AMC 8 · 2012 · #5

학년 4 geometry-2d

perimeterspatial-visualizationlinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticperimeter

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 도형에서 모든 각은 직각이고 변의 길이는 센티미터 단위로 주어져 있습니다. 도형은 실제 비율로 그려진 것이 아니라는 점에 유의하세요. $X$ 의 길이는 몇 센티미터일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}1$

(B)

$hspace{.05in}2$

(C)

$hspace{.05in}3$

(D)

$hspace{.05in}4$

(E)

$hspace{.05in}5$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 모든 각이 직각인 닫힌 도형이라 모든 변은 가로 아니면 세로입니다. 변의 길이는 모두 센티미터 단위로 표시되어 있고, 그중 세로 변 하나만 $X$ 로 적혀 있습니다. 그림은 실제 비율이 아니므로 그림 모양이 아니라 적힌 숫자만 믿어야 합니다. $X$ 의 길이를 구하세요.

주어진 것: 모든 내각이 직각이므로 모든 변은 가로 또는 세로; 세로 변의 라벨(cm): $6, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2$; 가로 변의 라벨(cm): $1, 2, 3, 2, 1, 4, 2, 2$; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 라벨이 없는 세로 변의 길이 $X$ (cm)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

도형이 닫혀 있으므로 둘레를 한 바퀴 돌면 출발점으로 돌아와야 합니다. 즉 "올라간 거리의 합" 과 "내려간 거리의 합" 이 같아야 합니다(그렇지 않으면 출발점 위나 아래에서 끝나 버립니다). 도구 #1(그림 그리기)로 도형을 따라가며 각 세로 변에 위쪽 화살표 또는 아래쪽 화살표를 표시하고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 위쪽 길이는 한 줄에, 아래쪽 길이는 다른 줄에 적어 각각 더합니다. 두 합이 같다는 식을 세우면 $X$ 가 바로 나옵니다 — 어려운 대수 없이 뺄셈 한 번이면 끝납니다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 3.G.A.1 단계 1

출발 꼭짓점을 정해 둘레를 한 바퀴 돕니다.
세로 변을 만날 때마다 위로 가는지 아래로 가는지 화살표로 표시합니다.
가로 변은 $X$ 와 직접 상관이 없으므로 이 단계에서는 무시합니다.

💡 모든 변이 가로 또는 세로뿐인 직선형 다각형이라는 성질을 알아채는 것은 3학년 도형 속성 단원의 핵심입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.MD.D.8 단계 2

위쪽으로 가는 세로 변과 그 라벨을 모두 적습니다.
둘레를 따라가 보면 위로 향하는 변은 라벨 $6$, $1$(오른쪽 작은 계단 바로 위), $2$(가장 오른쪽), $1$(오른쪽 위 작은 계단) — 이렇게 네 개입니다.

$$\text{위쪽 변: } 6,\; 1,\; 2,\; 1$$

💡 변을 "위쪽" 과 "아래쪽" 으로 나눠 분류하는 것이 빠짐없이 나열하기 도구의 첫 단계입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 3

위쪽 변의 길이를 모두 더해 "올라간 총 거리" 를 구합니다.

$$6 + 1 + 2 + 1 = 10 \text{ cm}$$

💡 라벨로 주어진 자연수 길이를 더하는 것은 4학년 "여러 단계 문장제" 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.MD.D.8 단계 4

이제 아래쪽으로 가는 세로 변과 라벨을 모두 적습니다.
둘레를 계속 따라가면 아래로 향하는 변은 라벨 $1$(왼쪽 위 작은 계단), $1$(그 바로 아래), $1$(가장 왼쪽), $2$(왼쪽 중간의 더 긴 내림), 그리고 마지막으로 출발점으로 돌아오는 $X$ 까지 다섯 개입니다.

$$\text{아래쪽 변: } 1,\; 1,\; 1,\; 2,\; X$$

💡 같은 "빠짐없이 나열" 동작을 반대 방향에 적용해서 중복 없이 모든 세로 변을 다룹니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 5

아래쪽 변 길이를 모두 더합니다.
라벨이 있는 네 변의 합은 $5$ 이므로 전체 "내려간 거리" 는 $5 + X$ 입니다.

$$1 + 1 + 1 + 2 + X = 5 + X \text{ cm}$$

💡 라벨 길이들을 하나의 식으로 묶으면 닫힘 조건을 한 줄로 표현할 수 있습니다.

