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AMC 8 · 2000 · #20

쉬운 모드 학년 4
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문제

미국 동전 99개가 한 무더기 있다고 떠올려 봅시다. 그 안에는 페니(penny, 11센트), 니켈(nickel, 55센트), 다임(dime, 1010센트), 쿼터(quarter, 2525센트)가 섞여 있어요.

두 가지 조건이 있어요.

  • 네 종류의 동전이 각각 적어도 한 개씩은 들어 있어요.
  • 99개를 모두 합한 값은 정확히 $$1.02,즉, 즉102$센트입니다.

이때 99개의 동전 중에서 다임은 반드시 몇 개여야 할까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
(E)
5
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 동전 $9$ 개가 있습니다. 동전 종류는 1센트 ($1$¢), 5센트 ($5$¢), 10센트 ($10$¢), 25센트 ($25$¢) 네 가지이고, 종류별로 적어도 한 개씩은 들어 있습니다. 전체 금액은 $102$¢ 입니다. 10센트짜리는 몇 개일까요?

주어진 것: 동전은 모두 $9$ 개; 네 가지 종류: 1센트 $1$¢, 5센트 $5$¢, 10센트 $10$¢, 25센트 $25$¢; 각 종류 적어도 한 개씩; 전체 금액 $= 102$¢; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 10센트짜리의 개수

이해

문제 재정리: 동전 $9$ 개가 있습니다. 동전 종류는 1센트 ($1$¢), 5센트 ($5$¢), 10센트 ($10$¢), 25센트 ($25$¢) 네 가지이고, 종류별로 적어도 한 개씩은 들어 있습니다. 전체 금액은 $102$¢ 입니다. 10센트짜리는 몇 개일까요?

주어진 것: 동전은 모두 $9$ 개; 네 가지 종류: 1센트 $1$¢, 5센트 $5$¢, 10센트 $10$¢, 25센트 $25$¢; 각 종류 적어도 한 개씩; 전체 금액 $= 102$¢; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #2 빠짐없이 나열하기

먼저 "각 종류 한 개씩" 조건을 만족시키려고 네 종류에서 한 개씩 빼 놓습니다. 그러면 $41$¢ 와 $4$ 개의 동전이 미리 정해지고, 남은 $5$ 개로 $61$¢ 를 더 만들면 됩니다. 도구 #8 (단위 살펴보기) 가 핵심 제약을 줍니다 — 5센트·10센트·25센트는 모두 $5$ 의 배수라서, $1$ 센트 동전 (추가 페니) 의 개수가 남은 금액을 $5$ 의 배수로 맞춰 줘야 합니다. 도구 #3 (가능성 지우기) 으로 페니 개수의 모든 경우를 따져 가능한 것 하나만 남깁니다. 그 다음 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 로 추가 10센트 개수 $d = 0,1,2,3,4$ 를 차례로 시험해 봅니다. 방정식 없이 약수·배수와 짧은 정리만으로 끝납니다.

실행 — 정답: A

#3 가능성 지우기 4.MD.A.2 단계 1
  • "각 종류 한 개씩" 조건을 먼저 써서 문제를 줄입니다.
  • 1센트, 5센트, 10센트, 25센트를 한 개씩 따로 놓아요.
  • 동전 $4$ 개로 $1 + 5 + 10 + 25 = 41$¢ 가 정해집니다.
  • 남은 것은 $5$ 개의 동전으로 $102 - 41 = 61$¢ 를 만드는 일입니다.
$$\text{남은 동전 수} = 9 - 4 = 5, \quad \text{남은 금액} = 102 - 41 = 61\text{¢}$$

💡 "적어도 한 개" 조건을 먼저 처리하면 네 변수 문제가 최솟값 조건 없는 더 작은 문제로 바뀝니다.

#8 단위 살펴보기 4.OA.B.4 단계 2
  • 약수·배수로 페니 개수를 결정합니다.
  • 5센트·10센트·25센트는 모두 $5$ 의 배수라서, 이들 끼리 더하면 끝자리는 $0$ 이나 $5$ 가 됩니다.
  • 남은 $61$¢ 의 끝자리는 $1$ 이므로 그 "$1$" 은 페니가 책임져야 합니다 — 즉 추가 페니 개수를 $5$ 로 나눈 나머지가 $1$ 이어야 합니다.
  • $\{0,1,2,3,4,5\}$ 중 조건을 만족하는 값은 $1$ 또는 $6$ 인데, 남은 동전이 $5$ 개뿐이라 $6$ 은 불가능합니다.
  • 따라서 추가 페니는 정확히 $1$ 개.
$$\text{추가 페니} \equiv 1 \pmod 5, \quad 0 \le \text{추가 페니} \le 5 \;\Rightarrow\; \text{추가 페니} = 1$$

💡 끝자리 ($1$ 의 자리) 만 봐도 다른 동전은 건드리지 않고 페니 개수가 정해집니다.

