AMC 8 · 2024 · #4

학년 3 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search

perfect-squaresmultiplesmental-arithmetic systematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticperfect-squares

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

윤지가 $1$ 부터 $9$ 까지의 모든 정수를 더하다가 실수로 한 수를 빠뜨렸습니다. 그렇게 구한 잘못된 합이 어떤 수의 제곱이 되었습니다. 윤지가 빠뜨린 수는 무엇입니까?

$\textbf{(A) } 5\qquad\textbf{(B) } 6\qquad\textbf{(C) } 7\qquad\textbf{(D) } 8\qquad\textbf{(E) } 9$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 윤지가 $1$부터 $9$까지의 정수를 모두 더하려고 했는데 한 숫자를 빠뜨렸다. 그 잘못된 합이 완전제곱수가 되었다. 윤지가 빠뜨린 숫자는 무엇인지 보기 (A)~(E)에서 고르는 문제이다.

주어진 것: 더해야 할 수: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ (아홉 개의 정수); 이 중 정확히 한 개를 빠뜨림; 빠뜨리고 더한 잘못된 합이 어떤 정수의 제곱(완전제곱수)임; 다섯 보기: (A) 5, (B) 6, (C) 7, (D) 8, (E) 9

구하는 것: 윤지가 빠뜨린 숫자 $x$ (1과 9 사이의 정수 중 하나)

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #11 거꾸로 풀기

범위가 작다 — 빠뜨릴 수 있는 숫자는 9개뿐이고, 잘못된 합도 좁은 구간에 들어간다. 그러니 완전제곱수($1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \ldots$)를 차례로 **빠짐없이 나열**(도구 #2)해서 가능한 범위 안에 들어오는 것을 찾으면 된다. 보기 (A)~(E)를 직접 대입해 보는 **추측·확인**(도구 #6)으로 검산할 수도 있다. 마지막으로 "잘못된 합 = 36"을 얻으면 $45 - x = 36$에서 $x$를 **거꾸로** 풀어낸다(도구 #11). 대수 방정식(도구 #13)까지 갈 필요는 전혀 없다.

실행 — 정답: E

#2 빠짐없이 나열하기 2.NBT.B.5 단계 1

먼저 1부터 9까지 모두 더한 "올바른 합"이 얼마인지 구한다.
양 끝에서부터 짝을 지어 더하면 빠르다: $1+9=10$, $2+8=10$, $3+7=10$, $4+6=10$, 그리고 가운데 남은 $5$.
따라서 합은 $10 \times 4 + 5 = 45$이다.

$$1+2+3+4+5+6+7+8+9 = (1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5 = 10+10+10+10+5 = 45$$

💡 한 자리 수 아홉 개를 짝지어 더하는 일은 2학년의 100 이내 덧셈 능숙도로 충분하다.

#6 추측하고 확인하기 2.OA.A.1 단계 2

윤지가 빠뜨린 숫자를 $x$라 하면, 잘못된 합은 $45 - x$이다.
$x$는 1과 9 사이의 정수이므로, 가장 큰 9를 빼면 잘못된 합은 $45-9=36$, 가장 작은 1을 빼면 $45-1=44$가 된다.
따라서 잘못된 합은 **36 이상 44 이하**의 수여야 한다.

$$x \in \{1, 2, \ldots, 9\} \;\Rightarrow\; 45 - 9 \le 45 - x \le 45 - 1 \;\Rightarrow\; 36 \le 45 - x \le 44$$

💡 100 이내의 한 단계 뺄셈으로 가능한 범위를 잡는 일은 2학년 응용 문제 수준이다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.C.7 단계 3

이제 완전제곱수를 작은 것부터 빠짐없이 나열해서 위에서 구한 범위 $[36, 44]$ 안에 들어가는 것을 찾는다: $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$, $7^2=49$.
범위 안에 있는 완전제곱수는 오직 $36$뿐이다(25는 너무 작고, 49는 너무 크다).
따라서 잘못된 합은 $36$이어야 한다.

$$1, 4, 9, 16, 25, \underbrace{36}_{\in [36,44]\ \checkmark}, 49, \ldots \;\Rightarrow\; \text{잘못된 합} = 36 = 6^2$$

💡 $6 \times 6 = 36$ 같은 한 자리 수의 곱셈 사실은 3학년의 100 이내 곱셈 자동화에서 다룬다.

