AMC 8 · 2018 · #3

학년 4 logic

modular-arithmeticsystematic-enumerationlogical-deduction systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticdivisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

아른, 밥, 시드, 댄, 이브, 폰 여섯 명의 학생이 그 순서대로 원형으로 서 있습니다. 아른부터 시작하여 밥, 시드 순으로 한 사람씩 차례대로 수를 부릅니다. 부르는 수가 47처럼 숫자 7을 포함하거나 7의 배수일 경우, 그 수를 부른 사람은 원에서 빠지고 다음 사람부터 계속 수를 부릅니다. 마지막까지 원에 남는 사람은 누구입니까?

$\textbf{(A) } \text{Arn}\qquad\textbf{(B) }\text{Bob}\qquad\textbf{(C) }\text{Cyd}\qquad\textbf{(D) }\text{Dan}\qquad \textbf{(E) }\text{Eve}\qquad$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$text{Arn}$

(B)

$text{Bob}$

(C)

$text{Cyd}$

(D)

$text{Dan}$

(E)

$text{Eve}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 여섯 명의 학생 — 아른, 밥, 시드, 댄, 이브, 폰 — 이 이 순서대로 원형으로 둘러섭니다. 아른 부터 시작해서 한 명이 한 숫자씩 $1, 2, 3, \ldots$ 을 차례로 외칩니다. 외친 숫자가 $7$ 의 배수 이거나 숫자 $7$ 을 포함하면 그 사람은 곧바로 원에서 빠지고, 그 다음 사람이 이어서 셉니다. 마지막까지 원에 남는 사람은 누구일까요?

주어진 것: 원형 순서: 아른 $\to$ 밥 $\to$ 시드 $\to$ 댄 $\to$ 이브 $\to$ 폰 $\to$ 다시 아른; 아른 이 $1$ 부터 시작해 한 사람이 한 숫자씩 시계 방향으로 외친다; 탈락 조건: 외친 숫자가 $7$ 의 배수 이거나 자릿수에 $7$ 이 들어 있을 때; 탈락 후에는 그 다음 사람이 다음 숫자를 이어서 외친다; 선택지: (A) Arn, (B) Bob, (C) Cyd, (D) Dan, (E) Eve

구하는 것: 다섯 번의 탈락이 끝난 뒤 원에 마지막으로 남는 사람

이해

계획

주요 도구: #10 직접 만져보기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

사람이 $6$ 명, 탈락도 $5$ 번뿐인 작고 구체적인 시뮬레이션 문제입니다. 도구 #10(직접 만져보기) 이 딱 맞습니다 — 동전 $6$ 개(또는 손가락 여섯 개)를 원으로 놓고, 탈락 숫자를 외칠 때마다 해당 동전을 빼면 됩니다. 깔끔하게 진행하기 위해 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 탈락 숫자를 작은 수부터 미리 적어 두면 ($7, 14, 17, 21, 27, \ldots$) 한 개도 놓치지 않습니다. 도구 #13(대수) 은 과해서 어울리지 않고, 도구 #5(패턴) 도 필요 없습니다 — $5$ 번이면 직접 끝까지 따라가는 게 더 빠르고 직관적입니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 1

탈락 숫자를 작은 수부터 나열합니다.
어떤 수가 '$7$ 의 배수' 이거나 '자릿수에 $7$ 이 들어 있으면' 탈락 숫자입니다.
$1, 2, 3, \ldots$ 을 보며 차례로 모으면 $7$ (둘 다 해당), $14$ (배수), $17$ (자릿수), $21$ (배수), $27$ (자릿수).
사람은 $6$ 명이고 한 라운드에 한 명씩 빠지므로, 마지막 한 명을 알려면 처음 다섯 개의 탈락 숫자만 있으면 충분합니다.

$$\text{탈락 숫자: } 7,\; 14,\; 17,\; 21,\; 27,\; \ldots$$

💡 $7$ 의 배수와 숫자 $7$ 을 포함한 수를 골라내는 작업은 4학년 '배수와 약수' 단원이 다루는 그대로입니다.

