AMC 8 · 2014 · #16
학년 7 counting문제
"미들 스쿨 에이트(Middle School Eight)" 농구 리그에는 개 팀이 있습니다. 매 시즌마다 각 팀은 같은 리그의 다른 모든 팀과 두 번씩(홈 경기 한 번, 원정 경기 한 번) 맞붙고, 리그 밖의 팀과도 경기를 치릅니다. 한 시즌 동안 "미들 스쿨 에이트" 팀이 참여하는 경기의 총수는 얼마일까요?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: "Middle School Eight" 리그에는 $8$ 개 팀이 있습니다. 리그 안에서 모든 팀은 다른 모든 팀과 두 번씩 경기를 합니다(홈 경기 $1$ 번, 원정 경기 $1$ 번). 여기에 더해 각 팀은 리그 밖 상대와도 $4$ 경기를 합니다. 한 시즌 동안 Middle School Eight 팀이 적어도 하나 참가하는 경기의 총 수를 구하세요.
주어진 것: 리그 팀 수: $8$; 리그 안 두 팀은 서로 $2$ 경기(홈·원정) 를 치름; 각 리그 팀은 리그 밖 팀과 $4$ 경기를 치름; 선택지: (A) $60$, (B) $88$, (C) $96$, (D) $144$, (E) $160$
구하는 것: 한 시즌 동안 Middle School Eight 팀이 참여하는 경기의 총 수
이해
문제 재정리: "Middle School Eight" 리그에는 $8$ 개 팀이 있습니다. 리그 안에서 모든 팀은 다른 모든 팀과 두 번씩 경기를 합니다(홈 경기 $1$ 번, 원정 경기 $1$ 번). 여기에 더해 각 팀은 리그 밖 상대와도 $4$ 경기를 합니다. 한 시즌 동안 Middle School Eight 팀이 적어도 하나 참가하는 경기의 총 수를 구하세요.
주어진 것: 리그 팀 수: $8$; 리그 안 두 팀은 서로 $2$ 경기(홈·원정) 를 치름; 각 리그 팀은 리그 밖 팀과 $4$ 경기를 치름; 선택지: (A) $60$, (B) $88$, (C) $96$, (D) $144$, (E) $160$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #16 꼼꼼히 세기
시즌의 경기는 명확히 두 종류 — 리그 안 경기(두 팀 모두 리그 소속) 와 리그 밖 경기(한 팀만 리그 소속) — 로 나뉩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 두 부분을 따로 세고 마지막에 더합니다. 도구 #16(꼼꼼히 세기) 은 리그 안 경기에서 함정을 막아 줍니다 — 팀 A 와 팀 B 의 경기는 "A vs B" 라고 적든 "B vs A" 라고 적든 같은 경기이므로 쌍을 두 번 세면 안 됩니다. 홈과 원정이 다른 경기라는 점은 순서 없는 쌍의 개수에 단순히 $\times 2$ 를 더한 것입니다.
실행 — 정답: B
7.SP.C.8 단계 1 - 쪼개기 1: 리그 안 경기를 셉니다.
- 먼저 순서 없는 팀 쌍의 수를 세면, $8$ 팀 중 $2$ 팀을 고르는 경우의 수 $\binom{8}{2}$ 가 나옵니다.
💡 첫 팀을 고르는 방법 $8$, 둘째 팀 $7$ 을 곱한 뒤 순서가 의미 없으니 $2$ 로 나눠 줍니다 — 7학년 복합 사건 개수 세기 그대로입니다.
3.OA.A.3 단계 2 각 쌍은 홈·원정 $2$ 경기를 하므로 쌍 수에 $2$ 를 곱합니다.
💡 같은 크기의 그룹이 $2$ 개씩 — 3학년 곱셈으로 처리됩니다.
3.OA.A.3 단계 3 - 쪼개기 2: 리그 밖 경기를 셉니다.
