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AMC 8 · 2017 · #20

학년 7 probabilitycounting
유형 Branching State Enumeration
probability-basicpermutations-basicdigit-constraintsparity systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: permutations-basicfraction-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

10001000 이상 99999999 이하의 정수 하나를 무작위로 고릅니다. 그 수가 홀수이면서 네 자리 숫자가 모두 서로 다른 수일 확률은 얼마입니까?

(A) 1475(B) 56225(C) 107400(D) 725(E) 925\textbf{(A) }\frac{14}{75} \qquad \textbf{(B) }\frac{56}{225} \qquad \textbf{(C) }\frac{107}{400} \qquad \textbf{(D) }\frac{7}{25} \qquad \textbf{(E) }\frac{9}{25}

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$frac{14}{75}$
(B)
$frac{56}{225}$
(C)
$frac{107}{400}$
(D)
$frac{7}{25}$
(E)
$frac{9}{25}$
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1000$ 이상 $9999$ 이하인 네 자리 정수 하나를 무작위로 고릅니다. 이 수가 "홀수이면서 네 자릿수가 모두 서로 다른" 경우일 확률은 얼마일까요?

주어진 것: $\{1000, 1001, \ldots, 9999\}$ 에서 한 수를 균등 확률로 뽑음; 네 자리 정수의 전체 개수는 $9000$; 홀수 조건: 일의 자리가 $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ 중 하나; "자릿수가 모두 다르다" = 네 자리 중 같은 숫자가 한 번이라도 반복되지 않음; 선택지: (A) $\tfrac{14}{75}$, (B) $\tfrac{56}{225}$, (C) $\tfrac{107}{400}$, (D) $\tfrac{7}{25}$, (E) $\tfrac{9}{25}$

구하는 것: 확률 $= \dfrac{\text{(홀수이고 네 자릿수가 모두 다른 4자리 정수의 수)}}{\text{(전체 4자리 정수의 수)}}$ 를 기약분수로

이해

문제 재정리: $1000$ 이상 $9999$ 이하인 네 자리 정수 하나를 무작위로 고릅니다. 이 수가 "홀수이면서 네 자릿수가 모두 서로 다른" 경우일 확률은 얼마일까요?

주어진 것: $\{1000, 1001, \ldots, 9999\}$ 에서 한 수를 균등 확률로 뽑음; 네 자리 정수의 전체 개수는 $9000$; 홀수 조건: 일의 자리가 $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ 중 하나; "자릿수가 모두 다르다" = 네 자리 중 같은 숫자가 한 번이라도 반복되지 않음; 선택지: (A) $\tfrac{14}{75}$, (B) $\tfrac{56}{225}$, (C) $\tfrac{107}{400}$, (D) $\tfrac{7}{25}$, (E) $\tfrac{9}{25}$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

확률 문제는 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (가) 전체 경우의 수 세기, (나) 조건을 만족하는 경우의 수 세기, (다) 두 수의 비를 만들어 기약분수로 줄이기 — 이렇게 세 부분으로 깔끔하게 나뉩니다. (나)에서는 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 의 발상으로 자릿수를 "채우는 순서" 를 정해 곱셈 원리를 씁니다. 핵심은 제약이 가장 강한 자리부터 채우는 것 — 일의 자리(홀수여야 함)를 먼저 정하면 그 숫자가 $0$ 이 아니라는 사실 덕분에 천의 자리($d_1 \ne 0$ 조건) 세기가 단순해집니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기) 으로 약분 결과가 다섯 선택지 중 정확히 하나와 일치함을 확인합니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.A.2 단계 1
  • (가) 전체 경우의 수.
  • $1000$ 부터 $9999$ 까지의 정수가 곧 모든 네 자리 양의 정수이므로 개수는 $9999 - 1000 + 1 = 9000$ 입니다.
$$|\Omega| = 9999 - 1000 + 1 = 9000$$

