AMC 10 · 2024 · #1

학년 4 arithmetic

multi-digit-arithmeticpattern-recognitioncomplementary-counting identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticorder-of-operations

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문제

In a long line of people arranged left to right, the 1013th person from the left is also the 1010th person from the right. How many people are in the line?

$\textbf{(A) } 2021 \qquad\textbf{(B) } 2022 \qquad\textbf{(C) } 2023 \qquad\textbf{(D) } 2024 \qquad\textbf{(E) } 2025$

Modified Problem in Certain China Testpapers

In a long line of people arranged left to right, the 1015th person from the left is also the 1010th person from the right. How many people are in line?

$\textbf{(A) } 2021 \qquad\textbf{(B) } 2022 \qquad\textbf{(C) } 2023 \qquad\textbf{(D) } 2024 \qquad\textbf{(E) } 2025$

Solution for Certain China Testpapers

If the person is the 1015th from the left, that means there is 1014 people to their left.
If the person is the 1010th from the right, that means there is 1009 people to their right.
Therefore, there are $1014 + 1 + 1009 = \boxed{\textbf{(D) } 2024}$ people in line.

~Aray10 (Main Solution) and RULE101 (Modifications for certain China test papers)

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2021

(B)

2022

(C)

2023

(D)

2024

(E)

2025

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 줄로 서 있는 사람들 가운데 어떤 한 사람이 왼쪽에서 세면 $1013$번째이고, 오른쪽에서 세면 $1010$번째입니다. 줄에 서 있는 사람은 모두 몇 명일까요?

주어진 것: 왼쪽에서 본 위치: $1013$번째; 오른쪽에서 본 위치: $1010$번째; 지목된 사람을 포함해 모두가 한 줄로 서 있음; 선택지: (A) $2021$, (B) $2022$, (C) $2023$, (D) $2024$, (E) $2025$

구하는 것: 줄에 서 있는 전체 사람 수

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

줄 위의 위치 그림이 핵심인 문제입니다 — 가운데에 지목된 한 사람, 그 왼쪽 사람들, 그 오른쪽 사람들. 도구 #1(그림 그리기)로 L L L ... L | P | R R R ... R 형태의 간단한 스케치를 그리면 셀 것이 눈에 바로 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 줄을 "왼쪽", "가운데 한 사람", "오른쪽" 세 조각으로 나눠서 각 조각을 세고 더하면 끝나도록 해 줍니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 K.G.A.1 단계 1

줄을 세 조각으로 라벨링해 그립니다 — 가운데 한 사람의 왼쪽, 그 사람, 그리고 오른쪽.
그림을 그리면 세 조각의 합이 전체임이 곧바로 보입니다.

$$\underbrace{L \; L \; \cdots \; L}_{\text{P 의 왼쪽}} \;\big|\; P \;\big|\; \underbrace{R \; R \; \cdots \; R}_{\text{P 의 오른쪽}}$$

💡 유치원에서 배우는 "옆에, 왼쪽에, 오른쪽에" 위치 표현이 문제에 그대로 나오고, 간단한 스케치 한 장이 그 말을 "셀 수 있는 그림"으로 바꿔 줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.A.1 단계 2

왼쪽에 있는 사람 수를 셉니다.
왼쪽에서 $1013$번째라는 말은 이 사람보다 왼쪽에 $1012$명이 서 있다는 뜻입니다.

$$\text{P 의 왼쪽} = 1013 - 1 = 1012 \text{ 명}$$

💡 $1$번부터 세는 줄에서 $1013$번째라면 그보다 앞에 $1012$명이 있다는 한 단계짜리 뺄셈 문장제로, 2학년 단계에서 충분히 풀립니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.A.1 단계 3

오른쪽에 있는 사람 수를 셉니다.
오른쪽에서 $1010$번째라는 말은 이 사람보다 오른쪽에 $1009$명이 서 있다는 뜻입니다.

$$\text{P 의 오른쪽} = 1010 - 1 = 1009 \text{ 명}$$

💡 오른쪽도 같은 원리 — 오른쪽에서 $1010$번째라면 오른쪽에 있는 사람은 $1009$명입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 4

세 조각 — 왼쪽, 가운데 한 사람, 오른쪽 — 을 더해서 줄의 전체 길이를 구합니다.

$$1012 + 1 + 1009 = 2022 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 서로 겹치지 않는 세 모둠을 하나로 합치는 "덧셈의 원리" 그대로이고, 네 자리 덧셈은 4학년 다자릿수 덧셈 표준에 해당합니다.

[1] #1 K.G.A.1 줄을 세 조각으로 라벨링해 그립니다 — 가운데 한 사람의 왼쪽, 그 사람, 그리고 오른쪽. 그림을 그리면 세 조각의 합이 전체임이 곧바로 보입니

[2] #7 2.OA.A.1 왼쪽에 있는 사람 수를 셉니다. 왼쪽에서 $1013$번째라는 말은 이 사람보다 왼쪽에 $1012$명이 서 있다는 뜻입니다.

[3] #7 2.OA.A.1 오른쪽에 있는 사람 수를 셉니다. 오른쪽에서 $1010$번째라는 말은 이 사람보다 오른쪽에 $1009$명이 서 있다는 뜻입니다.

[4] #7 4.NBT.B.4 세 조각 — 왼쪽, 가운데 한 사람, 오른쪽 — 을 더해서 줄의 전체 길이를 구합니다.

검토

합리성 확인: 지름길 공식으로 한 번 더 확인합니다: $\text{전체} = (\text{왼쪽 위치}) + (\text{오른쪽 위치}) - 1 = 1013 + 1010 - 1 = 2022$. $-1$ 은 양쪽에서 모두 지목된 한 사람이 두 번 세어진 것을 빼 주는 보정입니다. 답은 같게 (B). 그리고 $1013 + 1010 = 2023$ 이 $2022$ 와 거의 같다는 점에서, $2022$ 부근의 값이 나오는 것은 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 아주 짧은 줄로 검증해 봅니다. 어떤 사람이 왼쪽에서 $3$ 번째, 오른쪽에서 $4$ 번째라면 L L P R R R 으로 총 $6$ 명이고, $3 + 4 - 1 = 6$. 이 "두 위치를 더하고 $1$ 을 빼는" 패턴이 그대로 적용되어 $1013 + 1010 - 1 = 2022$ 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

K.G.A.1 물체의 위치를 위, 아래, 옆, 앞 등의 말로 설명하기 ("왼쪽에, 옆에, 오른쪽에" 같은 위치 표현으로 줄을 세 조각으로 나누고 라벨링하는 데 사용.)
2.OA.A.1 100 이내 덧셈·뺄셈을 사용하는 한두 단계 문장제 풀기 ("끝에서 $n$ 번째" 를 "그쪽에 $n-1$ 명" 으로 옮기는 한 단계 뺄셈 문장제에 사용.)
4.NBT.B.4 다자릿수 자연수를 능숙하게 덧셈·뺄셈하기 (세 조각의 사람 수 $1012 + 1 + 1009 = 2022$ 를 네 자리 덧셈으로 합산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 때 배운 다자릿수 덧셈과 "끝에서 $n$ 번째면 그쪽에 $n-1$ 명" 이라는 위치 빼기만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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