Sensim Math Original · sm-9

SM Original 학년 4 arithmeticcounting

영감을 받은 문제: AMC 8 2024 #8

pattern-recognitionsystematic-enumeration tree-enumerationsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmental-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

민아는 똑같은 모양의 나무 블록으로 탑을 쌓고 있습니다. 처음에 블록을 $3$ 개 놓은 다음, 매 회마다 다음 두 가지 중 정확히 한 가지를 합니다: 블록을 $2$ 개 더 얹거나, 도우미가 지금 쌓인 만큼을 똑같이 더 얹어 블록 수를 두 배로 만들어 줍니다. 민아가 이런 방식으로 $3$ 회를 마쳤을 때, 탑의 높이(블록 개수)로 가능한 서로 다른 값은 모두 몇 가지입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 민아는 블록 $3$ 개로 탑을 시작한다. 이후 $3$ 회 동안 매 회마다 두 가지 동작 중 하나를 독립적으로 선택한다: '블록 $2$ 개 더 얹기'($+2$) 또는 '현재 블록 수를 두 배로 만들기'($\times 2$). $3$ 회를 마쳤을 때 가능한 서로 다른 탑의 높이(블록 개수)가 몇 가지인지 구한다.

주어진 것: 처음 높이: $3$ 블록; 매 회의 두 가지 동작: $+2$ 또는 $\times 2$; 정확히 $3$ 회 진행, 각 회의 동작은 독립적으로 선택; 다섯 개의 선택지: (A) 5, (B) 6, (C) 7, (D) 8, (E) 9

구하는 것: 3회를 마쳤을 때 나올 수 있는 서로 다른 탑 높이의 가짓수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 지우기

매 회 동작이 두 가지뿐이고 총 $3$ 회이므로 가능한 경로는 최대 $2^3 = 8$ 가지에 불과하다. 이 정도 크기는 모든 결과를 직접 적어 두고 추적하는 것이 가장 안전하다(도구 #2). 회차별로 갈라지는 나무 그림을 그려 두면(도구 #1) 서로 다른 경로가 같은 높이로 합쳐지는 순간이 한눈에 보인다. 마지막에 잎(높이) 목록에서 중복을 지우고 선택지 (A)~(E)와 맞추는 일은 가능성 지우기로 자연스럽게 마무리된다(도구 #3). 식 세우기는 필요 없다.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 2.OA.B.2 단계 1

처음 높이 $3$ 블록에 두 가지 동작을 적용해 1회 후 가능한 높이를 모두 적는다.
두 자식은 $3 + 2 = 5$('블록 더 얹기')와 $3 \times 2 = 6$('두 배로 만들기')이다.
따라서 1회 후 가능한 높이는 $\{5, 6\}$.

$$3 + 2 = 5,\quad 3 \times 2 = 6 \;\Rightarrow\; \text{1회 후} \in \{5,\,6\}$$

💡 $20$ 이내 한 자리 덧셈과 두 배 만들기는 2학년의 자동화된 암산 수준이다.

#1 그림 그리기 3.OA.C.7 단계 2

1회 후의 두 높이 각각에 다시 두 동작을 적용해 2회 후 가능한 모든 높이를 만든다.
$5$ 에서: $5 + 2 = 7$, $5 \times 2 = 10$.
$6$ 에서: $6 + 2 = 8$, $6 \times 2 = 12$.
네 결과가 서로 다르므로 2회 후의 서로 다른 높이 집합은 $\{7, 8, 10, 12\}$.

$$\begin{aligned} 5 &\to 5+2=7,\ 5\times 2=10 \\ 6 &\to 6+2=8,\ 6\times 2=12 \end{aligned} \;\Rightarrow\; \text{2회 후} \in \{7,\,8,\,10,\,12\}$$

💡 회차별로 갈라지는 나무를 그려 두면 같은 값으로 합쳐지는 가지를 놓치지 않는다. $5\times 2$, $6\times 2$ 같은 한 자리 곱셈은 3학년 곱셈구구 수준이다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.D.8 단계 3

2회 후의 네 높이 각각에 다시 두 동작을 적용해 3회 후 가능한 모든 높이를 만든다.
$7 \to 9, 14$.
$8 \to 10, 16$.
$10 \to 12, 20$.
$12 \to 14, 24$.
잎 여덟 개를 그대로 적으면 $\{9, 14, 10, 16, 12, 20, 14, 24\}$인데, $7 \times 2 = 14$ 와 $12 + 2 = 14$ 가 모두 $14$ 가 되어 서로 다른 두 경로가 같은 높이로 합쳐진다.

$$\begin{aligned} 7 &\to 7+2=9,\ 7\times 2=14 \\ 8 &\to 8+2=10,\ 8\times 2=16 \\ 10 &\to 10+2=12,\ 10\times 2=20 \\ 12 &\to 12+2=14,\ 12\times 2=24 \end{aligned}$$

💡 $100$ 이내의 더하기·곱하기를 회차마다 반복 적용하는 다단계 계산은 3학년 네 연산 문제 해결의 핵심이다.

