AMC 8 · 2000 · #12

• 행 수부터 정리합니다.
• 블록 높이가 $1$ ft, 벽 높이가 $7$ ft 이므로 행은 모두 $7$.
• 한 행 안에서는 가능한 한 $2$ ft 블록을 많이 써야 블록 수가 줄어듭니다.
• 그림의 아래쪽 행이 바로 그 극단으로, $2$ ft 블록 $50$ 개가 일렬로 놓여 $100$ ft 를 채웁니다.
• 이걸 "바닥형" 행이라 부릅시다.

💡 $100$ ft 를 가장 긴 블록($2$ ft)으로 나눈 $50$ 개가 한 행이 쓸 수 있는 블록의 최솟값.

• 바로 위 행을 봅시다.
• 바닥형 행의 이음선은 짝수 위치 $2, 4, 6, \dots, 98$ 에 있습니다.
• 어긋남 규칙에 따라 위 행은 이 위치들 중 어느 곳에도 이음선을 둘 수 없으므로 또 다른 "$2$ ft 만" 행이 될 수 없습니다.
• 가장 단순한 해결은 그림의 윗 행처럼 양 끝을 $1$ ft 블록으로 막고 가운데를 $2$ ft 블록으로 채우는 것입니다.
• 가운데 길이는 $100 - 1 - 1 = 98$ ft 이고, $98 \div 2 = 49$ 개의 $2$ ft 블록이 들어갑니다.
• 이걸 "윗형" 행이라 부릅시다.

💡 양 끝에 $1$ ft "마감 블록" 두 개를 끼우면 가운데 이음선이 모두 $1$ ft 씩 밀려, 위 행의 이음선이 홀수 위치 $3, 5, 7, \dots, 97$ 에 떨어집니다 — 아래 이음선 위에는 절대 오지 않습니다.

• 이 두 스타일을 번갈아 쌓는 것이 정말 최선인지 확인합니다.
• 한 행의 길이 합은 $100$ ft 이고 블록 길이는 $1$ 또는 $2$ 이므로, 그 행의 블록 수 $=$ $100 - (2\text{-ft 블록 수})$.
• 즉 $1$ ft 블록이 적을수록 전체 블록 수도 적습니다.
• 바닥형 행은 $1$ ft 블록이 $0$ 개($50$ 블록).
• 그 위 행은 짝수 위치에 이음선을 둘 수 없으므로 $1$ ft 블록이 최소 $2$ 개 필요합니다 — 벽 끝은 $0$ 과 $100$ 에서 평평해야 하고, 안쪽 첫 이음선은 홀수만큼 옮겨져야 하기 때문 — 따라서 최소 $51$ 블록.
• 결국 $50$ 짜리와 $51$ 짜리 행을 번갈아 쌓는 것이 최적입니다.

💡 $1$ ft 블록 하나를 끼울 때마다 전체 블록 수가 $1$ 씩 늘어나므로, 어긋남을 깨지 않는 선에서 가능한 한 적게 끼워야 합니다.

• $7$ 행을 바닥형 → 윗형 → 바닥형 → $\dots$ 순서로 쌓습니다.
• 행 $1, 3, 5, 7$ 은 바닥형($4$ 행 $\times 50$ 블록), 행 $2, 4, 6$ 은 윗형($3$ 행 $\times 51$ 블록).
• 합산만 남았습니다.

💡 값싼 행 $4$ 개 + 살짝 비싼 행 $3$ 개 — 곱셈 두 번과 덧셈 한 번으로 세 작은 문제의 답이 합쳐집니다.