AMC 8 · 2020 · #24

학년 7 geometry-2dalgebra

area-rectanglespercentageratio-proportionlinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglespercentagelinear-equations-one-var

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

큰 정사각형 영역에 한 변의 길이가 $s$ 인치인 회색 정사각형 타일 $n^2$ 개가 깔려 있고, 각 타일 둘레에는 너비 $d$ 인치의 테두리가 있습니다. 아래 그림은 $n=3$ 인 경우를 나타냅니다. $n=24$ 일 때, $576$ 개의 회색 타일이 큰 정사각형 영역 넓이의 $64\%$ 를 덮습니다. 이 더 큰 $n$ 값에 대하여 비율 $\frac{d}{s}$ 는 얼마입니까?

$\textbf{(A) }\frac{6}{25} \qquad \textbf{(B) }\frac{1}{4} \qquad \textbf{(C) }\frac{9}{25} \qquad \textbf{(D) }\frac{7}{16} \qquad \textbf{(E) }\frac{9}{16}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{6}{25}$

(B)

$frac{1}{4}$

(C)

$frac{9}{25}$

(D)

$frac{7}{16}$

(E)

$frac{9}{16}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 큰 정사각형이 한 변의 길이가 $s$ 인치인 회색 정사각형 타일 $n \times n$ 개로 채워져 있고, 타일들 사이와 가장자리에는 너비가 $d$ 인치인 테두리가 들어가 있습니다. 문제의 그림은 $n=3$ 인 경우입니다. $n=24$ 일 때 $576$ 개의 회색 타일이 큰 정사각형 넓이의 $64\%$ 를 덮는다면, 비율 $\dfrac{d}{s}$ 의 값은 얼마일까요?

주어진 것: 타일 배치: 한 변이 $s$ 인 회색 정사각형 $n \times n$ 격자; 너비 $d$ 인 테두리가 이웃한 타일 사이와 바깥쪽 가장자리에도 들어감; $n = 24$ 일 때 회색 타일 수는 $24^2 = 576$ 개; 회색 타일의 총 넓이 $=$ 큰 정사각형 넓이의 $64\%$; 선택지: (A) $\tfrac{6}{25}$, (B) $\tfrac{1}{4}$, (C) $\tfrac{9}{25}$, (D) $\tfrac{7}{16}$, (E) $\tfrac{9}{16}$

구하는 것: 테두리 너비와 타일 변의 비 $\dfrac{d}{s}$

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #1 그림 그리기, #13 대수로 바꾸기

$n = 24$ 는 너무 커서 한 줄의 테두리 개수를 손으로 세기 어려우니, 도구 #9 로 문제에서 이미 보여 준 $n = 3$ 의 작은 경우부터 출발합니다. 작은 경우에서 타일과 테두리의 개수를 세 보면 한 변에 "타일 $n$ 개, 테두리 $n+1$ 개" 라는 규칙이 한눈에 보입니다 — 그림(도구 #1)이 이미 주어져 있으니, 이웃한 타일 사이의 테두리에 양 끝 테두리를 한 번씩 더 세면 됩니다. 이렇게 한 변 길이를 $ns + (n+1)d$ 로 쓴 다음에는, 도구 #13 으로 $64\%$ 조건을 $s$ 와 $d$ 에 대한 일차방정식으로 옮기면 비율이 바로 떨어집니다.

실행 — 정답: A

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 1

$n=3$ 인 그림에서 한 변을 따라 세어 봅시다.
회색 타일은 한 줄에 $3$ 개이고, 테두리는 (1) 첫 타일 앞, (2) 1번과 2번 사이, (3) 2번과 3번 사이, (4) 3번 타일 뒤 — 모두 $4$ 군데 나타납니다.
따라서 큰 정사각형의 한 변 길이는 $3s + 4d$ 가 됩니다.

$$\text{한 변}(n{=}3) = 3s + 4d$$

💡 작은 경우에서 "물건 수" 와 "틈 수" 를 세어 규칙을 뽑아내는 것은 4학년 "패턴 규칙 찾기" 활동 그대로입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 2

규칙을 일반화합니다.
임의의 $n$ 에 대해 한 줄에는 타일이 $n$ 개, 테두리가 $n+1$ 개(이웃한 타일 사이마다 하나씩에 양 끝 하나씩 추가) 들어가므로 한 변 길이는 $ns + (n+1)d$ 입니다.
$n=24$ 를 대입하면 타일 $24$ 개, 테두리 $25$ 개가 한 변에 들어가게 됩니다.

$$\text{한 변}(n) = n\,s + (n+1)\,d \;\Rightarrow\; \text{한 변}(24) = 24s + 25d$$

💡 $n=3$ 에서 얻은 규칙을 $n=24$ 로 확장하는 것이 바로 "규칙으로부터 수열 만들기" 의 사용법입니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 3

두 정사각형의 넓이를 식으로 적습니다.
회색 영역은 한 변이 $s$ 인 타일 $576 = 24^2$ 개를 테두리를 무시하고 붙여 놓은 $24s \times 24s$ 정사각형이므로 넓이는 $(24s)^2$ 입니다.
큰 정사각형의 한 변은 앞에서 구한 $24s + 25d$ 이므로 넓이는 $(24s + 25d)^2$ 입니다.

$$A_{\text{회색}} = (24s)^2,\quad A_{\text{큰}} = (24s + 25d)^2$$

💡 큰 정사각형을 "가운데 $24 \times 24$ 타일 묶음 + 둘러싼 테두리" 로 쪼개 보는 것은 6학년 "도형 합성·분해로 넓이 구하기" 의 핵심 방법입니다.