#11 거꾸로 풀기 2.OA.A.1 단계 4

마지막으로 $45 - x = 36$을 거꾸로 풀어 $x$를 찾는다.
양변을 보면 $x = 45 - 36 = 9$이다.
즉 윤지가 빠뜨린 숫자는 **9**이고, 이는 보기 **(E)**에 해당한다.

$$45 - x = 36 \;\Rightarrow\; x = 45 - 36 = 9 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 "45에서 무엇을 빼면 36이 되나?"라는 미지수 한 단계 뺄셈은 2학년의 100 이내 응용 문제와 같다.

[1] #2 2.NBT.B.5 먼저 1부터 9까지 모두 더한 "올바른 합"이 얼마인지 구한다. 양 끝에서부터 짝을 지어 더하면 빠르다: $1+9=10$, $2+8=10$, $

[2] #6 2.OA.A.1 윤지가 빠뜨린 숫자를 $x$라 하면, 잘못된 합은 $45 - x$이다. $x$는 1과 9 사이의 정수이므로, 가장 큰 9를 빼면 잘못된 합은 $

[3] #2 3.OA.C.7 이제 완전제곱수를 작은 것부터 빠짐없이 나열해서 위에서 구한 범위 $[36, 44]$ 안에 들어가는 것을 찾는다: $1^2=1$, $2^2=4$

[4] #11 2.OA.A.1 마지막으로 $45 - x = 36$을 거꾸로 풀어 $x$를 찾는다. 양변을 보면 $x = 45 - 36 = 9$이다. 즉 윤지가 빠뜨린 숫자는

검토

합리성 확인: 직접 확인해 보자. 윤지가 9를 빠뜨리고 더했다면 합은 $1+2+3+4+5+6+7+8 = 36$이고, 정말로 $36 = 6 \times 6 = 6^2$인 완전제곱수다. 그리고 범위 $[36, 44]$ 안의 완전제곱수는 36 하나뿐이므로 답은 유일하다. 보기 (A)~(D)도 검산용으로 빠르게 확인할 수 있다: 5를 빼면 40, 6을 빼면 39, 7을 빼면 38, 8을 빼면 37 — 모두 완전제곱수가 아니다. 답 (E) 9가 맞다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)으로 보기를 곧장 검사하는 방법도 있다. 보기에 나온 숫자를 하나씩 직접 45에서 빼서 그 결과가 완전제곱수인지 본다: $45-5=40$ (X), $45-6=39$ (X), $45-7=38$ (X), $45-8=37$ (X), $45-9=36 = 6^2$ ($\checkmark$). 한 번에 정답 (E)가 나온다. 객관식 문제에서 항상 쓸 수 있는 가장 빠른 전략이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

2.NBT.B.5 100 이내의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 한다 (1부터 9까지의 합 $45$를 짝지어 더해 구하는 데 사용.)
2.OA.A.1 100 이내의 덧셈·뺄셈으로 한 단계 또는 두 단계 응용 문제를 푼다 (잘못된 합의 가능한 범위 $[36, 44]$를 구하고, $45 - x = 36$에서 $x$를 거꾸로 풀어내는 데 사용.)
3.OA.C.7 100 이내의 곱셈과 나눗셈을 능숙하게 한다 (완전제곱수 $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49$를 떠올리고 $6 \times 6 = 36$임을 인식하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 구구단(완전제곱수 $6 \times 6 = 36$)만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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