- $8$ 팀 각각이 리그 밖과 $4$ 경기를 하고, 상대는 리그 밖 팀이라 Middle School Eight 두 팀이 같은 경기를 공유하는 일이 없습니다.
- 팀 수 $\times$ 팀당 경기 수.
💡 $4$ 짜리 그룹이 $8$ 개 — 상대가 리그 밖이라 중복 셈 걱정 없이 3학년 곱셈 그대로 끝납니다.
4.OA.A.3 단계 4 두 부분 결과를 더해 합칩니다.
💡 두 개의 소합을 마지막에 더해 최종 답을 내는 것은 4학년 여러 단계 문장제의 정석입니다.
7.SP.C.8 쪼개기 1: 리그 안 경기를 셉니다. 먼저 순서 없는 팀 쌍의 수를 세면, $8$ 팀 중 $2$ 팀을 고르는 경우의 수 $\binom{8}{2} 3.OA.A.3 각 쌍은 홈·원정 $2$ 경기를 하므로 쌍 수에 $2$ 를 곱합니다. 3.OA.A.3 쪼개기 2: 리그 밖 경기를 셉니다. $8$ 팀 각각이 리그 밖과 $4$ 경기를 하고, 상대는 리그 밖 팀이라 Middle School Eigh 4.OA.A.3 두 부분 결과를 더해 합칩니다. 검토
합리성 확인: 리그 안 경기 수를 한 팀 관점에서 검산해 봅니다. 한 팀은 나머지 $7$ 팀과 각각 $2$ 경기씩, 즉 $7 \times 2 = 14$ 리그 안 경기를 합니다. $8$ 팀에 대해 더하면 $8 \times 14 = 112$ 이지만, 리그 안 경기는 한 경기에 Middle School Eight 두 팀이 들어 있으므로 실제 경기 수는 $112 / 2 = 56$ — 2단계 결과와 일치합니다. 여기에 리그 밖 $32$ 경기를 더하면 $88$ 로 (B). 다른 선택지는 검산을 통과하지 못합니다 — $160 = 8 \times 20$ 은 팀별 총 경기 $20$ 을 그대로 더해 중복 셈, $144$ 는 홈·원정만 곱하고 쌍 중복을 보정하지 않은 값, $60$ 과 $96$ 은 깔끔한 분할에 맞지 않습니다.
대안 접근: 도구 #10(규칙 찾기) — 팀별 시점으로 봅니다. 각 팀은 리그 안 $14$ 경기 $+$ 리그 밖 $4$ 경기 $= 18$ 경기를 합니다. $8$ 팀의 "팀-경기 등장 횟수" 합은 $8 \times 18 = 144$ 입니다. 리그 안 경기는 한 경기당 등장 횟수가 $2$, 리그 밖 경기는 $1$ 이므로, $C = 56$ 을 알고 있을 때 $2(56) + N = 144$ 에서 $N = 32$. 총 경기 수는 $C + N = 56 + 32 = 88$ 로 같은 답이 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
3.OA.A.3100 이내 곱셈·나눗셈으로 같은 크기 그룹 문장제 해결 (리그 안 경기 $28 \times 2 = 56$ 과 리그 밖 경기 $8 \times 4 = 32$ 를 같은 크기 그룹 곱셈으로 계산.)4.OA.A.3사칙연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 (두 소합 $56 + 32 = 88$ 을 합쳐 최종 답을 내는 여러 단계 문장제 마무리.)7.SP.C.8조직적인 목록·표·나무 그림·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (리그 팀의 순서 없는 쌍 $\binom{8}{2} = 28$ 을 세는 데 7학년 복합 사건 개수 세기 추론 사용.)
⭐ 시즌을 리그 안 경기와 리그 밖 경기로 쪼개고, 같은 경기는 한 번만 세도록 쌍의 수를 잘 잡으면 $88$ 이 나옵니다.
⭐ 시즌을 리그 안 경기와 리그 밖 경기로 쪼개고, 같은 경기는 한 번만 세도록 쌍의 수를 잘 잡으면 $88$ 이 나옵니다.
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