AMC 8 · 2017 · #6

학년 8 geometry-2drate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints

angle-sum-triangleratio-proportion identify-subproblemsratio-proportion ↑ 선수 지식: ratio-proportionmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

한 삼각형의 세 각의 크기의 비가 $3:3:4$ 라면, 그 삼각형에서 가장 큰 각의 크기는 몇 도입니까?

$\textbf{(A) }18\qquad\textbf{(B) }36\qquad\textbf{(C) }60\qquad\textbf{(D) }72\qquad\textbf{(E) }90$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 삼각형의 세 내각의 크기가 $3:3:4$ 의 비를 이룹니다. 이 세 각 중 가장 큰 각의 크기를 도(°) 단위로 구하세요.

주어진 것: 삼각형 세 내각의 크기가 $3:3:4$ 의 비를 이룬다; 어떤 삼각형이든 세 내각의 합은 항상 $180^\circ$ 이다; 선택지: (A) $18$, (B) $36$, (C) $60$, (D) $72$, (E) $90$ (단위: 도)

구하는 것: 세 각 중 가장 큰 각의 크기(도)

이해

문제 재정리: 어떤 삼각형의 세 내각의 크기가 $3:3:4$ 의 비를 이룹니다. 이 세 각 중 가장 큰 각의 크기를 도(°) 단위로 구하세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 두 단계로 나눕니다 — (a) "비례 한 칸" 이 몇 도인지 먼저 구하고, (b) 그 한 칸 값을 가지고 가장 큰 각의 크기를 만든다. $3:3:4$ 의 비에는 $3+3+4=10$ 개의 같은 칸이 들어 있고, 이 $10$ 칸이 삼각형의 $180^\circ$ 를 나눠 가지므로 한 칸은 $180^\circ \div 10$ 으로 바로 나옵니다. 한 칸 크기만 알면 가장 큰 각($4$ 칸)은 곱셈 한 번으로 끝납니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식 보조 도구로, 정답이 "$4$ 칸짜리" 이려면 $4$ 의 배수에 가까운 값이어야 하고 세 각의 합이 $180^\circ$ 가 돼야 한다는 두 조건으로 다른 선택지를 빠르게 걸러 줍니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.D.8 단계 1

비를 이루는 부분들을 모두 더해서 $180^\circ$ 가 몇 개의 같은 칸으로 나눠지는지 확인합니다.
비 $3:3:4$ 는 $3+3+4=10$ 칸으로 이루어져 있습니다.

$$3 + 3 + 4 = 10 \text{ 칸}$$

💡 비의 각 부분을 그대로 더해 칸 수를 세는 것은 3학년 한·두 단계 사칙연산 문장제 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 2

어떤 삼각형이든 세 내각의 합은 항상 $180^\circ$ 라는 사실을 사용합니다.
그러면 $10$ 개의 같은 칸이 정확히 $180^\circ$ 안에 들어가므로, 한 칸 크기는 나눗셈 한 번으로 구할 수 있습니다.

$$180^\circ \div 10 = 18^\circ \text{ (한 칸)}$$

💡 "삼각형의 세 내각의 합 $= 180^\circ$" 라는 사실 자체는 8학년에서 비형식적으로 정당화하는 각의 합 정리입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.2 단계 3

비에서 가장 큰 각은 $4$ 칸짜리 부분이므로, 한 칸 크기에 $4$ 를 곱해서 도(°) 단위로 표현합니다.

$$4 \times 18^\circ = 72^\circ \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 "한 칸의 $4$ 배" 라는 곱셈 비교는 4학년 곱셈적 비교 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 4.MD.C.7 단계 4

세 각을 다시 더해서 합이 정말 $180^\circ$ 가 되는지 확인합니다 — $3$ 칸 $+ 3$ 칸 $+ 4$ 칸.
이 한 번의 검증으로 다른 보기들은 모두 탈락합니다.

$$54^\circ + 54^\circ + 72^\circ = 180^\circ \;\checkmark$$

💡 각의 부분들을 더해 전체와 같은지 확인하는 것은 4학년 "각의 크기는 더할 수 있다" 개념 그대로입니다.

[1] #7 3.OA.D.8 비를 이루는 부분들을 모두 더해서 $180^\circ$ 가 몇 개의 같은 칸으로 나눠지는지 확인합니다. 비 $3:3:4$ 는 $3+3+4=10$

[2] #7 8.G.A.5 어떤 삼각형이든 세 내각의 합은 항상 $180^\circ$ 라는 사실을 사용합니다. 그러면 $10$ 개의 같은 칸이 정확히 $180^\circ$

[3] #7 4.OA.A.2 비에서 가장 큰 각은 $4$ 칸짜리 부분이므로, 한 칸 크기에 $4$ 를 곱해서 도(°) 단위로 표현합니다.

[4] #3 4.MD.C.7 세 각을 다시 더해서 합이 정말 $180^\circ$ 가 되는지 확인합니다 — $3$ 칸 $+ 3$ 칸 $+ 4$ 칸. 이 한 번의 검증으로 다

검토

합리성 확인: 세 각은 $54^\circ, 54^\circ, 72^\circ$ 로 나오는데, 모두 양수이고 모두 $180^\circ$ 보다 작으며 합이 정확히 $180^\circ$ 입니다. 작은 두 각이 같은 이등변삼각형이고, 가장 큰 각이 다른 두 각보다 살짝만 더 크다는 점은 $3:3:4$ 라는 "균형 잡힌" 비와 잘 맞습니다. 가장 큰 각 $72^\circ$ 가 $90^\circ$ 보다 작으니 예각삼각형이며, 이는 $3:3:4$ 라는 완만한 비가 만들어 내는 모양으로 자연스럽습니다. 정답 (D) $72^\circ$ 는 크기가 적절합니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 대입해 봅시다. 가장 큰 각은 $180^\circ$ 의 정확히 $\tfrac{4}{10} = \tfrac{2}{5}$ 여야 하므로 $\tfrac{2}{5} \times 180 = 72$ — (D) 만 일치합니다. 또는 각 보기를 $4$ 로 나눠서 "한 칸" 후보를 구하고, $10$ 칸의 합이 $180^\circ$ 가 되는지 확인해도 됩니다 — $72 \div 4 = 18$, $10 \times 18 = 180$ 으로 (D) 만 통과합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

3.OA.D.8 사칙연산을 활용한 두 단계 문장제 해결 (100 이내) (비의 각 부분을 더해 총 칸 수 $3+3+4=10$ 을 구하는 데 사용.)
8.G.A.5 각의 합 및 외각에 관한 사실을 비형식적 논증으로 설명 (삼각형 세 내각의 합이 $180^\circ$ 라는 사실을 적용해 $10$ 개의 비례 칸이 전체 $180^\circ$ 에 맞춰지도록 함.)
4.OA.A.2 곱셈적 비교를 포함한 문장제를 곱하기 또는 나누기로 해결 (가장 큰 각의 크기를 "한 칸의 $4$ 배" 인 $4 \times 18^\circ = 72^\circ$ 로 계산.)
4.MD.C.7 각의 크기는 더할 수 있다는 성질로 덧셈·뺄셈 문제 해결 (세 각의 합 $54^\circ + 54^\circ + 72^\circ = 180^\circ$ 를 더해서 비례 분할이 전체와 맞는지 검증.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 "삼각형 세 내각의 합 = $180^\circ$" 한 가지 사실만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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