#13 대수로 바꾸기 7.G.A.1 단계 4

$64\%$ 조건을 변의 비로 바꿉니다.
두 영역이 모두 정사각형이라 닮음이므로, 넓이의 비는 변의 비의 제곱과 같습니다.
$64\% = \left(\tfrac{8}{10}\right)^2 = \left(\tfrac{4}{5}\right)^2$ 이니, 회색 정사각형의 한 변은 큰 정사각형의 한 변의 $\tfrac{4}{5}$ 입니다.

$$\dfrac{A_{\text{회색}}}{A_{\text{큰}}} = \dfrac{64}{100} = \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 \;\Rightarrow\; \dfrac{24s}{24s + 25d} = \dfrac{4}{5}$$

💡 닮은 두 도형(여기서는 두 정사각형)의 넓이는 변의 비의 제곱으로 변한다는 사실은 7학년 축척·닮음의 기본 사실입니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 5

내항·외항을 곱한 뒤 정리해서 $\dfrac{d}{s}$ 에 대해 풀면 됩니다.
마지막에 양변을 $s$ 로 나누면 답이 타일 크기와 무관한 순수한 비로 떨어집니다.

$$5 \cdot 24s = 4(24s + 25d) \;\Rightarrow\; 120s = 96s + 100d \;\Rightarrow\; 24s = 100d \;\Rightarrow\; \dfrac{d}{s} = \dfrac{24}{100} = \dfrac{6}{25} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 $24s = 100d$ 처럼 변수가 하나인 일차방정식에서 비를 읽어내는 것은 6학년 "$px = q$ 풀기" 와 같은 동작입니다.

[1] #9 4.OA.C.5 $n=3$ 인 그림에서 한 변을 따라 세어 봅시다. 회색 타일은 한 줄에 $3$ 개이고, 테두리는 (1) 첫 타일 앞, (2) 1번과 2번 사이

[2] #9 4.OA.C.5 규칙을 일반화합니다. 임의의 $n$ 에 대해 한 줄에는 타일이 $n$ 개, 테두리가 $n+1$ 개(이웃한 타일 사이마다 하나씩에 양 끝 하나씩

[3] #1 6.G.A.1 두 정사각형의 넓이를 식으로 적습니다. 회색 영역은 한 변이 $s$ 인 타일 $576 = 24^2$ 개를 테두리를 무시하고 붙여 놓은 $24s

[4] #13 7.G.A.1 $64\%$ 조건을 변의 비로 바꿉니다. 두 영역이 모두 정사각형이라 닮음이므로, 넓이의 비는 변의 비의 제곱과 같습니다. $64\% = \le

[5] #13 6.EE.B.7 내항·외항을 곱한 뒤 정리해서 $\dfrac{d}{s}$ 에 대해 풀면 됩니다. 마지막에 양변을 $s$ 로 나누면 답이 타일 크기와 무관한 순수

검토

합리성 확인: 변의 비로 직접 검산합니다. 회색 정사각형의 한 변은 $24s$, 큰 정사각형의 한 변은 $24s + 25d$ 이므로 변의 비는 $\tfrac{4}{5} = 0.8$ 이어야 합니다. $d/s = 6/25$ 를 대입하면 큰 변은 $24s + 25 \cdot \tfrac{6}{25}s = 24s + 6s = 30s$ 이고, $\tfrac{24s}{30s} = \tfrac{4}{5}$ — 제곱하면 $\tfrac{16}{25} = 0.64 = 64\%$ 로 문제 조건과 정확히 맞아떨어집니다. 따라서 $\boxed{\tfrac{6}{25}}$ 이 옳습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지에 직접 대입해 봅시다. 각 후보 $d/s$ 에 대해 $\tfrac{24}{24 + 25(d/s)}$ 를 계산하고 제곱한 값이 $0.64$ 인지 보면 됩니다. (A)는 $\tfrac{24}{24 + 6} = \tfrac{4}{5}$, 제곱하면 $0.64$ — 통과. (B)는 $\tfrac{24}{24 + 25/4} \approx 0.793$, 제곱 $\approx 0.629$. (C)는 $\tfrac{24}{24 + 9} \approx 0.727$, 제곱 $\approx 0.529$. $0.64$ 와 정확히 일치하는 것은 (A) 뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수 또는 모양 패턴 만들기 ($n=3$ 그림에서 "타일 $n$ 개, 테두리 $n+1$ 개" 규칙을 세고 $n=24$ 로 확장하는 데 사용.)
6.G.A.1 도형의 합성·분해로 삼각형·사각형·다각형의 넓이 구하기 (큰 정사각형을 가운데 $24 \times 24$ 타일 묶음과 둘러싼 테두리로 나누어 두 영역의 넓이를 각각 한 변의 제곱으로 표현하는 데 사용.)
6.EE.B.7 $px = q$ 형태의 일차방정식 세우고 풀기 ($\tfrac{24s}{24s+25d} = \tfrac{4}{5}$ 의 내·외항을 곱해 $24s = 100d$ 로 정리한 뒤 $d/s = 6/25$ 를 읽어내는 데 사용.)
7.G.A.1 도형의 축척 그림과 관련된 문제 해결 (닮은 두 정사각형의 넓이의 비가 변의 비의 제곱이라는 사실을 이용해 $64\% = (4/5)^2$ 를 변의 비 $4:5$ 로 바꾸는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "닮은 도형의 넓이의 비는 변의 비의 제곱" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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