AMC 8 · 2024 · #22

학년 7 geometry-2d

area-circlesrate dimensional-analysisarea-difference ↑ 선수 지식: area-circlesfraction-decimal-conversion

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

지름이 $4$ 인치인 테이프 한 롤이 지름 $2$ 인치의 고리 둘레에 감겨 있습니다. 테이프의 단면은 아래 그림과 같습니다. 테이프의 두께는 $0.015$ 인치입니다. 이 테이프를 완전히 풀었을 때 길이는 대략 몇 인치입니까? 답을 $100$ 인치 단위로 반올림하여 구하시오.

$\textbf{(A) } 300\qquad\textbf{(B) } 600\qquad\textbf{(C) } 1200\qquad\textbf{(D) } 1500\qquad\textbf{(E) } 1800$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

300

(B)

600

(C)

1200

(D)

1500

(E)

1800

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 테이프를 옆에서 보면 가운데가 뚫린 **고리 모양(환형, annulus)** 입니다. 바깥 원의 지름은 $4$인치, 가운데 구멍(고리)의 지름은 $2$인치이고, 테이프 자체의 두께는 $0.015$인치입니다. 이 테이프를 처음부터 끝까지 다 풀면, 길이가 대략 얼마(가장 가까운 $100$인치 단위)가 되는지 구해야 합니다.

주어진 것: 롤의 바깥 지름 $4$인치 (바깥 반지름 $R = 2$인치); 안쪽 고리(구멍)의 지름 $2$인치 (안쪽 반지름 $r = 1$인치); 테이프의 두께 $t = 0.015$인치; 선택지: (A) 300, (B) 600, (C) 1200, (D) 1500, (E) 1800

구하는 것: 테이프를 다 풀었을 때의 대략적인 길이 $L$ (인치, $100$ 단위로 반올림)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기 (Draw a Diagram)

보조 도구: #10 직접 만져보기 (Physical Representation), #7 작은 문제로 쪼개기 (Identify Subproblems), #3 가능성 지우기 (Eliminate Possibilities)

핵심은 **그림 두 개를 나란히 그리는 것**입니다 (도구 #1): 말려 있을 때의 고리 모양 단면과, 풀었을 때의 길고 얇은 직사각형. 테이프를 실제로 푸는 모습을 머릿속으로 상상하면 (도구 #10), '테이프의 양' 자체는 그대로이고 모양만 바뀐다는 사실 — 즉 단면 넓이가 보존된다는 사실이 자연스럽게 보입니다. 그 다음에는 문제를 작은 조각으로 쪼개서 (도구 #7) (a) 고리의 넓이, (b) '넓이 $=$ 길이 $\times$ 두께'에서 길이 구하기, (c) 반올림을 차례로 합니다. 마지막에 도구 #3으로 선택지와 맞춰봅니다. 대수(도구 #13)에 의존하지 않고도 풀 수 있으며, 꼭 알아야 할 공식은 오직 **원의 넓이 공식** 하나뿐입니다.

실행 — 정답: B

#10 직접 만져보기 (Physical Representation) 3.MD.C.5 단계 1

테이프를 **말린 상태**에서는 고리 모양, **풀린 상태**에서는 폭이 두께 $t = 0.015$인치이고 길이가 미지수 $L$인 길고 얇은 직사각형이라고 그려봅시다.
테이프 자체의 '양'은 풀어도 변하지 않으니, 옆에서 본 고리의 넓이와 풀린 직사각형의 넓이가 같아야 합니다.
이 한 문장이 풀이 전체의 핵심입니다: $\text{고리의 넓이} = L \times t$.

$$\text{고리의 넓이} = L \times t$$

💡 넓이는 평면도형이 차지하는 공간의 크기입니다. 테이프를 풀어 모양만 바꾸어도 차지하는 공간(넓이)은 그대로라는 3학년 넓이 개념이 그대로 쓰입니다.

#1 그림 그리기 (Draw a Diagram) 3.OA.A.2 단계 2

그림에서 반지름을 읽어냅니다.
지름은 반지름의 $2$배이므로, 지름을 $2$로 나눠줍니다: 바깥 반지름 $R = 4 \div 2 = 2$인치, 안쪽 반지름 $r = 2 \div 2 = 1$인치.
두 원 옆에 표시해 둡니다.

$$R = \tfrac{4}{2} = 2 \text{ 인치},\quad r = \tfrac{2}{2} = 1 \text{ 인치}$$

💡 지름 $\div 2 =$ 반지름은 3학년 '똑같이 나누기' 나눗셈입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 (Identify Subproblems) 7.G.B.4 단계 3

**고리의 넓이**는 큰 원의 넓이에서 작은 원(구멍)의 넓이를 뺀 값입니다.
원의 넓이 공식 $\pi r^2$을 사용합니다.
큰 원: $\pi \cdot 2^2 = 4\pi$.
작은 원: $\pi \cdot 1^2 = \pi$.
따라서 고리의 넓이 $= 4\pi - \pi = 3\pi$ 제곱인치.

$$\text{고리의 넓이} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(2^2) - \pi(1^2) = 4\pi - \pi = 3\pi$$

💡 원의 넓이 공식 $\pi r^2$을 아는 것은 정확히 7학년에서 배우는 원 공식 표준입니다. 큰 원에서 작은 원을 빼는 것은 자연스러운 합성/분해 과정입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 (Identify Subproblems) 6.NS.B.3 단계 4

