AMC 8 · 2014 · #25

학년 7 geometry-2drate-ratio

area-circlesperimeterrateunit-conversion identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: area-circlesrateunit-conversion

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

폭 $40$ 피트의 곧게 뻗은 $1$ 마일 구간 고속도로가 통제되어 있습니다. 로버트(Robert)는 그림과 같이 반원들로 이어진 경로를 따라 자전거를 탑니다. 시속 $5$ 마일로 달릴 때 이 $1$ 마일 구간을 지나는 데 몇 시간이 걸릴까요?

Note: 1 mile = 5280 feet

$\textbf{(A) }\frac{\pi}{11}\qquad\textbf{(B) }\frac{\pi}{10}\qquad\textbf{(C) }\frac{\pi}{5}\qquad\textbf{(D) }\frac{2\pi}{5}\qquad\textbf{(E) }\frac{2\pi}{3}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\pi}{11}$

(B)

$\frac{\pi}{10}$

(C)

$\frac{\pi}{5}$

(D)

$\frac{2\pi}{5}$

(E)

$\frac{2\pi}{3}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 곧게 뻗은 $1$ 마일 길이의 고속도로(폭 $40$ 피트)가 차량 통제되어 있습니다. 로버트는 폭 전체에 걸친 동일한 반원들을 좌우 번갈아 이어붙인 경로를 따라 자전거를 탑니다. 시속 $5$ 마일로 달릴 때 이 $1$ 마일 구간을 지나는 데 몇 시간이 걸릴까요?

주어진 것: 고속도로 직선 길이 $= 1$ 마일 $= 5280$ 피트; 고속도로 폭 $= 40$ 피트, 각 반원의 지름과 같음; 경로 = 폭 전체를 가로지르는 반원이 좌우 번갈아 반복; 주행 속력 $= $ 시속 $5$ 마일(mph); 선택지: (A) $\tfrac{\pi}{11}$, (B) $\tfrac{\pi}{10}$, (C) $\tfrac{\pi}{5}$, (D) $\tfrac{2\pi}{5}$, (E) $\tfrac{2\pi}{3}$ (시간)

구하는 것: 로버트가 $1$ 마일 구간을 모두 지나는 데 걸리는 시간(시간 단위)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #8 단위 살펴보기

도구 #1(그림 그리기)이 핵심 열쇠입니다 — $40$ 피트 폭에 걸친 반원 하나만 그려 보면 두 가지가 즉시 보입니다: 지름이 $40$ 피트이고, 이 반원 하나가 도로를 따라 정확히 $40$ 피트 전진시킨다는 점입니다. 그 뒤 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 반원 하나의 호 길이와 직선 전진 거리만 구하면, 전체 경로는 "이 타일을 $N$ 개 복사"하는 문제가 됩니다. 마지막에 도구 #8(단위 살펴보기)로 호 길이는 피트로 나오는데 속력은 mph이므로 피트를 마일로 환산해 시간을 구합니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

$40$ 피트 폭 도로 위에 가로지르는 반원 하나를 그립니다.
지름이 도로 폭과 같으므로 $d = 40$ 피트, 반지름은 $r = \tfrac{d}{2} = 20$ 피트입니다.
다음 반원은 반대쪽으로 뒤집혀 이어붙으므로 반원 하나는 로버트를 도로를 따라 정확히 $40$ 피트(지름 하나) 전진시킵니다.

$$d = 40 \text{ ft}, \quad r = \tfrac{40}{2} = 20 \text{ ft}$$

💡 반복되는 패턴의 "한 칸" 만 그려 보면, $1$ 마일짜리 무서운 경로가 그림 하나로 보이는 단순한 도형 문제가 됩니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.G.B.4 단계 2

더 쉬운 문제부터 풉니다 — 반원 하나의 호 길이는 얼마일까요?
반지름이 $r$ 인 원의 둘레는 $2\pi r$ 이므로, 반원의 호는 그 절반인 $\pi r$ 입니다.
$r = 20$ 을 대입합니다.

$$\text{반원 한 개의 호} = \pi r = 20\pi \text{ ft}$$

💡 한 타일(반원 하나)만 풀어 두면 전체 경로는 그것의 복사본 모음일 뿐입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.MD.A.1 단계 3

$1$ 마일 구간에 타일이 몇 개 들어가는지 셉니다.
직선 길이는 $5280$ 피트이고, 반원 하나가 직선 방향으로 $40$ 피트씩 전진시키므로 반원 개수는 $5280 \div 40 = 132$ 개입니다.

$$N = \dfrac{5280 \text{ ft}}{40 \text{ ft / 반원}} = 132 \text{ 개}$$

💡 전체 길이를 한 타일 길이로 나누는 "몇 개나 들어가나" 식 단순 계산입니다.