#1 그림 그리기 3.MD.D.8 단계 6

닫힌 도형이므로 위쪽 합과 아래쪽 합이 같아야 합니다.
두 식을 같다고 놓고, $10$ 에서 라벨이 있는 아래쪽 합 $5$ 를 빼서 $X$ 를 구합니다.

$$10 = 5 + X \;\Rightarrow\; X = 10 - 5 = 5 \text{ cm} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 나머지 둘레로부터 빠진 한 변의 길이를 찾는 것은 3학년 "둘레로 빠진 변 구하기" 표준을 방향별로 적용한 것입니다.

[1] #1 3.G.A.1 출발 꼭짓점을 정해 둘레를 한 바퀴 돕니다. 세로 변을 만날 때마다 위로 가는지 아래로 가는지 화살표로 표시합니다. 가로 변은 $X$ 와 직접

[2] #2 3.MD.D.8 위쪽으로 가는 세로 변과 그 라벨을 모두 적습니다. 둘레를 따라가 보면 위로 향하는 변은 라벨 $6$, $1$(오른쪽 작은 계단 바로 위), $

[3] #2 4.OA.A.3 위쪽 변의 길이를 모두 더해 "올라간 총 거리" 를 구합니다.

[4] #2 3.MD.D.8 이제 아래쪽으로 가는 세로 변과 라벨을 모두 적습니다. 둘레를 계속 따라가면 아래로 향하는 변은 라벨 $1$(왼쪽 위 작은 계단), $1$(그

[5] #2 4.OA.A.3 아래쪽 변 길이를 모두 더합니다. 라벨이 있는 네 변의 합은 $5$ 이므로 전체 "내려간 거리" 는 $5 + X$ 입니다.

[6] #1 3.MD.D.8 닫힌 도형이므로 위쪽 합과 아래쪽 합이 같아야 합니다. 두 식을 같다고 놓고, $10$ 에서 라벨이 있는 아래쪽 합 $5$ 를 빼서 $X$ 를

검토

합리성 확인: 가로 방향으로도 같은 "닫힘 원리" 가 성립하는지 빠르게 확인합니다. 오른쪽으로 가는 변은 $3, 1, 2, 2, 2 = 10$, 왼쪽으로 가는 변은 $3, 2, 1, 4 = 10$ 으로 둘 다 $10$ cm 입니다. 도형이 실제로 닫힌다는 뜻이므로 우리가 세운 세로 방향 식도 올바르게 해석한 것입니다. 답 $X = 5$ 는 선택지에 들어 있고, $X$ 가 도형에서 비교적 긴 세로 변이라는 점과도 잘 맞습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 직접 대입해 봅시다. $X = 5$ 일 때 아래쪽 합은 $1 + 1 + 1 + 2 + 5 = 10$ 으로 위쪽 합 $6 + 1 + 2 + 1 = 10$ 과 정확히 같아 도형이 닫히므로 (E) 가 맞습니다. 더 작은 후보 $1, 2, 3, 4$ 는 아래쪽 합이 $10$ 보다 작아져 도형이 닫히지 않으므로 모두 제거됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.G.A.1 공통 속성(예: 직각)에 따라 도형을 분류하기 (이 도형이 모든 변이 가로 또는 세로인 직선형 다각형임을 인식해, 둘레를 위·아래·왼쪽·오른쪽 네 방향으로 깔끔하게 나누는 데 사용.)
3.MD.D.8 다각형의 둘레 문제 해결(빠진 한 변의 길이 구하기 포함) (나머지 라벨이 있는 변들로부터 빠진 세로 변 $X$ 의 길이를 복원 — "둘레로 빠진 변 구하기" 를 방향별로 적용한 것.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 자연수 문장제 해결 (위쪽 변 합 $6 + 1 + 2 + 1 = 10$, 라벨이 있는 아래쪽 변 합 $1 + 1 + 1 + 2 = 5$ 를 구한 뒤 $10 - 5 = 5$ 로 $X$ 를 분리하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 4학년 수준이면 충분히 풀 수 있어요. 도형이 닫혀 있으면 "올라간 거리" 합과 "내려간 거리" 합이 같아야 하니, 빠진 변은 두 합을 맞춰 주는 길이로 정해집니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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