AMC 8 · 2025 · #8
학년 8 geometry-3d문제
아이제이아는 종이로 된 정육면체를 몇 개의 모서리를 따라 잘라 펼쳐서 오른쪽 그림과 같이 평면 모양으로 만들었습니다. 이 평면 모양의 넓이는 제곱센티미터입니다. 정육면체의 부피는 몇 세제곱센티미터입니까?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 아이제이아가 종이 정육면체를 몇 개의 모서리를 따라 잘라서 한 장의 평면 도형(전개도)으로 펼쳤습니다. 그 평면 도형의 넓이가 $18$ 제곱센티미터일 때, 원래 정육면체의 부피(세제곱센티미터)를 구하세요.
주어진 것: 평면 도형은 정육면체의 전개도입니다 — 정육면체의 모든 면이 한 번씩 들어 있습니다; 정육면체는 합동인 정사각형 면 $6$개로 이루어져 있습니다; 전개도 전체 넓이 $= 18 \text{ cm}^2$; 선택지: (A) $3\sqrt{3}$, (B) $6$, (C) $9$, (D) $6\sqrt{3}$, (E) $9\sqrt{3}$ (cm$^3$)
구하는 것: 정육면체의 부피 $V$ (세제곱센티미터)
이해
문제 재정리: 아이제이아가 종이 정육면체를 몇 개의 모서리를 따라 잘라서 한 장의 평면 도형(전개도)으로 펼쳤습니다. 그 평면 도형의 넓이가 $18$ 제곱센티미터일 때, 원래 정육면체의 부피(세제곱센티미터)를 구하세요.
주어진 것: 평면 도형은 정육면체의 전개도입니다 — 정육면체의 모든 면이 한 번씩 들어 있습니다; 정육면체는 합동인 정사각형 면 $6$개로 이루어져 있습니다; 전개도 전체 넓이 $= 18 \text{ cm}^2$; 선택지: (A) $3\sqrt{3}$, (B) $6$, (C) $9$, (D) $6\sqrt{3}$, (E) $9\sqrt{3}$ (cm$^3$)
계획
주요 도구: #17 공간 상상하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #8 단위 살펴보기
그림은 평면 전개도인데 물어보는 것은 3D 부피이므로, 도구 #17(공간 상상하기) 로 머릿속에서 전개도를 다시 접어 보는 것이 출발점입니다 — 겹침도 빈틈도 없이 정육면체의 바깥을 한 번 덮으니, 평면의 넓이가 곧 정육면체의 겉넓이라는 점이 보입니다. 다음은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 세 단계 — (가) 겉넓이 $\to$ 한 면의 넓이, (나) 한 면의 넓이 $\to$ 모서리 길이 $s$, (다) $s$ $\to$ 부피 $V = s^3$ — 로 깔끔히 나눠 처리하면 됩니다. 도구 #8(단위 살펴보기) 은 단위가 cm$^2$(넓이) → cm(길이) → cm$^3$(부피) 로 자연스럽게 흘러가는지 검증해 줍니다.
실행 — 정답: A
6.G.A.4 단계 1 - 전개도를 머릿속에서 다시 접어 봅니다.
- 자른 뒤에도 겹치지 않고 펼쳤기 때문에, 정육면체 바깥은 $6$개의 정사각형 면으로 정확히 한 번 덮입니다.
- 따라서 평면 도형의 넓이는 정육면체의 겉넓이와 같습니다.
💡 평면 전개도를 입체로 접어도 넓이는 변하지 않는다는 것은 6학년 "전개도와 겉넓이" 표준의 핵심입니다.
3.OA.A.3 단계 2 - 작은 문제 1: 한 면의 넓이를 구합니다.
- 정육면체의 $6$개 면은 모두 합동인 정사각형이므로, 전체 겉넓이를 $6$ 으로 똑같이 나누면 됩니다.
💡 전체를 $6$ 등분 해서 한 조각의 크기를 구하는 것은 3학년 곱셈·나눗셈 문장제 그대로입니다.
8.EE.A.2 단계 3 - 작은 문제 2: 한 면의 넓이로부터 모서리 길이를 구합니다.