💡 네 자리 정수가 $1000$ 부터 $9999$ 까지라는 것을 알고 그 개수를 빼서 구하는 것은 4학년 자리값 감각 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 2
  • (나) 조건을 만족하는 경우의 수 — 자릿수를 어떤 순서로 정할지부터 결정합니다.
  • 네 자리를 $d_1 d_2 d_3 d_4$(천·백·십·일) 로 쓰면, 제약이 가장 강한 자리부터 채워야 계산이 깔끔해집니다.
  • 일의 자리 $d_4$ 는 홀수여야 하고, 그 결과 $0$ 이 아닌 숫자가 미리 빠지므로 "천의 자리 $d_1 \ne 0$" 조건과 겹쳐도 깔끔하게 처리됩니다.
선택 순서: $d_4 \to d_1 \to d_2 \to d_3$

💡 자리별로 "빠짐없이 나열" 하는 순서를 미리 정해 곱셈 원리로 세는 것은 4학년 다단계 문장제의 표준 전략입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 3
  • 자리별 경우의 수를 셉니다.
  • 일의 자리 $d_4$: 홀수 $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ 의 $5$ 가지.
  • 천의 자리 $d_1$: $0$ 이 될 수 없고 $d_4$ 와도 달라야 하는데, $d_4$ 가 이미 $0$ 이 아니므로 $\{0, \ldots, 9\}$ 에서 "$0$" 과 "$d_4$" 두 개를 빼서 $10 - 2 = 8$ 가지.
  • 백의 자리 $d_2$: $d_1, d_4$ 와 달라야 하므로 $10 - 2 = 8$ 가지.
  • 십의 자리 $d_3$: $d_1, d_2, d_4$ 와 달라야 하므로 $10 - 3 = 7$ 가지.
$$d_4{:}\,5,\ \ d_1{:}\,8,\ \ d_2{:}\,8,\ \ d_3{:}\,7$$

💡 $10$ 개 숫자에서 이미 쓴 숫자를 빼 나가는 것은 4학년 다단계 사칙연산 그 자체입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 5.NBT.B.5 단계 4

각 자리의 경우의 수를 모두 곱해서 조건을 만족하는 네 자리 정수의 개수를 구합니다.

$$5 \times 8 \times 8 \times 7 = 40 \times 56 = 2240$$

💡 $40 \times 56 = 2240$ 같은 여러 자리 곱셈은 5학년 "여러 자리 자연수의 곱셈" 유창성 표준입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 5
  • (다) 확률을 만들고 약분합니다.
  • 확률 $= \dfrac{\text{조건 만족}}{\text{전체}} = \dfrac{2240}{9000}$.
  • 최대공약수를 구하면 $2240 = 2^6 \cdot 5 \cdot 7$, $9000 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^3$ 이므로 $\gcd = 2^3 \cdot 5 = 40$.
  • 분자·분모를 $40$ 으로 나눕니다.
$$\dfrac{2240}{9000} = \dfrac{2240 \div 40}{9000 \div 40} = \dfrac{56}{225}$$

💡 소인수분해로 최대공약수를 찾아 분수를 약분하는 것은 6학년 "최대공약수와 최소공배수" 표준입니다.

#3 가능성 지우기 7.SP.C.5 단계 6
  • 이 비율을 "확률" 로 해석하고 답을 고릅니다(도구 #3).
  • $\tfrac{56}{225} \approx 0.249$ 로 $0$ 과 $1$ 사이의 정상적인 확률이며, 선택지 다섯 개 중 (B) 와만 정확히 일치합니다.
$$P = \dfrac{56}{225} \approx 0.249 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 경우의 수 비를 "$0$ 과 $1$ 사이의 확률" 로 해석하는 것은 7학년 확률 도입 표준입니다.