#10 직접 만져보기 K.G.A.1 단계 2

물리 모델을 만듭니다.
동전 $6$ 개를 원으로 놓고 각각 A(아른), B(밥), C(시드), D(댄), E(이브), F(폰) 으로 이름을 붙입니다.
시계 방향으로 한 동전당 한 숫자씩 가리키며 세고, 탈락 숫자가 나오면 그 동전을 원에서 빼냅니다.

$$\text{원: A} \to \text{B} \to \text{C} \to \text{D} \to \text{E} \to \text{F} \to \text{A}$$

💡 물건을 원형으로 늘어놓고 누가 누구의 '바로 다음' 인지 말하는 것은 유치원 단계의 위치 표현 그대로입니다.

#10 직접 만져보기 1.NBT.A.1 단계 3

1라운드 — 누군가 $7$ 을 외칠 때까지 셉니다.
차례대로 $1\to$ A, $2\to$ B, $3\to$ C, $4\to$ D, $5\to$ E, $6\to$ F, $7\to$ A.
따라서 아른 이 $7$ 을 외치고 탈락합니다.
남은 사람: B, C, D, E, F.

$$1\,\text{A},\; 2\,\text{B},\; 3\,\text{C},\; 4\,\text{D},\; 5\,\text{E},\; 6\,\text{F},\; 7\,\text{A}\;\boxed{\times}$$

💡 한 동전마다 한 숫자씩 부르며 원을 도는 일은 1학년 '아무 수부터 $120$ 까지 세기' 그대로입니다.

#10 직접 만져보기 1.NBT.A.1 단계 4

2라운드 — 빠진 아른 다음인 밥 부터 $8$ 로 이어서 $14$ 까지 셉니다.
$8\to$ B, $9\to$ C, $10\to$ D, $11\to$ E, $12\to$ F, $13\to$ B, $14\to$ C.
시드 가 탈락합니다.
남은 사람: B, D, E, F.

$$8\,\text{B},\; 9\,\text{C},\; 10\,\text{D},\; 11\,\text{E},\; 12\,\text{F},\; 13\,\text{B},\; 14\,\text{C}\;\boxed{\times}$$

💡 수 세기를 처음부터 다시 시작하지 않고 그대로 이어 가는 것이 핵심입니다 — 같은 수직선 위를 계속 걷는 셈입니다.

#10 직접 만져보기 1.NBT.A.1 단계 5

3라운드 — 빠진 시드 다음인 댄 부터 $15$ 로 이어서 $17$ 까지 셉니다.
$15\to$ D, $16\to$ E, $17\to$ F.
폰 이 탈락합니다.
남은 사람: B, D, E.

$$15\,\text{D},\; 16\,\text{E},\; 17\,\text{F}\;\boxed{\times}$$

💡 세 칸만 더 가면 됩니다 — 줄어든 원 위에서도 한 동전당 한 숫자씩 가리키는 규칙은 그대로입니다.

#10 직접 만져보기 K.G.A.1 단계 6

4라운드 — 폰 다음 차례인 사람부터 $18$ 로 이어 갑니다.
원래 F 다음은 A 였지만 A 는 이미 빠졌으므로 그 다음 동전인 B 가 차례입니다.
$21$ 까지 세면 $18\to$ B, $19\to$ D, $20\to$ E, $21\to$ B.
밥 이 탈락합니다.
남은 사람: D, E.

$$18\,\text{B},\; 19\,\text{D},\; 20\,\text{E},\; 21\,\text{B}\;\boxed{\times}$$

💡 이미 빠진 동전을 건너뛰고 바로 옆 동전으로 넘어가는 것은 '옆에 / 다음에' 위치 표현 그대로입니다.

#10 직접 만져보기 1.NBT.A.1 단계 7

5라운드 — 빠진 밥 다음인 댄 부터 $22$ 로 이어서 $27$ 까지 셉니다.
동전이 둘뿐이라 두 사람이 번갈아 외칩니다: $22\to$ D, $23\to$ E, $24\to$ D, $25\to$ E, $26\to$ D, $27\to$ E.
이브 가 탈락합니다.
이제 원에는 댄 한 명만 남아 있으므로 마지막으로 남는 사람은 댄, 즉 답은 (D) 입니다.

$$22\,\text{D},\; 23\,\text{E},\; 24\,\text{D},\; 25\,\text{E},\; 26\,\text{D},\; 27\,\text{E}\;\boxed{\times}\;\Rightarrow\; \textbf{(D) Dan}$$

💡 두 사람만 남으면 둘이 번갈아 가며 외치므로, 1학년도 따라갈 수 있는 단순 교대 패턴입니다.

