AMC 8 · 2014 · #22

학년 3 algebra

place-valuelinear-equations-one-vardigit-decomposition convert-to-algebradigit-constraints ↑ 선수 지식: place-valuelinear-equations-one-var

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 $2$ 자리 수가 있는데, 두 자리 숫자의 곱에 두 자리 숫자의 합을 더한 값이 그 수와 같습니다. 이 수의 일의 자리 숫자는 무엇일까요?

$\textbf{(A) }1\qquad\textbf{(B) }3\qquad\textbf{(C) }5\qquad\textbf{(D) }7\qquad \textbf{(E) }9$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 자리 수 가운데 (두 자릿수의 곱) $+$ (두 자릿수의 합) 이 그 수 자신과 같아지는 수를 찾으세요. 문제는 그런 수의 일의 자릿수가 무엇인지 묻습니다.

주어진 것: 두 자리 수이므로 값은 $10$ 이상 $99$ 이하; 십의 자릿수를 $a$, 일의 자릿수를 $b$ 라 하자; 수의 값 $= 10a + b$; 두 자릿수의 곱 $= a \times b$; 두 자릿수의 합 $= a + b$; 조건: $10a + b = (a \times b) + (a + b)$; 선택지: (A) $1$, (B) $3$, (C) $5$, (D) $7$, (E) $9$

구하는 것: 조건을 만족하는 모든 두 자리 수의 일의 자릿수 $b$

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #5 패턴 찾기

선택지가 일의 자릿수 $5$ 개 ($1, 3, 5, 7, 9$) 뿐이므로 하나씩 직접 시험해 볼 수 있습니다. 각 후보 $b$ 에 대해 간단한 십의 자릿수 (예: $a = 2$) 를 잡고 $10a + b$ 가 $a \times b + a + b$ 와 같은지 확인합니다. 시험은 도구 #6 (추측하고 확인하기), 실패한 후보는 도구 #3 (가능성 지우기) 으로 지웁니다. 두세 번 시험해 보면 일정한 패턴이 보이므로 (도구 #5), 대수식 없이도 답을 확정할 수 있습니다.

실행 — 정답: E

#6 추측하고 확인하기 3.OA.C.7 단계 1

일의 자릿수 $b = 1$ 을 시험합니다.
십의 자릿수 $a = 2$ 로 두면 수는 $21$.
(곱) $+$ (합) $= (2 \times 1) + (2 + 1) = 2 + 3 = 5$.
$21$ 과 다르므로 $b = 1$ 은 실패 → (A) 제거.

$$21 \neq (2 \times 1) + (2 + 1) = 5$$

💡 한 자릿수끼리의 곱셈과 덧셈은 3학년 유창성(fluency) 기능입니다.

#3 가능성 지우기 3.OA.C.7 단계 2

$b = 3$, $a = 2$ 로 수 $= 23$ 을 시험.
$(2 \times 3) + (2 + 3) = 6 + 5 = 11 \neq 23$ 이므로 (B) 제거.

$$23 \neq (2 \times 3) + (2 + 3) = 11$$

💡 한 번 실패할 때마다 선택지 하나가 지워집니다 — 객관식 문제에서의 전형적인 도구 #3 동작.

#5 패턴 찾기 3.OA.B.5 단계 3

패턴을 관찰합니다 (도구 #5).
우변 $(a \times b) + (a + b)$ 는 항상 수 $10a + b$ 보다 작고, 그 차이는 $10a - (a \times b + a) = 9a - a \times b = a \times (9 - b)$ 입니다.
이 차이가 $0$ 이 되는 경우는 $9 - b = 0$, 즉 $b = 9$ 뿐입니다.
확실히 하기 위해 $b = 5, 7$ 도 직접 확인해 봅시다.

$$\text{차이} = (10a + b) - [(a \times b) + (a + b)] = a \times (9 - b)$$

💡 차이에서 공통 인수 $a$ 를 묶어 내는 것은 본격적인 대수가 아니라 3학년 분배 법칙 관찰입니다.

