AMC 8 · 2019 · #22

학년 7 rate-ratioalgebra

percentageperfect-squareslinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: percentage

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 가게에서 셔츠의 원래 가격을 일정한 비율만큼 올렸다가, 다시 올린 가격에서 같은 비율만큼 내렸습니다. 그 결과 새 가격이 원래 가격의 $84\%$ 가 되었다고 합니다. 가격을 올렸다가 내린 비율은 몇 퍼센트입니까?

$\textbf{(A) }16\qquad\textbf{(B) }20\qquad\textbf{(C) }28\qquad\textbf{(D) }36\qquad\textbf{(E) }40$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 셔츠의 원래 가격을 어떤 비율 $x\%$ 만큼 올린 뒤, 올라간 새 가격을 같은 비율 $x\%$ 만큼 내렸더니 최종 가격이 원래 가격의 $84\%$ 가 되었습니다. $x$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: 원래 가격을 먼저 $x\%$ 인상함; 그 뒤 인상된 가격을 같은 $x\%$ 만큼 인하함; 최종 가격 $= $ 원래 가격의 $84\%$; 선택지: (A) $16$, (B) $20$, (C) $28$, (D) $36$, (E) $40$

구하는 것: 인상과 인하에 공통으로 쓰인 단일 비율 $x$

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

객관식 백분율 문제이고 후보가 다섯 개뿐이라 직접 확인이 가장 빠릅니다. 각 선택지 $x$ 에 대해 두 변동을 곱한 "전체 배율" $(1 + \tfrac{x}{100}) \times (1 - \tfrac{x}{100})$ 이 $0.84$ 인지 보면 됩니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 후보를 대입하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 맞지 않는 선택지를 지웁니다. 시작 전에 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 $x = 10$ 같은 작은 예를 먼저 풀어 보면, "같은 비율로 올렸다 내리면 원래 가격으로 돌아오지 않는다" 는 이 문제의 핵심 직관이 만들어집니다.

실행 — 정답: E

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.RP.A.3 단계 1

작은 예로 감을 잡아 봅니다.
시작 가격을 다루기 쉬운 $\$100$ 로 두고 $x = 10$ 을 시험합니다. $10\%$ 인상: $\$100 \to \$110$. $10\%$ 인하: $\$110 \to \$110 - \$11 = \$99$. 즉 최종 가격은 원래의 $99\%$ 로, $100\%$ 가 아닙니다. 같은 비율로 올렸다 내려도 가격은 항상 원래보다 조금 낮아지며, 그래서 이 문제의 최종 가격이 $100\%$ 가 아닌 $84\%$ 인 것입니다.

$\$100 \xrightarrow{+10\%} \$110 \xrightarrow{-10\%} \$99 \;=\; \text{원래의 } 99\%$

💡 더 쉬운 예 ($x = 10$) 가 같은 비율 인상·인하 후 가격이 줄어든다는 걸 보여 줍니다 — 7학년 백분율 추론.

#6 추측하고 확인하기 6.RP.A.3 단계 2

규칙을 깔끔하게 적어 둡니다.
가격 $P$ 에서 $x\%$ 인상은 $P$ 에 $1 + \tfrac{x}{100}$ 을 곱하고, 이어진 $x\%$ 인하는 $1 - \tfrac{x}{100}$ 을 또 곱합니다.
따라서 최종 가격이 원래 가격의 몇 배인지(= 전체 배율) 는 두 인수의 곱입니다.

$$\text{전체 배율} = \left(1 + \tfrac{x}{100}\right) \left(1 - \tfrac{x}{100}\right)$$

💡 백분율 변화를 소수 배율로 바꾸는 것은 6학년 비율·백분율 추론의 핵심.

#3 가능성 지우기 5.NBT.B.7 단계 3

선택지 (A) $x = 16$ 을 시험합니다.
전체 배율 $= 1.16 \times 0.84$.
어림하면 약 $0.97$ 로 $0.84$ 보다 한참 큽니다.
(A) 탈락.

$$1.16 \times 0.84 \approx 0.974 \ne 0.84$$

💡 소수점 둘째 자리 곱셈은 5학년 내용; 결과 비교로 (A)를 제거.

