AMC 8 · 2019 · #5

학년 8 rate-ratioalgebra

rategraph-readingslope-intercept identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: graph-readingrate

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

거북이가 토끼에게 경주를 신청했습니다. 토끼는 흔쾌히 응해 빠르게 앞서 달려나갔고, 느릿느릿 움직이는 거북이는 뒤에 남겨졌습니다. 자신이 이길 것이라고 확신한 토끼는 도중에 멈춰 낮잠을 잤습니다. 그 사이 거북이는 경주 내내 천천히, 그러나 일정한 속도로 걸었습니다. 토끼가 잠에서 깨어나 결승선까지 달려갔지만, 거북이는 이미 결승선에 도착해 있었습니다. 출발부터 결승선까지 두 동물이 이동한 거리 $d$ 를 시간 $t$ 에 따라 나타낸 그래프 중, 이 경주를 바르게 나타낸 것은 다음 중 어느 것입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(distance-time graph A) hare and tortoise — variant interpretation

(B)

(distance-time graph B) tortoise straight line; hare steep up, flat (nap), steep up — arrives after tortoise

(C)

(distance-time graph C) variant interpretation

(D)

(distance-time graph D) variant interpretation

(E)

(distance-time graph E) variant interpretation

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 거북이는 경주 내내 느리고 일정한 속력으로만 걸어가고, 토끼는 빠르게 앞서 달렸다가 잠깐 낮잠을 자고 다시 빠르게 달리지만 결국 거북이보다 늦게 결승선에 도착합니다. 거리-시간 그래프 후보 (A)~(E) 중에서 이 이야기 속 두 동물의 움직임을 모두 올바르게 나타낸 그래프 하나를 고르는 문제입니다.

주어진 것: 가로축은 시간 $t$, 세로축은 이동 거리 $d$; 거북이: 출발부터 결승까지 한 가지 느리고 일정한 속력; 토끼: 빠르게 달림 $\rightarrow$ 완전히 멈춰 낮잠 $\rightarrow$ 다시 빠르게 달림; 결과: 거북이가 토끼보다 먼저 결승 거리에 도달

구하는 것: 두 동물의 움직임을 모두 올바르게 그린 그래프가 (A)~(E) 중 어느 것인지

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #1 그림 그리기

후보가 다섯 개뿐인 객관식이므로 도구 #3(가능성 지우기)이 가장 자연스러운 선택입니다 — 이야기 속 단서 하나하나를 "그래프가 반드시 가져야 할 시각적 특징"으로 바꾼 뒤, 그 특징을 어기는 그래프를 차례대로 지워 나가면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)은 짝꿍 역할입니다. 선택지를 보기 전에 머릿속으로 각 동물의 그래프 모양을 미리 스케치 — 거북이는 완만한 직선 하나, 토끼는 가파른 선 $\rightarrow$ 평평한 선반 $\rightarrow$ 다시 가파른 선이 거북이보다 늦게 결승선에 닿는 모양 — 해 두면, 그 다음은 그저 일치 여부를 체크하는 일이 됩니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 8.F.A.3 단계 1

거북이의 그래프가 어떤 모양이어야 하는지 머릿속에 그려 봅니다.
"느리고 일정한 속력"은 곧 일정한 속도이고, 거리-시간 그래프에서 일정한 속도는 원점을 지나는 한 개의 직선(기울기가 완만하고 휘지 않는)으로 나타납니다.

$$d_{\text{거북이}}(t) = (\text{일정한 속력}) \times t$$

💡 같은 시간 동안 늘 같은 거리만큼 더 가니까, 그 자취는 휘지 않는 직선이 됩니다.

#1 그림 그리기 8.F.B.5 단계 2

토끼의 그래프는 세 조각이 이어 붙은 모양이어야 합니다.
가파르게 위로 올라가는 직선 한 조각(빠르게 달리기), 그다음 가로로 누운 평평한 조각(낮잠 — 시간은 흐르지만 거리는 그대로), 그리고 다시 가파르게 위로 올라가 결승선에 닿는 마지막 조각.

$$d_{\text{토끼}}(t) = \begin{cases} \text{가파르게 위로} \\ \text{평평} \\ \text{가파르게 위로} \end{cases}$$

💡 이야기 속 동사 하나("달린다", "잔다", "달린다")가 그래프 조각 하나씩에 대응되고, 평평한 선반은 낮잠의 결정적 증거입니다.

#3 가능성 지우기 8.F.B.5 단계 3

그래프 (D) 지우기: (D)에서는 거북이의 자취가 직선이 아닌 곡선입니다.
곡선은 속도가 변하고 있다는 뜻이라, "느리고 일정한 속력" 이라는 조건과 어긋납니다.

💡 곡선은 "빨라지거나 느려진다" 는 말과 같은데, 거북이는 어느 쪽도 하지 않습니다.

#3 가능성 지우기 8.F.B.5 단계 4

그래프 (C)와 (E) 지우기: 둘 다 토끼의 낮잠을 나타내는 평평한 선반 구간이 없습니다.
특히 (C)에서는 토끼의 거리가 한 지점에서 오히려 줄어드는데, 이는 뒤로 달렸다는 뜻이라 불가능합니다.