[1] #2 4.OA.B.4 탈락 숫자를 작은 수부터 나열합니다. 어떤 수가 '$7$ 의 배수' 이거나 '자릿수에 $7$ 이 들어 있으면' 탈락 숫자입니다. $1, 2, 3

[2] #10 K.G.A.1 물리 모델을 만듭니다. 동전 $6$ 개를 원으로 놓고 각각 A(아른), B(밥), C(시드), D(댄), E(이브), F(폰) 으로 이름을 붙입

[3] #10 1.NBT.A.1 1라운드 — 누군가 $7$ 을 외칠 때까지 셉니다. 차례대로 $1\to$ A, $2\to$ B, $3\to$ C, $4\to$ D, $5\to$

[4] #10 1.NBT.A.1 2라운드 — 빠진 아른 다음인 밥 부터 $8$ 로 이어서 $14$ 까지 셉니다. $8\to$ B, $9\to$ C, $10\to$ D, $11\

[5] #10 1.NBT.A.1 3라운드 — 빠진 시드 다음인 댄 부터 $15$ 로 이어서 $17$ 까지 셉니다. $15\to$ D, $16\to$ E, $17\to$ F. 폰

[6] #10 K.G.A.1 4라운드 — 폰 다음 차례인 사람부터 $18$ 로 이어 갑니다. 원래 F 다음은 A 였지만 A 는 이미 빠졌으므로 그 다음 동전인 B 가 차례입

[7] #10 1.NBT.A.1 5라운드 — 빠진 밥 다음인 댄 부터 $22$ 로 이어서 $27$ 까지 셉니다. 동전이 둘뿐이라 두 사람이 번갈아 외칩니다: $22\to$ D,

검토

합리성 확인: 탈락 숫자 다섯 개 $7, 14, 17, 21, 27$ 이 정확히 다섯 명을 빼냅니다 — 아른, 시드, 폰, 밥, 이브 순서로요. 남는 사람은 댄 한 명, 선택지 (D) 와 일치합니다. 확인 차원에서 외친 숫자의 개수를 합쳐 보면 $1$ 부터 $27$ 까지 총 $27$ 개를 외쳤고, 다섯 라운드의 외친 횟수 $7 + 7 + 3 + 4 + 6 = 27$ 과 정확히 일치합니다 — 빠뜨리거나 두 번 센 숫자가 없다는 뜻입니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 과 모듈러 연산을 결합할 수도 있습니다 — $k$ 명이 남은 라운드에서 시작 사람부터 $g$ 칸을 가면 탈락하는 사람의 위치는 $((\text{시작} - 1) + g - 1) \bmod k + 1$ 번째입니다. 예를 들어 2라운드는 $k=5$, $g=7$, 시작이 밥 이니 $((0)+6) \bmod 5 + 1 = 2$ — 두 번째 사람, 즉 시드 가 탈락 — 직접 센 결과와 같습니다. 매 라운드 직접 세지 않아도 같은 답을 얻는 빠른 확인법입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

K.G.A.1 위, 아래, 옆, 앞, 뒤 같은 표현으로 물건의 위치 설명하기 (원 위에서 누가 누구의 '바로 옆' 인지, 동전 하나를 뺀 뒤 누가 그 다음 차례인지 말하는 데 사용.)
1.NBT.A.1 $120$ 보다 작은 어떤 수부터든 $120$ 까지 세기 ($1, 2, 3, \ldots, 27$ 을 한 사람당 한 숫자씩, 매 라운드마다 다시 시작하지 않고 이어서 외치는 데 사용.)
4.OA.B.4 모든 약수쌍을 찾고 배수를 알아보기 — 소수와 합성수 판별 (탈락 숫자를 만들어 내는 $7$ 의 배수($7, 14, 21, \ldots$) 를 골라내고, 자릿수에 $7$ 이 들어간 수까지 합쳐 탈락 숫자 목록을 작성하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "$7$ 의 배수 찾기" 만 알면 풀 수 있어요 — 나머지는 동전을 원으로 놓고 직접 세 보면 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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