#3 가능성 지우기 5.NBT.B.7 단계 4

선택지 (B) $x = 20$ 을 시험합니다.
전체 배율 $= 1.20 \times 0.80 = 0.96$.
역시 너무 큽니다.
(B) 탈락.

$$1.20 \times 0.80 = 0.96 \ne 0.84$$

💡 같은 5학년 소수 곱셈; 결과 $0.96$ 이라 (B)도 제외.

#6 추측하고 확인하기 5.NBT.B.7 단계 5

선택지 (E) $x = 40$ 을 시험합니다 ($x$ 가 커질수록 배율이 작아지므로, 큰 쪽으로 점프해 범위를 빠르게 좁힙니다).
전체 배율 $= 1.40 \times 0.60 = 0.84$.
정확히 일치 — 따라서 $x = 40$, 답은 (E).

$$1.40 \times 0.60 = 0.84 \;\checkmark \;\Rightarrow\; \textbf{(E) } 40$$

💡 큰 후보로 추측해 보니 $0.84$ 와 정확히 일치 — 5학년 소수 곱셈으로 확인.

[1] #9 7.RP.A.3 작은 예로 감을 잡아 봅니다. 시작 가격을 다루기 쉬운 $\$100$ 로 두고 $x = 10$ 을 시험합니다. $10\%$ 인상: $\$100

[2] #6 6.RP.A.3 규칙을 깔끔하게 적어 둡니다. 가격 $P$ 에서 $x\%$ 인상은 $P$ 에 $1 + \tfrac{x}{100}$ 을 곱하고, 이어진 $x\%$

[3] #3 5.NBT.B.7 선택지 (A) $x = 16$ 을 시험합니다. 전체 배율 $= 1.16 \times 0.84$. 어림하면 약 $0.97$ 로 $0.84$ 보다

[4] #3 5.NBT.B.7 선택지 (B) $x = 20$ 을 시험합니다. 전체 배율 $= 1.20 \times 0.80 = 0.96$. 역시 너무 큽니다. (B) 탈락.

[5] #6 5.NBT.B.7 선택지 (E) $x = 40$ 을 시험합니다 ($x$ 가 커질수록 배율이 작아지므로, 큰 쪽으로 점프해 범위를 빠르게 좁힙니다). 전체 배율 $

검토

합리성 확인: 준비 단계의 $x = 10$ 은 $0.99$ (아주 살짝 감소) 였는데, 이 문제는 $0.84$ 까지 떨어졌으니 $x$ 가 $10$ 보다 훨씬 커야 합니다. 다섯 선택지 중 그 범위에 해당하는 것은 $x = 40$ 뿐이고, $1.40 \times 0.60 = 0.84$ 는 반올림 없이 정확히 맞습니다. 나머지 선택지 ($16, 20, 28, 36$) 의 전체 배율은 모두 $0.84$ 보다 크므로 (E) 가 유일한 답임을 확인합니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 를 쓰면 합·차의 곱으로 한 줄에 풀립니다. $r = \tfrac{x}{100}$ 라 두면 전체 배율 $(1+r)(1-r) = 1 - r^2$. $1 - r^2 = 0.84$ 에서 $r^2 = 0.16$, $r = 0.4$, 즉 $x = 40$. 대수가 익숙한 학생에게는 더 빠르지만, 대수 없이도 도구 #6 만으로 충분히 답에 도달할 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.NBT.B.7 소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 (각 후보 $x$ 를 확인할 때 $1.16 \times 0.84$, $1.20 \times 0.80$, $1.40 \times 0.60$ 같은 소수 곱셈을 수행.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (백분율 변화($x\%$ 인상, $x\%$ 인하) 를 소수 배율 $1 + \tfrac{x}{100}$ 과 $1 - \tfrac{x}{100}$ 으로 바꾸는 데 사용.)
7.RP.A.3 비례 관계를 이용한 다단계 비율·백분율 문제 해결 (연속된 두 번의 백분율 변화를 하나의 "원래 가격 대비 최종 가격 비율" 로 합치는 다단계 백분율 추론 — 이 문제의 핵심.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "같은 비율로 올렸다 내려도 원래 가격으로 돌아오지 않는다" 는 백분율 추론만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

비슷한 유형 더 풀어보기