$\text{고리의 넓이} = L \times t$에 대입하여 $L$을 구합니다.
$3\pi = L \times 0.015$이므로 $L = \dfrac{3\pi}{0.015}$입니다.
$\pi \approx 3.14$를 쓰면 $3\pi \approx 9.42$, 그리고 $\dfrac{9.42}{0.015} = \dfrac{9420}{15} = 628$인치.
(정확히는 $0.015 = \tfrac{3}{200}$이므로 $L = 3\pi \div \tfrac{3}{200} = 200\pi \approx 628$.)

$$L = \dfrac{3\pi}{0.015} = \dfrac{9.42}{0.015} = 628 \text{ 인치}$$

💡 $9.42 \div 0.015$ (또는 $9420 \div 15$) 같은 소수의 나눗셈은 정확히 6학년의 여러 자리 소수 사칙 연산 표준입니다.

#3 가능성 지우기 (Eliminate Possibilities) 3.NBT.A.1 단계 5

문제는 가장 가까운 $100$ 단위로 반올림하라고 했습니다.
$628$의 백의 자리는 $6$, 십의 자리는 $2$로 $5$보다 작으므로 **내림**해서 $600$이 됩니다.
선택지와 맞춰보면, $600$은 정확히 (B)입니다.

$$628 \approx 600 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 세 자리 수를 가장 가까운 백의 자리로 반올림하는 것은 3학년 반올림 표준입니다.

[1] #10 3.MD.C.5 테이프를 **말린 상태**에서는 고리 모양, **풀린 상태**에서는 폭이 두께 $t = 0.015$인치이고 길이가 미지수 $L$인 길고 얇은 직

[2] #1 3.OA.A.2 그림에서 반지름을 읽어냅니다. 지름은 반지름의 $2$배이므로, 지름을 $2$로 나눠줍니다: 바깥 반지름 $R = 4 \div 2 = 2$인치,

[3] #7 7.G.B.4 **고리의 넓이**는 큰 원의 넓이에서 작은 원(구멍)의 넓이를 뺀 값입니다. 원의 넓이 공식 $\pi r^2$을 사용합니다. 큰 원: $\pi

[4] #7 6.NS.B.3 $\text{고리의 넓이} = L \times t$에 대입하여 $L$을 구합니다. $3\pi = L \times 0.015$이므로 $L = \d

[5] #3 3.NBT.A.1 문제는 가장 가까운 $100$ 단위로 반올림하라고 했습니다. $628$의 백의 자리는 $6$, 십의 자리는 $2$로 $5$보다 작으므로 **내림

검토

합리성 확인: 크기가 말이 되는지 확인해 봅시다. 롤의 바깥 반지름은 $2$인치라서 바깥 둘레는 고작 $2\pi \approx 6.3$인치인데, 우리가 얻은 길이는 $628$인치($1.6$미터가 넘음)입니다. 이게 말이 될까요? 됩니다. 테이프가 매우 얇아서 ($0.015$인치), $r=1$과 $R=2$ 사이에 약 $\tfrac{2-1}{0.015} \approx 67$겹이 쌓여 있고, 각 겹의 평균 둘레는 약 $2\pi \cdot 1.5 \approx 9.4$인치이므로 $67 \times 9.4 \approx 630$인치, $628$과 거의 정확히 맞습니다. 또 정확한 답이 $200\pi$로 깔끔하게 떨어진다는 점도 안심이 됩니다.

대안 접근: 넓이를 같다고 놓는 대신, 위 점검 방법을 그대로 풀이로 써도 됩니다: 층 수 $\approx \tfrac{R-r}{t} = \tfrac{1}{0.015} \approx 67$, 평균 한 층의 둘레 $\approx 2\pi \cdot \tfrac{R+r}{2} = 2\pi \cdot 1.5 = 3\pi$. 합 $\approx 67 \times 3\pi \approx 200\pi \approx 628$. 이는 도구 #5(패턴 찾기)와 도구 #9(더 쉬운 문제로 — 평균 둘레 사용)를 결합한 풀이이며, 똑같이 약 $600$인치를 얻습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

3.MD.C.5 Recognize area as an attribute of plane figures and understand concepts (테이프를 풀어 모양이 바뀌어도 단면의 넓이는 그대로라는 사실을 이용해 '고리의 넓이 $= L \times t$' 관계를 세우는 데 사용.)
3.OA.A.2 Interpret whole-number quotients of whole numbers (지름을 $2$로 나누어 반지름을 구하기: $R = 4 \div 2 = 2$, $r = 2 \div 2 = 1$.)
3.NBT.A.1 Round whole numbers to the nearest 10 or 100 ($628$을 가장 가까운 $100$ 단위로 반올림하여 $600$ 얻기.)
6.NS.B.3 Fluently add, subtract, multiply, and divide multi-digit decimals ($L = 9.42 \div 0.015 = 628$을 계산하여 $3\pi / 0.015$의 값 구하기.)
7.G.B.4 Know the formulas for area and circumference of a circle ($\pi r^2$ 공식으로 바깥 원과 안쪽 원의 넓이를 구한 뒤 빼서 고리의 넓이 $3\pi$ 얻기.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 원의 넓이 공식 $\pi r^2$만 알면 풀 수 있어요 — 그리고 테이프를 길게 펼치는 그림 한 장이면 충분해요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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