만 물어보면 됩니다. 넓이의 합 $S^2 = $ ($10$ 개 작은 넓이 합) 에서 바로 하한이 나오기 때문에 작은 선택지는 즉시 걸러집니다. 살아남은 후보에 대해 도구 #2(체계적으로 나열하기) 로 남은 두 정사각형의 변 $(s_9, s_{10})$ 후보를 모두 적어 보고, 도구 #1(그림 그리기) 로 그 조각들이 실제로 맞물려 정사각형을 채우는지를 확인합니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 관련 문제 풀기 3.MD.C.7 단계 1
  • 넓이 방정식을 세웁니다.
  • $10$ 개의 작은 정사각형이 원래 $S \times S$ 정사각형을 빈틈·겹침 없이 덮으므로, 그 넓이들을 모두 더하면 $S^2$ 가 됩니다.
$$S^2 = s_1^2 + s_2^2 + \dots + s_{10}^2$$

💡 정사각형 넓이 = (한 변) $\times$ (한 변) 이고, 서로 겹치지 않는 조각들의 넓이는 단순히 더하면 된다는 3학년 넓이 개념입니다.

#9 더 쉬운 관련 문제 풀기 4.OA.A.3 단계 2
  • $S^2$ 의 하한을 구합니다.
  • 적어도 $8$ 개의 조각은 넓이가 $1$ 이고, 나머지 $2$ 개도 변이 정수이므로 넓이가 각각 최소 $1$ 입니다.
  • 따라서 총 넓이는 최소 $8 + 1 + 1 = 10$ 이어야 합니다.
$$S^2 \ge 8 \cdot 1 + 1 + 1 = 10$$

💡 각 조각의 가능한 최솟값을 다 더해 전체의 최솟값을 만드는 4학년 여러 단계 추론입니다.

#9 더 쉬운 관련 문제 풀기 4.MD.A.3 단계 3
  • 가장 작은 선택지 $S = 3$ 부터 시험합니다.
  • 이때 $S^2 = 9$ 인데 $10$ 보다 작으므로 단위 정사각형 $10$ 개조차 담을 수 없습니다.
  • (A) 탈락.
$$3^2 = 9 < 10 \;\Rightarrow\; S = 3 \text{ 불가능}$$

💡 한 변 $3$ 인 정사각형 넓이와 필요한 최소 넓이 $10$ 을 비교하는 것은 4학년 "정사각형·직사각형 넓이 공식" 그대로입니다.

#2 체계적으로 나열하기 4.OA.B.4 단계 4
  • 다음 선택지 $S = 4$ 를 시험합니다.
  • $S^2 = 16$ 이고, 단위 정사각형 $8$ 개가 $8$ 을 차지하므로 나머지 두 정사각형이 차지해야 할 넓이는 $16 - 8 = 8$ 입니다.
  • $s_9^2 + s_{10}^2 = 8$ ($s_9, s_{10} \ge 1$ 정수) 을 만족하는 쌍을 나열하면: $(1, ?)$ 는 $?^2 = 7$ 이 필요한데 $7$ 은 완전제곱수가 아니라 실패; $(2, 2)$ 는 $4 + 4 = 8$ 로 성립.
  • 정수 해는 두 개의 $2 \times 2$ 뿐입니다.
$$s_9^2 + s_{10}^2 = 16 - 8 = 8 \;\Rightarrow\; (s_9, s_{10}) = (2, 2)$$

💡 $1, 4, 9, \dots$ 같은 작은 완전제곱수 중 합이 $8$ 인 쌍을 찾아보는 것은 4학년 "인수·배수 찾기" 의 습관입니다.

#1 그림 그리기 3.G.A.2 단계 5
  • 넓이만 맞는 게 아니라 실제로 타일링이 되는지 확인합니다.
  • 두 개의 $2 \times 2$ 정사각형을 위쪽에 나란히 놓으면 $4 \times 2$ 띠가 됩니다.
  • $4 \times 4$ 의 남은 아래쪽도 $4 \times 2$ 띠인데, 이는 $1 \times 1$ 정사각형 $8$ 개를 $4 \times 2$ 격자로 깔아 빈틈없이 채울 수 있습니다.
  • 따라서 $S = 4$ 는 실제로 가능합니다.
$$\underbrace{2 \times 2}_{\text{왼쪽 위}} \;\;\underbrace{2 \times 2}_{\text{오른쪽 위}} \;\Big/\; \underbrace{8 \times (1 \times 1)}_{\text{아래쪽 } 4 \times 2} \;\Rightarrow\; \textbf{(B) } 4$$

💡 직사각형을 같은 단위 정사각형들로 쪼개는 것은 3학년 "같은 넓이로 도형 분할" 표준 그대로입니다.