[1] #7 4.NBT.A.2 (가) 전체 경우의 수. $1000$ 부터 $9999$ 까지의 정수가 곧 모든 네 자리 양의 정수이므로 개수는 $9999 - 1000 + 1 =
[2] #2 4.OA.A.3 (나) 조건을 만족하는 경우의 수 — 자릿수를 어떤 순서로 정할지부터 결정합니다. 네 자리를 $d_1 d_2 d_3 d_4$(천·백·십·일) 로
[3] #2 4.OA.A.3 자리별 경우의 수를 셉니다. 일의 자리 $d_4$: 홀수 $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ 의 $5$ 가지. 천의 자리 $d_1$: $0$ 이
[4] #2 5.NBT.B.5 각 자리의 경우의 수를 모두 곱해서 조건을 만족하는 네 자리 정수의 개수를 구합니다.
[5] #7 6.NS.B.4 (다) 확률을 만들고 약분합니다. 확률 $= \dfrac{\text{조건 만족}}{\text{전체}} = \dfrac{2240}{9000}$.
[6] #3 7.SP.C.5 이 비율을 "확률" 로 해석하고 답을 고릅니다(도구 #3). $\tfrac{56}{225} \approx 0.249$ 로 $0$ 과 $1$ 사이

검토

합리성 확인: 두 가지 감각 점검을 합니다. (i) 네 자리 정수 중 약 절반이 홀수이고($P \approx 0.5$), 그중에서 나머지 세 자릿수가 모두 일의 자리 및 서로와 다른 비율은 대략 $\tfrac{9}{10} \cdot \tfrac{8}{10} \cdot \tfrac{7}{10} \approx 0.504$ 이므로, 두 조건이 동시에 만족될 확률은 $0.5 \cdot 0.5 \approx 0.25$ 근처여야 합니다. 우리 답 $\tfrac{56}{225} \approx 0.249$ 가 이 추정치와 정확히 들어맞습니다. (ii) $56 = 2^3 \cdot 7$ 과 $225 = 3^2 \cdot 5^2$ 은 공통 소인수가 없으므로 이미 기약분수입니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 / 여사건) 은 이 문제에는 별로 도움이 되지 않습니다 — "홀수" 와 "모두 다른 자릿수" 둘 다 제약이 강해서, 여사건("짝수이거나 같은 숫자가 있다") 이 오히려 훨씬 복잡해지기 때문입니다. 대신 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 가 깔끔합니다: 먼저 "네 자리이고 자릿수가 모두 다른" 정수의 수만 세면 $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$. 여기에 "일의 자리가 홀수" 라는 추가 조건을 (정확한 비율을 따져) 곱하면 $2240$ 이 다시 나와 같은 답을 얻을 수 있어 좋은 검산이 됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

  • 4.NBT.A.2 여러 자리 자연수 읽기·쓰기·비교 ($1000$ 부터 $9999$ 까지가 곧 네 자리 자연수임을 인지하고 표본 공간 크기 $9999 - 1000 + 1 = 9000$ 을 구하는 데 사용.)
  • 4.OA.A.3 사칙연산을 활용한 다단계 문장제 해결 (이미 쓴 숫자를 $10$ 개에서 빼 나가며 자리별 경우의 수 $5, 8, 8, 7$ 을 구하는 데 사용.)
  • 5.NBT.B.5 여러 자리 자연수의 곱셈 유창성 (자리별 경우의 수를 곱해 조건을 만족하는 정수의 총수 $5 \times 8 \times 8 \times 7 = 2240$ 을 계산.)
  • 6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 (소인수분해로 $\gcd(2240, 9000) = 40$ 을 찾아 $\tfrac{2240}{9000}$ 을 $\tfrac{56}{225}$ 으로 약분.)
  • 7.SP.C.5 확률은 0과 1 사이의 수임을 이해 (약분된 비 $\tfrac{56}{225}$ 을 "$0$ 과 $1$ 사이의 확률" 로 해석하고 선택지와 대응시키는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "조건을 만족하는 경우의 수 $\div$ 전체 경우의 수 = 확률" 만 알면 풀 수 있어요!

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "조건을 만족하는 경우의 수 $\div$ 전체 경우의 수 = 확률" 만 알면 풀 수 있어요!

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