#3 가능성 지우기 4.OA.C.5 단계 4

3회 후 잎 여덟 개를 오름차순으로 정렬해 중복을 지운다: $9, 10, 12, 14, 14, 16, 20, 24$.
겹친 $14$ 가 하나로 합쳐져 서로 다른 높이 집합은 $\{9, 10, 12, 14, 16, 20, 24\}$, 즉 $7$ 가지가 된다.
이 값은 선택지 (C)와 일치한다.
다른 선택지 검토: (A) $5$, (B) $6$ 은 잎의 수 $8$ 보다도 작아 너무 적고, (D) $8$ 은 겹친 $14$ 를 합치지 않은 경우, (E) $9$ 는 가능한 잎의 최댓값 $2^3 = 8$ 을 넘어서 불가능하다.

$$\{9,\,10,\,12,\,14,\,16,\,20,\,24\} \;\Rightarrow\; \#\text{서로 다른 높이} = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 주어진 규칙('$+2$ 또는 $\times 2$')을 반복 적용해 수열의 항을 만들고 서로 다른 항의 수를 세는 일은 4학년 '규칙에 따라 수 패턴 만들기' 표준 그 자체이다.

[1] #2 2.OA.B.2 처음 높이 $3$ 블록에 두 가지 동작을 적용해 1회 후 가능한 높이를 모두 적는다. 두 자식은 $3 + 2 = 5$('블록 더 얹기')와 $3

[2] #1 3.OA.C.7 1회 후의 두 높이 각각에 다시 두 동작을 적용해 2회 후 가능한 모든 높이를 만든다. $5$ 에서: $5 + 2 = 7$, $5 \times

[3] #2 3.OA.D.8 2회 후의 네 높이 각각에 다시 두 동작을 적용해 3회 후 가능한 모든 높이를 만든다. $7 \to 9, 14$. $8 \to 10, 16$.

[4] #3 4.OA.C.5 3회 후 잎 여덟 개를 오름차순으로 정렬해 중복을 지운다: $9, 10, 12, 14, 14, 16, 20, 24$. 겹친 $14$ 가 하나로

검토

합리성 확인: 가능한 동작 순서는 총 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 가지이다. 만약 어떤 두 순서도 같은 높이를 만들지 않았다면 답이 $8$ 이겠지만, 우리는 3회째에 정확히 한 쌍의 충돌($7 \times 2 = 14$ 와 $12 + 2 = 14$)을 확인했고, 이 때문에 개수가 $8 - 1 = 7$ 로 줄어든다. 따라서 $7$ 은 경로 수 계산과 정합적이며 답 (C)가 옳다. 또한 집합 $\{9, 10, 12, 14, 16, 20, 24\}$ 의 모든 값이 $9$ 부터 $24$ 사이라서 시작 높이 $3$ 에서 $3$ 회 성장한 결과로 크기 감각도 자연스럽다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기)만 단독으로 써도 된다. 뿌리에 $3$ 을 두고 매 노드에서 왼쪽 가지에 $+2$, 오른쪽 가지에 $\times 2$ 를 두 칸씩 뻗어 세 단계까지 그리면 잎이 정확히 $8$ 개 나온다. 같은 숫자가 적힌 잎끼리 동그라미로 묶고, 동그라미 한 개와 홀로 남은 잎을 합쳐 세면 똑같이 $7$ 이 나온다. 표(나열)와 나무 그림은 같은 풀이의 다른 모습일 뿐이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.OA.B.2 20 이하의 덧셈·뺄셈을 암산 전략으로 능숙하게 한다 (처음 높이 $3$ 에서 $3 + 2 = 5$ 와 $3 \times 2 = 6$ 같은 작은 덧셈·두 배 만들기를 빠르게 처리하는 데 사용.)
3.OA.C.7 100 이하의 곱셈과 나눗셈을 능숙하게 한다 (1회·2회 후 높이를 두 배($5 \times 2, 6 \times 2, 7 \times 2, 8 \times 2, 10 \times 2, 12 \times 2$)로 만드는 한 자리 곱셈에 사용.)
3.OA.D.8 100 이하의 네 연산을 이용한 두 단계 문장제 풀이 (2회 후 높이에 다시 더하기 또는 두 배를 적용해 3회 후 후보 높이를 모두 만드는 다단계 계산에 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따라 수 또는 도형 패턴을 생성한다 ('$+2$ 또는 $\times 2$' 규칙을 세 번 반복 적용해 가능한 모든 탑 높이를 만들고 서로 다른 값의 가짓수를 세는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 '규칙에 따라 수 패턴 만들기'만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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