AMC 8 · 2013 · #25

학년 7 geometry-2d

arc-measureperimeterarea-circles identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: perimeterarc-measurefraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

지름이 $4$ 인치인 공이 점 $A$ 에서 출발하여 그림과 같은 트랙을 따라 굴러갑니다. 이 트랙은 반지름이 각각 $R_1 = 100$ 인치, $R_2 = 60$ 인치, $R_3 = 80$ 인치인 세 개의 반원형 호로 이루어져 있습니다. 공은 항상 트랙과 맞닿아 있으며 미끄러지지 않습니다. 점 $A$ 에서 점 $B$ 까지 가는 동안 공의 중심이 이동한 거리는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$238\pi$

(B)

$240\pi$

(C)

$260\pi$

(D)

$280\pi$

(E)

$500\pi$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 지름 $4$ 인치(반지름 $r = 2$)인 공이 미끄러지지 않고, 반지름이 각각 $R_1 = 100$, $R_2 = 60$, $R_3 = 80$ 인치인 반원 세 개로 이어진 트랙 위를 굴러갑니다. 공은 트랙에서 절대 떨어지지 않습니다. $A$ 에서 $B$ 까지 가는 동안 공의 *중심*이 (접점이 아니라) 이동한 총 거리를 구하는 문제입니다.

주어진 것: 공의 지름 $= 4$ 인치, 즉 공의 반지름 $r = 2$ 인치; 트랙 = 반지름 $R_1 = 100$, $R_2 = 60$, $R_3 = 80$ 인치인 반원 세 개가 차례로 이어짐; 그림에서: 1번 호는 계곡(아래로 오목), 2번 호는 언덕(위로 볼록), 3번 호는 다시 계곡; 공은 트랙과 항상 접해 있고 미끄러지지 않음; 선택지: (A) $238\pi$, (B) $240\pi$, (C) $260\pi$, (D) $280\pi$, (E) $500\pi$

구하는 것: $A$ 에서 $B$ 까지 공의 *중심*이 그리는 곡선의 총 길이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

핵심은 한 장의 그림으로 끝납니다 — 공이 계곡에 놓인 모습과 언덕 위에 놓인 모습을 나란히 그려 보면, 계곡에서는 중심이 그리는 반원이 *작아*지고(반지름 $R - 2$), 언덕에서는 *커*진다(반지름 $R + 2$)는 $\pm r$ 규칙이 한눈에 보입니다 — 이게 도구 #1(그림 그리기) 입니다. 그 다음은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 트랙을 세 개의 독립된 반원으로 나누어, 각각 $\pi \times \text{반지름}$ 으로 중심 경로 길이를 구하고 합치면 됩니다. 대수도, 어려운 기하도 필요 없고 원 둘레 공식 한 가지를 세 번 쓰는 것뿐입니다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

공이 계곡 호에 놓인 모습과 언덕 호 위에 놓인 모습을 각각 그려 봅시다.
두 경우 모두 공의 중심은 접점에서 트랙 곡률 중심을 잇는 반지름 선을 따라 $r = 2$ 인치 떨어진 곳에 있습니다.
계곡에서는 중심이 곡률 중심 *쪽으로* 당겨져서 경로 반지름이 $R - r$, 언덕에서는 중심이 곡률 중심에서 *멀어져서* 경로 반지름이 $R + r$ 이 됩니다.

$$\text{계곡: 중심 경로 반지름} = R - r, \quad \text{언덕: 중심 경로 반지름} = R + r$$

💡 이 그림 한 장에 문제의 전부가 들어 있습니다. $\pm r$ 규칙만 보이면 나머지는 산수입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

1번 호 ($R_1 = 100$) 는 계곡이므로 중심은 반지름 $100 - 2 = 98$ 인 반원을 그립니다.
반지름이 $\rho$ 인 반원의 길이는 $\pi \rho$ 입니다.

$$L_1 = \pi \times (100 - 2) = 98\pi$$

💡 작은 문제 1: 호 하나, 계곡이라 반지름이 더 작아진 경우.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

2번 호 ($R_2 = 60$) 는 언덕(위로 볼록) 이므로 공의 중심은 트랙 위쪽으로 $2$ 인치 떠 있게 됩니다.
경로 반지름 $= 60 + 2 = 62$.