- 한 면은 정사각형이므로 (넓이) $=$ (모서리)$^2$ 입니다.
- 넓이를 모서리로 되돌리려면 제곱근을 취합니다.
💡 정사각형의 넓이로부터 모서리를 되찾는 데 쓰이는 제곱근 기호는 8학년 표준이며, $\sqrt{3}$ 은 무리수라 그대로 둡니다.
8.EE.A.2 단계 4 - 작은 문제 3: 모서리 길이로부터 부피를 구합니다.
- $V = s^3$ 에 대입해 $\sqrt{3}$ 을 세 번 곱하는데, 두 번을 짝지어 $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 3$ 을 먼저 만들고 남은 $\sqrt{3}$ 을 곱합니다.
💡 cm 를 세제곱하면 cm$^3$ 이 되고, $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$ 은 8학년 제곱근 계산 규칙입니다.
6.G.A.4 전개도를 머릿속에서 다시 접어 봅니다. 자른 뒤에도 겹치지 않고 펼쳤기 때문에, 정육면체 바깥은 $6$개의 정사각형 면으로 정확히 한 번 덮입니 3.OA.A.3 작은 문제 1: 한 면의 넓이를 구합니다. 정육면체의 $6$개 면은 모두 합동인 정사각형이므로, 전체 겉넓이를 $6$ 으로 똑같이 나누면 됩니다 8.EE.A.2 작은 문제 2: 한 면의 넓이로부터 모서리 길이를 구합니다. 한 면은 정사각형이므로 (넓이) $=$ (모서리)$^2$ 입니다. 넓이를 모서리로 8.EE.A.2 작은 문제 3: 모서리 길이로부터 부피를 구합니다. $V = s^3$ 에 대입해 $\sqrt{3}$ 을 세 번 곱하는데, 두 번을 짝지어 $\s 검토
합리성 확인: 어림으로 확인해 봅시다. $\sqrt{3} \approx 1.73$ 이므로 $s \approx 1.73$ cm, $s^2 \approx 3$ cm$^2$ (한 면 넓이와 일치), $s^3 \approx 1.73 \times 3 = 5.2$ cm$^3$ 입니다. 한편 $3\sqrt{3} \approx 3 \times 1.73 = 5.2$ 로, 정확값과 어림값이 정확히 맞아떨어집니다. 단위 흐름(한 면 cm$^2$ → 모서리 cm → 부피 cm$^3$) 도 문제가 요구하는 단위와 일치합니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 로 선택지를 거꾸로 대입해 봅시다. (A) $3\sqrt{3} = (\sqrt{3})^3$ → $s = \sqrt{3}$, 한 면 $3$, 겉넓이 $18$ ✓. (B) $6$ → $s = \sqrt[3]{6} \approx 1.82$, 한 면 $\approx 3.30$, 겉넓이 $\approx 19.8$ ✗. (C)·(D)·(E) 도 모두 $s > \sqrt{3}$ 이라 겉넓이가 $18$ 을 넘으므로 탈락. 결국 (A) 만 남습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
3.OA.A.3100 이내 곱셈·나눗셈 문장제 해결 (전체 겉넓이 $18$ cm$^2$ 를 합동인 $6$ 개 면에 균등 분배해 한 면 넓이 $3$ cm$^2$ 를 구하는 데 사용.)6.G.A.4전개도로 3차원 도형을 표현하고 겉넓이 구하기 (평면 도형이 정육면체의 전개도라는 점을 인식하고, 그 넓이가 곧 정육면체의 겉넓이임을 정당화하는 데 사용.)8.EE.A.2제곱근·세제곱근 기호로 해 표현하기 ($s^2 = 3$ 에서 $s = \sqrt{3}$ 을 얻고, $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$ 규칙으로 $(\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3}$ 을 계산하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년에서 배우는 제곱근 규칙($\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$) 만 알면 풀 수 있어요 — 나머지는 "전개도 넓이 $=$ 겉넓이" 와 간단한 나눗셈이에요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년에서 배우는 제곱근 규칙($\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$) 만 알면 풀 수 있어요 — 나머지는 "전개도 넓이 $=$ 겉넓이" 와 간단한 나눗셈이에요!
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