💡 평평한 구간이 없다 $=$ 낮잠이 없다; 거리가 내려가는 구간은 "뛰던 길을 되돌아 갔다" 는 뜻이라 말이 안 됩니다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.2 단계 5

남은 (A)와 (B) 중에서 마지막 단서 "토끼가 결승선에 도착했을 때 거북이는 이미 와 있었다" 로 가립니다.
각 동물의 곡선이 그래프 맨 위의 결승 거리 가로선과 만나는 지점을 찾아, 그 만나는 시간 $t$ 가 누가 더 작은(왼쪽인)지 비교합니다.

💡 결승 거리 선과 더 작은 $t$ 에서 만나는 쪽이 더 먼저 도착한 우승자입니다.

#3 가능성 지우기 8.F.B.5 단계 6

(A) 에서는 토끼의 조각선이 거북이의 직선보다 먼저 결승선에 닿아 토끼가 이기는 그림이 됩니다 — 이야기와 어긋납니다.
(B) 에서는 거북이의 직선이 먼저 결승선에 닿고, 토끼의 두 번째 가파른 조각은 그 뒤 시각에 도착합니다.
모든 단서를 동시에 만족시키는 그래프는 (B) 뿐입니다.

$$t_{\text{거북이, 결승}} < t_{\text{토끼, 결승}} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 거북이가 이긴다는 말은, 시간축 위에서 거북이의 결승 시각 점이 토끼의 결승 시각 점보다 왼쪽에 찍힌다는 뜻입니다.

[1] #1 8.F.A.3 거북이의 그래프가 어떤 모양이어야 하는지 머릿속에 그려 봅니다. "느리고 일정한 속력"은 곧 일정한 속도이고, 거리-시간 그래프에서 일정한 속도

[2] #1 8.F.B.5 토끼의 그래프는 세 조각이 이어 붙은 모양이어야 합니다. 가파르게 위로 올라가는 직선 한 조각(빠르게 달리기), 그다음 가로로 누운 평평한 조각

[3] #3 8.F.B.5 그래프 (D) 지우기: (D)에서는 거북이의 자취가 직선이 아닌 곡선입니다. 곡선은 속도가 변하고 있다는 뜻이라, "느리고 일정한 속력" 이라는

[4] #3 8.F.B.5 그래프 (C)와 (E) 지우기: 둘 다 토끼의 낮잠을 나타내는 평평한 선반 구간이 없습니다. 특히 (C)에서는 토끼의 거리가 한 지점에서 오히려

[5] #3 6.RP.A.2 남은 (A)와 (B) 중에서 마지막 단서 "토끼가 결승선에 도착했을 때 거북이는 이미 와 있었다" 로 가립니다. 각 동물의 곡선이 그래프 맨 위

[6] #3 8.F.B.5 (A) 에서는 토끼의 조각선이 거북이의 직선보다 먼저 결승선에 닿아 토끼가 이기는 그림이 됩니다 — 이야기와 어긋납니다. (B) 에서는 거북이의

검토

합리성 확인: 정답인 (B) 가 이야기 속 단서 네 가지를 모두 지키는지 확인합니다. (1) 거북이의 자취는 원점에서 출발하는 한 줄의 직선 — "일정한 속력" 과 일치 OK. (2) 토끼의 자취는 가파름$\rightarrow$평평$\rightarrow$가파름 — "달리기, 낮잠, 달리기" 와 일치 OK. (3) 토끼의 자취는 어디서도 내려가지 않음 — 뒤로 달리지 않음 OK. (4) 거북이의 자취가 결승 가로선과 만나는 시각이 토끼의 자취가 만나는 시각보다 앞 — "거북이가 이미 와 있었다" 와 일치 OK. 네 가지 모두 성립합니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 단독 사용 — 선택지를 보기 전에 이야기만 가지고 $d$-$t$ 평면에 손그림으로 정답 그래프를 먼저 그립니다. 거북이는 가로 끝까지 가는 완만한 직선 하나, 토끼는 키 큰 계단(가파른 막대 $\rightarrow$ 평평한 단 $\rightarrow$ 가파른 막대)을 그리되 그 끝 시각이 거북이의 결승 시각보다 오른쪽에 오게 합니다. 그런 다음 (A)~(E) 와 모양을 대조하면 위상적으로 일치하는 것은 (B) 하나뿐이라 곧바로 답이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.F.A.3 $y = mx + b$ 형태의 식을 선형 함수의 정의로 해석 (거북이의 "일정한 속력" 이 원점을 지나는 직선 그래프($d = mt$ 라는 선형 함수)로 나타나야 함을 알아보는 데 사용.)
8.F.B.5 두 양 사이의 함수 관계를 정성적으로 기술 (이야기 속 각 구절(달리기, 낮잠, 달리기, 늦게 도착)을 그래프의 정성적 특징(가파름, 평평, 가파름, 더 늦은 결승 시각)으로 옮기고, 그 형태에 어긋나는 그래프들을 제거하는 데 사용.)
6.RP.A.2 단위율(unit rate)의 개념과 비율 언어 사용 (거리-시간 그래프 각 구간의 기울기를 그 동물의 속력으로 읽어, "평평 $=$ 멈춤", "가파를수록 빠름" 이라는 비교가 의미를 갖게 하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 "이야기의 한 문장을 기울기 한 조각(가파름·평평·완만함)으로 옮기는 그래프 읽기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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