#8 단위 살펴보기 5.MD.A.1 단계 4

한 반원의 호 길이 $\times$ 반원 개수로 총 주행 거리를 구하고, $5280$ 피트 $= 1$ 마일을 이용해 피트를 마일로 환산합니다 — 그래야 mph 속력과 단위가 맞습니다.

$$\text{총 거리} = 132 \times 20\pi = 2640\pi \text{ ft} = \dfrac{2640\pi}{5280} \text{ mi} = \dfrac{\pi}{2} \text{ mi}$$

💡 mph로 나누기 전에 피트를 마일로 바꿔 둬야 답이 "시간" 으로 깔끔하게 나옵니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 5

$\text{시간} = \dfrac{\text{거리}}{\text{속력}}$ 에 마일과 mph로 단위가 통일된 값을 대입하면 시간 단위의 답이 나옵니다.

$$t = \dfrac{\tfrac{\pi}{2} \text{ mi}}{5 \text{ mph}} = \dfrac{\pi}{10} \text{ 시간} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 거리를 속력으로 나누면 시간이 나옵니다 — $d = rt$ 관계의 역방향 사용입니다.

[1] #1 7.G.B.4 $40$ 피트 폭 도로 위에 가로지르는 반원 하나를 그립니다. 지름이 도로 폭과 같으므로 $d = 40$ 피트, 반지름은 $r = \tfrac{

[2] #9 7.G.B.4 더 쉬운 문제부터 풉니다 — 반원 하나의 호 길이는 얼마일까요? 반지름이 $r$ 인 원의 둘레는 $2\pi r$ 이므로, 반원의 호는 그 절반인

[3] #9 5.MD.A.1 $1$ 마일 구간에 타일이 몇 개 들어가는지 셉니다. 직선 길이는 $5280$ 피트이고, 반원 하나가 직선 방향으로 $40$ 피트씩 전진시키므로

[4] #8 5.MD.A.1 한 반원의 호 길이 $\times$ 반원 개수로 총 주행 거리를 구하고, $5280$ 피트 $= 1$ 마일을 이용해 피트를 마일로 환산합니다 —

[5] #8 6.RP.A.3 $\text{시간} = \dfrac{\text{거리}}{\text{속력}}$ 에 마일과 mph로 단위가 통일된 값을 대입하면 시간 단위의 답이

검토

합리성 확인: 크기를 점검해 봅시다. 로버트의 주행 거리는 $\tfrac{\pi}{2} \approx 1.57$ 마일로, $1$ 마일 직선 구간을 따라가는 데 약 $57\%$ 더 길어졌습니다 — 반원 호가 지름보다 $\tfrac{\pi}{2} \approx 1.57$ 배 길다는 사실과 정확히 맞아떨어집니다. 시속 $5$ 마일로 $1.57$ 마일은 약 $\tfrac{1.57}{5} \approx 0.314$ 시간이 걸리고, $\tfrac{\pi}{10} \approx 0.314$ 이라 일치합니다. $0.314$ 시간은 약 $19$ 분 — $1.5$ 마일 자전거 주행 시간으로 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 비율만 따지면 한 줄이면 끝납니다. 직선 $40$ 피트당 호 길이가 $20\pi$ 피트이므로, 총 주행 거리는 직선 길이의 $\tfrac{20\pi}{40} = \tfrac{\pi}{2}$ 배 — 즉 $\tfrac{\pi}{2}$ 마일입니다. 그러면 $t = \tfrac{\pi/2}{5} = \tfrac{\pi}{10}$ 시간. 비율 $\tfrac{\pi}{2}$ 는 "반원 호 $\div$ 지름" 에서 나오므로 $132$ 라는 개수를 굳이 셀 필요도 없습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 원의 둘레와 넓이 공식을 알고, 이를 이용한 문제 해결 (원 둘레 공식 $C = 2\pi r$ 의 절반을 이용해 반원 하나의 호 길이를 $\pi r = 20\pi$ 피트로 계산.)
5.MD.A.1 같은 측정 체계 안에서 단위가 다른 표준 측정 단위 환산 ($1$ 마일에 들어가는 반원 개수 $5280 \div 40 = 132$ 계산 및 총 거리를 $2640\pi$ ft 에서 $\tfrac{\pi}{2}$ 마일로 환산.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (총 마일 거리와 mph 속력으로부터 $\text{시간} = \text{거리} / \text{속력} = \tfrac{\pi/2}{5} = \tfrac{\pi}{10}$ 시간을 계산.)

⭐ 반원 하나만 그려 보면 $1$ 마일 구간 전체가 쉬워져요 — 7학년 원 둘레 공식과 "거리 $\div$ 속력" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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