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AMC 10 · 2020 · #8

쉬운 모드 학년 4
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문제

1,2,3,…,2001, 2, 3, \ldots, 200의 수들을 순서대로 더하거나 빼서 만든 긴 식을 생각해 봅시다.

이 식은 네 개씩 묶은 패턴을 따릅니다. 각 묶음에서 앞의 세 수는 더하고, 네 번째 수는 뺍니다. 그래서 식은 1+2+3−41+2+3-4로 시작해서, 다음에 +5+6+7−8+5+6+7-8이 이어지고, 같은 방식으로 계속 가다가 ⋯+197+198+199−200\cdots +197+198+199-200으로 끝납니다.

이 식 전체의 값은 얼마일까요?

1+2+3−4+5+6+7−8+⋯+197+198+199−2001+2+3-4+5+6+7-8+\cdots+197+198+199-200

(A) 9,800(B) 9,900(C) 10,000(D) 10,100(E) 10,200\textbf{(A) } 9,800 \qquad \textbf{(B) } 9,900 \qquad \textbf{(C) } 10,000 \qquad \textbf{(D) } 10,100 \qquad \textbf{(E) } 10,200

답을 골라 클릭하세요.

(A)
9,800
(B)
9,900
(C)
10,000
(D)
10,100
(E)
10,200
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1 + 2 + 3 - 4 + 5 + 6 + 7 - 8 + \cdots + 197 + 198 + 199 - 200$ 의 값을 구하시오. 세 개를 더하고 하나를 빼는 패턴이 $200$ 까지 반복된다.

주어진 것: 항은 $1, 2, 3, \ldots, 200$ 순서로 등장; 부호 패턴: $+, +, +, -, +, +, +, -, \ldots$; $4$ 의 배수마다 뺄셈; 선택지: (A) $9{,}800$, (B) $9{,}900$, (C) $10{,}000$, (D) $10{,}100$, (E) $10{,}200$

구하는 것: 이 교차식 전체의 값

이해

문제 재정리: $1 + 2 + 3 - 4 + 5 + 6 + 7 - 8 + \cdots + 197 + 198 + 199 - 200$ 의 값을 구하시오. 세 개를 더하고 하나를 빼는 패턴이 $200$ 까지 반복된다.

주어진 것: 항은 $1, 2, 3, \ldots, 200$ 순서로 등장; 부호 패턴: $+, +, +, -, +, +, +, -, \ldots$; $4$ 의 배수마다 뺄셈; 선택지: (A) $9{,}800$, (B) $9{,}900$, (C) $10{,}000$, (D) $10{,}100$, (E) $10{,}200$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

부호 패턴이 $4$ 항마다 반복 — 도구 #5: 반복 단위로 묶고 각 블록의 합을 정리. 도구 #7 로 전체식을 $50$ 개 블록 합으로 분해, 다시 $2, 10, 18, \ldots$ 등차수열의 합으로 정리. 도구 #9 (더 쉬운 문제) 로 블록 $1, 2, 3$ 만 먼저 검증 후 $50$ 개로 확장. 변수를 도입하지 않고 끝낼 수 있는 조합.

실행 — 정답: B

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1
  • $200$ 개 항을 $4$ 개씩 묶음.
  • $(1+2+3-4), (5+6+7-8), (9+10+11-12), \ldots, (197+198+199-200)$.
  • 총 $200 / 4 = 50$ 블록.
$$\underbrace{(1+2+3-4)}_{\text{블록 1}} + \underbrace{(5+6+7-8)}_{\text{블록 2}} + \cdots + \underbrace{(197+198+199-200)}_{\text{블록 50}}$$

💡 $4$ 항마다 반복되니 반복 주기로 묶음.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 2.OA.A.1 단계 2
  • 처음 몇 블록을 계산해 패턴 확인.
  • 블록 $k$ 는 $4k-3, 4k-2, 4k-1, 4k$ 네 항으로 이루어지고 마지막만 부호가 음.
$$1+2+3-4 = 2,\quad 5+6+7-8 = 10,\quad 9+10+11-12 = 18$$

💡 $k = 1, 2, 3$ 을 직접 계산 — 작은 사례에서 규칙이 드러남.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3
  • 블록 값 $2, 10, 18, \ldots$ 는 매 단계 $8$ 씩 증가 (다음 블록은 네 항이 모두 $4$ 씩 커지니 합은 $4 \cdot (1+1+1-1) = 8$ 만큼 증가).
  • 마지막 블록 ($k = 50$): $197+198+199-200 = 394$.
$$\text{블록 }k\text{ 의 값} = 8k - 6,\quad\text{블록 }50 = 8 \cdot 50 - 6 = 394$$