$$L_2 = \pi \times (60 + 2) = 62\pi$$

💡 작은 문제 2: 똑같은 원 둘레 공식이지만, 언덕이라 $-r$ 대신 $+r$.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

3번 호 ($R_3 = 80$) 는 다시 계곡이므로 $R - r$ 을 씁니다.
경로 반지름 $= 80 - 2 = 78$.

$$L_3 = \pi \times (80 - 2) = 78\pi$$

💡 작은 문제 3: 계곡, 그래서 또 $-r$.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 5

세 조각을 더합니다.
공의 중심이 이동한 총 거리는 $L_1 + L_2 + L_3$ 입니다.

$$L_1 + L_2 + L_3 = 98\pi + 62\pi + 78\pi = (98 + 62 + 78)\pi = 238\pi \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 마지막 합치는 단계: 세 자연수 계수를 더하고 $\pi$ 를 묶어 냅니다.

[1] #1 7.G.B.4 공이 계곡 호에 놓인 모습과 언덕 호 위에 놓인 모습을 각각 그려 봅시다. 두 경우 모두 공의 중심은 접점에서 트랙 곡률 중심을 잇는 반지름 선

[2] #7 7.G.B.4 1번 호 ($R_1 = 100$) 는 계곡이므로 중심은 반지름 $100 - 2 = 98$ 인 반원을 그립니다. 반지름이 $\rho$ 인 반원의

[3] #7 7.G.B.4 2번 호 ($R_2 = 60$) 는 언덕(위로 볼록) 이므로 공의 중심은 트랙 위쪽으로 $2$ 인치 떠 있게 됩니다. 경로 반지름 $= 60 +

[4] #7 7.G.B.4 3번 호 ($R_3 = 80$) 는 다시 계곡이므로 $R - r$ 을 씁니다. 경로 반지름 $= 80 - 2 = 78$.

[5] #7 4.NBT.B.4 세 조각을 더합니다. 공의 중심이 이동한 총 거리는 $L_1 + L_2 + L_3$ 입니다.

검토

합리성 확인: 트랙 자체의 길이와 비교해 봅시다. 트랙 세 반원의 길이 합은 $100\pi + 60\pi + 80\pi = 240\pi$. 우리 답 $238\pi$ 와 차이는 $2\pi$ 인데, 이는 정확히 $(-2 + 2 - 2)\pi$ — 계곡·언덕·계곡 순서로 $\pm r$ 보정을 더한 값입니다($r = 2$). 계곡이 두 번, 언덕이 한 번이라 $-r$ 보정이 한 번 더 우세해서 중심 경로가 트랙보다 $2\pi$ 만큼 *짧아*졌습니다. 크기와 부호 모두 말이 되고, 선택지 (A) 와도 일치합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로도 좁힐 수 있습니다. "트랙 길이를 그대로 쓰자" 는 함정 풀이는 $100\pi + 60\pi + 80\pi = 240\pi$ — 이게 바로 함정 선택지 (B) 입니다. 정답은 $240\pi$ 에서 $\pi \cdot r = 2\pi$ 의 정수배만큼 (호 하나당 한 번씩) 떨어진 값이어야 하므로, (C) $260\pi$, (D) $280\pi$, (E) $500\pi$ 는 $\pm 2$ 보정으로 도달할 수 없는 거리라 바로 지워집니다. 남는 후보는 (A) $238\pi$ 와 (B) $240\pi$ 뿐이고, 위의 $\pm r$ 분석이 (A) 를 골라 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 이해 (공의 중심이 그리는 세 반원 각각에 대해 $\text{(반원 길이)} = \pi \times \text{반지름}$ 을 사용.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈을 유창하게 수행 (보정된 세 반지름 ($100 - 2$, $60 + 2$, $80 - 2$) 을 계산하고 $98 + 62 + 78 = 238$ 을 합산하는 데 사용.)

⭐ 그림 하나로 $\pm r$ 규칙만 잡아내면, 이 AMC 8 문제는 7학년 원 둘레 공식을 세 번 쓰는 것뿐입니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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