[1] #9 3.MD.C.7 넓이 방정식을 세웁니다. $10$ 개의 작은 정사각형이 원래 $S \times S$ 정사각형을 빈틈·겹침 없이 덮으므로, 그 넓이들을 모두 더하
[2] #9 4.OA.A.3 $S^2$ 의 하한을 구합니다. 적어도 $8$ 개의 조각은 넓이가 $1$ 이고, 나머지 $2$ 개도 변이 정수이므로 넓이가 각각 최소 $1$ 입
[3] #9 4.MD.A.3 가장 작은 선택지 $S = 3$ 부터 시험합니다. 이때 $S^2 = 9$ 인데 $10$ 보다 작으므로 단위 정사각형 $10$ 개조차 담을 수 없
[4] #2 4.OA.B.4 다음 선택지 $S = 4$ 를 시험합니다. $S^2 = 16$ 이고, 단위 정사각형 $8$ 개가 $8$ 을 차지하므로 나머지 두 정사각형이 차지
[5] #1 3.G.A.2 넓이만 맞는 게 아니라 실제로 타일링이 되는지 확인합니다. 두 개의 $2 \times 2$ 정사각형을 위쪽에 나란히 놓으면 $4 \times 2

검토

합리성 확인: 넓이도 정확히 맞습니다: $8 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 8 + 8 = 16 = 4^2$. 개수도 맞습니다 — 작은 정사각형 $8 + 2 = 10$ 개, 그중 $8$ 개가 조건대로 넓이 $1$ 입니다. 또 $S = 3$ 은 넓이 하한 때문에 이미 탈락시켰으므로 $4$ 가 진짜 최솟값입니다 — 답은 (B).

대안 접근: 도구 #3(가능성 좁히기) 로 선택지를 직접 걸러 봅시다. 하한 $S^2 \ge 10$ 으로 (A) $3$ 은 즉시 탈락. 남은 후보에서 단위 정사각형이 아닌 두 정사각형이 채울 넓이는 $S^2 - 8$ 이고, 이는 $S = 4, 5, 6, 7$ 에 대해 $8, 17, 28, 41$ 입니다. 이 중 두 양의 완전제곱수의 합으로 쓸 수 있는 것은 $8 = 2^2 + 2^2$ 뿐 ($17, 28, 41$ 은 어떤 양의 정수 쌍으로도 안 됩니다). 그중 가장 작은 $S = 4$ 가 답이므로 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

  • 3.MD.C.7 넓이를 곱셈·덧셈과 연결하기 (정사각형 넓이 $= $ (한 변) $\times$ (한 변) 이고 겹치지 않는 조각들의 넓이는 합으로 모인다는 사실로 $S^2 = s_1^2 + \dots + s_{10}^2$ 방정식을 세움.)
  • 3.G.A.2 도형을 같은 넓이의 부분으로 분할하기 ($4 \times 4$ 가 실제로 $2 \times 2$ 두 개와 $1 \times 1$ 여덟 개로 빈틈 없이 분할됨을 확인 — 넓이만 맞추는 게 아닌 "도형 분할" 문제.)
  • 4.OA.A.3 자연수의 사칙연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 ("단위 정사각형 $\ge 8$ 개" 와 "나머지 두 개 각각 최소 넓이 $1$" 을 결합해 $S^2 \ge 10$ 하한을 도출.)
  • 4.OA.B.4 인수쌍을 모두 찾고 배수를 알아보기; 소수·합성수 판별 (작은 완전제곱수 $1, 4, 9, \dots$ 중 합이 $8$ 이 되는 쌍을 찾고 정수 해가 $(2, 2)$ 뿐임을 확인.)
  • 4.MD.A.3 직사각형의 넓이·둘레 공식 적용 (후보 $S = 3$ ($S^2 = 9$) 과 $S = 4$ ($S^2 = 16$) 의 넓이를 계산해 필요한 최소 넓이 $10$ 과 비교.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 넓이와 사칙연산만으로 풀 수 있어요 — 가장 작은 변부터 하나씩 시도해 보고 조각이 실제로 들어맞는지만 확인하면 돼요!

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 넓이와 사칙연산만으로 풀 수 있어요 — 가장 작은 변부터 하나씩 시도해 보고 조각이 실제로 들어맞는지만 확인하면 돼요!

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