💡 다음 블록은 이전 블록보다 $8$ 더 큼 — 등차수열.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.5 단계 4
  • 등차수열 $2, 10, 18, \ldots, 394$ ($50$ 항, 첫항 $2$, 끝항 $394$) 의 합.
  • 처음과 끝을 짝지으면 $2 + 394 = 396$ 이고 그런 짝이 $25$ 개.
$$S = \dfrac{50}{2} \cdot (2 + 394) = 25 \cdot 396$$

💡 양 끝에서 짝짓기 — 모든 짝이 같은 $396$ 합.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.5 단계 5

$25 \cdot 396$ 을 $396 = 400 - 4$ 로 쪼개 계산.

$$25 \cdot 396 = 25 \cdot 400 - 25 \cdot 4 = 10000 - 100 = 9900$$

💡 $25 \cdot 400 = 10000$ 은 쉽고, $-4$ 부분은 $100$ 만 빼면 됨.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 6

$9{,}900$ 은 (B).

$$9{,}900\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 일치하는 보기 찾기.

[1] #5 4.OA.C.5 $200$ 개 항을 $4$ 개씩 묶음. $(1+2+3-4), (5+6+7-8), (9+10+11-12), \ldots, (197+198+199-
[2] #9 2.OA.A.1 처음 몇 블록을 계산해 패턴 확인. 블록 $k$ 는 $4k-3, 4k-2, 4k-1, 4k$ 네 항으로 이루어지고 마지막만 부호가 음.
[3] #5 4.OA.C.5 블록 값 $2, 10, 18, \ldots$ 는 매 단계 $8$ 씩 증가 (다음 블록은 네 항이 모두 $4$ 씩 커지니 합은 $4 \cdot (
[4] #7 4.NBT.B.5 등차수열 $2, 10, 18, \ldots, 394$ ($50$ 항, 첫항 $2$, 끝항 $394$) 의 합. 처음과 끝을 짝지으면 $2 + 3
[5] #7 4.NBT.B.5 $25 \cdot 396$ 을 $396 = 400 - 4$ 로 쪼개 계산.
[6] #3 4.NBT.A.2 $9{,}900$ 은 (B).

검토

합리성 확인: 다른 묶음으로 빠르게 확인. 전체식 $=$ $(1 + 2 + \cdots + 200) - 2 \cdot (4 + 8 + 12 + \cdots + 200)$ — $4$ 의 배수만 부호가 반대라 두 배만큼 빠짐. $\sum_{1}^{200} = \dfrac{200 \cdot 201}{2} = 20100$. $200$ 이하 $4$ 의 배수는 $50$ 개, 합 $= 4 \cdot (1 + 2 + \cdots + 50) = 4 \cdot 1275 = 5100$. 따라서 $20100 - 2 \cdot 5100 = 20100 - 10200 = 9900$. ✓

대안 접근: 도구 #16 (관점 바꾸기): 네 개씩 묶지 말고 모든 항을 더한 $1 + 2 + \cdots + 200 = 20{,}100$ 에서 $4$ 의 배수 합의 두 배를 빼는 식 ($4k$ 가 $+4k$ 가 아니라 $-4k$ 이므로 차이 $-2 \cdot 4k$). 위 검산과 같은 경로로 $9{,}900$ 에 도달.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

  • 4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 생성 ($4$ 항짜리 $+,+,+,-$ 주기 인식 및 블록 합 $2, 10, 18, \ldots$ 의 등차 패턴 도출.)
  • 2.OA.A.1 $100$ 이내 한·두 단계 덧셈·뺄셈 응용 문제 풀기 (처음 몇 블록 값 ($1+2+3-4 = 2$ 등) 직접 계산.)
  • 4.NBT.B.5 한 자리 수와의 곱셈으로 네 자리 자연수 다루기 ($50$ 블록 짝짓기로 $25 \cdot 396$ 을 만들고 $25 \cdot 396 = 25 \cdot 400 - 25 \cdot 4$ 로 분배해 암산.)
  • 4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 (계산값 $9{,}900$ 을 (B) 와 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 패턴 찾기만 알면 풀 수 있어요 — $4$ 항씩 묶으면 $(1+2+3-4) = 2$, $(5+6+7-8) = 10$, $(9+10+11-12) = 18$ … 매번 $8$ 씩 커지는 등차 수열이고, $50$ 개 블록 합(마지막은 $394$) 을 더하면 $9{,}900$.

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 패턴 찾기만 알면 풀 수 있어요 — $4$ 항씩 묶으면 $(1+2+3-4) = 2$, $(5+6+7-8) = 10$, $(9+10+11-12) = 18$ … 매번 $8$ 씩 커지는 등차 수열이고, $50$ 개 블록 합(마지막은 $394$) 을 더하면 $9{,}900$.

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