#3 가능성 지우기 3.OA.C.7 단계 4

남은 오답 후보를 빠르게 확인합니다.
$b = 5$, $a = 2$: $(2 \times 5) + (2 + 5) = 10 + 7 = 17 \neq 25$.
$b = 7$, $a = 2$: $(2 \times 7) + (2 + 7) = 14 + 9 = 23 \neq 27$.
모두 실패 → (C), (D) 제거.

$$25 \neq 17, \quad 27 \neq 23$$

💡 차이 공식이 예측한 $2 \times (9-5) = 8$, $2 \times (9-7) = 4$ 가 실제 차이 $25 - 17$, $27 - 23$ 과 정확히 일치합니다 — 패턴이 확인됩니다.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.D.8 단계 5

$b = 9$, $a = 2$ 시험: 수 $= 29$, $(2 \times 9) + (2 + 9) = 18 + 11 = 29$.
성공!
확실히 하려고 다른 십의 자릿수도 시험: $a = 5$ 면 수 $= 59$, $(5 \times 9) + (5 + 9) = 45 + 14 = 59$.
역시 성공.
따라서 일의 자릿수는 $9 \Rightarrow \textbf{(E)}$.

$$29 = (2 \times 9) + (2 + 9), \quad 59 = (5 \times 9) + (5 + 9)$$

💡 서로 다른 두 개의 십의 자릿수로 확인했더니 $b = 9$ 가 모든 $a$ 에서 성립함을 알 수 있습니다 — 3학년 두 단계 문장제 확인 절차.

[1] #6 3.OA.C.7 일의 자릿수 $b = 1$ 을 시험합니다. 십의 자릿수 $a = 2$ 로 두면 수는 $21$. (곱) $+$ (합) $= (2 \times 1)

[2] #3 3.OA.C.7 $b = 3$, $a = 2$ 로 수 $= 23$ 을 시험. $(2 \times 3) + (2 + 3) = 6 + 5 = 11 \neq 23$

[3] #5 3.OA.B.5 패턴을 관찰합니다 (도구 #5). 우변 $(a \times b) + (a + b)$ 는 항상 수 $10a + b$ 보다 작고, 그 차이는 $10

[4] #3 3.OA.C.7 남은 오답 후보를 빠르게 확인합니다. $b = 5$, $a = 2$: $(2 \times 5) + (2 + 5) = 10 + 7 = 17 \ne

[5] #6 3.OA.D.8 $b = 9$, $a = 2$ 시험: 수 $= 29$, $(2 \times 9) + (2 + 9) = 18 + 11 = 29$. 성공! 확실히

검토

합리성 확인: 차이 공식 $a \times (9 - b)$ 이 모든 것을 설명합니다. 수와 (곱 $+$ 합) 사이의 격차는 정확히 $a \times (9 - b)$ 인데, 이 값이 $0$ 이 되는 것은 $b = 9$ 일 때뿐이고, $a$ 가 $0$ 만 아니라면 어떤 값이어도 성립합니다. 따라서 $19, 29, 39, \ldots, 99$ 가 모두 조건을 만족하고 (예: $19 = 1 \cdot 9 + 1 + 9 = 9 + 10$), 모두 $9$ 로 끝납니다. 답 (E) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 을 쓰면 한 줄 증명이 됩니다: $10a + b = ab + a + b \Rightarrow 9a = ab \Rightarrow b = 9$ (단, $a \neq 0$). 종이 위에선 더 빠르지만, 어린 학습자에게는 대수를 쓰지 않는 추측·확인 $+$ 가능성 지우기 방식이 더 친절합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.OA.C.7 $100$ 이내에서 곱셈·나눗셈을 능숙하게 수행 (각 시험에서 $a \times b$ 의 값을 계산하는 데 사용 (예: $2 \times 9 = 18$, $5 \times 9 = 45$).)
3.OA.B.5 연산의 성질을 곱셈·덧셈 전략으로 활용 (격차 $(10a + b) - (ab + a + b)$ 가 $a \times (9 - b)$ 로 인수분해됨을 알아채는 것 — 분배 법칙 관찰.)
3.OA.D.8 네 가지 연산을 활용한 두 단계 문장제 해결 (각 후보를 곱셈·덧셈을 결합해 계산한 뒤, 그 결과를 두 자리 수와 비교해 확인.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 3학년에서 배운 "곱하고 더해서 확인하기" 만으로 풀려요. 선택지를 하나씩 시험해 보면 답인 일의 자릿수가 저절로 드러납니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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