#3 가능성 지우기 4.MD.A.2 단계 3
  • 남은 예산을 갱신합니다.
  • 페니 $1$ 개를 더 놓고 나면, 아직 배정할 동전은 $5 - 1 = 4$ 개이고 남은 금액은 $61 - 1 = 60$¢.
  • 이 $4$ 개는 5센트·10센트·25센트 중에서만 고릅니다.
$$\text{남은 동전 수} = 4, \quad \text{남은 금액} = 60\text{¢}$$

💡 페니가 정리되고 나면 남은 동전은 모두 $5$ 의 배수 값이라, 이제부터는 작은 표 위에서의 단순 시도뿐입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 4
  • 추가 10센트의 개수로 경우를 나눠 봅니다.
  • 남은 $4$ 개 중 10센트의 개수를 $d$ 라 하면, 나머지 $4 - d$ 개는 5센트·25센트로 $60 - 10d$ 센트를 만들어야 합니다.
  • $d = 0, 1, 2, 3, 4$ 를 차례로 확인합니다.\n\n• $d = 4$: $0$ 개로 $60 - 40 = 20$¢.
  • 불가능.\n• $d = 3$: $1$ 개로 $30$¢.
  • $30$¢ 인 동전 한 개는 없으니 불가능.\n• $d = 2$: $2$ 개로 $40$¢.
  • 가능 조합은 $5+5=10$, $5+25=30$, $25+25=50$.
  • $40$ 이 없으므로 불가능.\n• $d = 1$: $3$ 개로 $50$¢.
  • 25센트 $q$ 개라 하면 $25q + 5(3-q) = 15 + 20q = 50 \Rightarrow 20q = 35$.
  • 정수 해가 없으니 불가능.\n• $d = 0$: $4$ 개로 $60$¢.
  • $25q + 5(4-q) = 20 + 20q = 60 \Rightarrow q = 2$, 5센트는 $n = 2$ 개.
  • 성립.
$$\text{성립하는 경우는 단 하나: } d = 0,\ q = 2,\ n = 2$$

💡 다섯 가지 작은 경우, 각각 한 번의 확인이면 끝 — 빠짐없이 나열하기 도구가 빛나는 상황입니다.

#3 가능성 지우기 4.MD.A.2 단계 5
  • 처음에 빼 놓았던 10센트를 다시 더해 줍니다.
  • 최종 동전 묶음은 페니 $1 + 1 = 2$ 개, 5센트 $1 + 2 = 3$ 개, 10센트 $1 + 0 = 1$ 개, 25센트 $1 + 2 = 3$ 개.
  • 확인: $2 + 3 + 1 + 3 = 9$ 개, $2(1) + 3(5) + 1(10) + 3(25) = 2 + 15 + 10 + 75 = 102$¢.
  • 10센트의 개수는 $1$.
$$\text{10센트} = 1 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 맨 처음에 빼 놓았던 10센트를 다시 더하는 걸 잊지 마세요 — 답 $1$ 은 그 첫 한 개에서 나옵니다.

[1] #3 4.MD.A.2 "각 종류 한 개씩" 조건을 먼저 써서 문제를 줄입니다. 1센트, 5센트, 10센트, 25센트를 한 개씩 따로 놓아요. 동전 $4$ 개로 $1
[2] #8 4.OA.B.4 약수·배수로 페니 개수를 결정합니다. 5센트·10센트·25센트는 모두 $5$ 의 배수라서, 이들 끼리 더하면 끝자리는 $0$ 이나 $5$ 가 됩
[3] #3 4.MD.A.2 남은 예산을 갱신합니다. 페니 $1$ 개를 더 놓고 나면, 아직 배정할 동전은 $5 - 1 = 4$ 개이고 남은 금액은 $61 - 1 = 60$
[4] #2 4.OA.A.3 추가 10센트의 개수로 경우를 나눠 봅니다. 남은 $4$ 개 중 10센트의 개수를 $d$ 라 하면, 나머지 $4 - d$ 개는 5센트·25센트로
[5] #3 4.MD.A.2 처음에 빼 놓았던 10센트를 다시 더해 줍니다. 최종 동전 묶음은 페니 $1 + 1 = 2$ 개, 5센트 $1 + 2 = 3$ 개, 10센트 $

검토

합리성 확인: 최종 묶음 $\{$페니 $2$ 개, 5센트 $3$ 개, 10센트 $1$ 개, 25센트 $3$ 개$\}$ 는 모든 조건을 만족합니다 — 동전 $9$ 개, 각 종류 적어도 한 개, $2 + 15 + 10 + 75 = 102$¢. 경우 분석에서 다른 모든 10센트 개수는 모순이 나왔으므로 이 묶음만 유일한 답입니다. 문제가 "10센트가 몇 개여야 하는가" 라고 묻는다는 것은 답이 강제로 하나로 정해진다는 뜻이고, 정확히 그렇게 나왔으니 자연스럽습니다. 답 $1$ 은 (A) 와 일치.

대안 접근: 도구 #6 (추측하고 확인하기) 로 선택지를 차례대로 시험: 10센트 총 개수를 $1, 2, 3, 4, 5$ 라 가정하고 나머지 동전으로 합이 맞는지 확인합니다. $1$ 일 때 10센트가 $10$¢ 와 동전 $1$ 개를 쓰고 남은 $92$¢ 를 $8$ 개로 채워야 하는데 페니 $2$ + 5센트 $3$ + 25센트 $3$ 으로 정확히 성립. $2, 3, 4, 5$ 는 위의 약수·배수 논리로 동전 수와 금액을 동시에 맞추는 조합이 없습니다. 따라서 살아남는 것은 (A) 뿐.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

  • 4.MD.A.2 사칙연산을 이용해 돈에 관한 문장제 해결하기 (네 종류 동전의 센트 값을 더하고 빼는 데 사용 — $41$¢ 를 먼저 빼고 $61$¢ 남기기, 마지막 확인 $2 + 15 + 10 + 75 = 102$¢.)
  • 4.OA.B.4 어떤 자연수가 자기 인수들의 배수임을 이해하고, 배수·인수 판단하기 (5센트·10센트·25센트가 모두 $5$ 의 배수라는 사실을 이용해 추가 페니 개수를 $\equiv 1 \pmod 5$ 로 강제하는 데 사용.)
  • 4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 자연수 문장제 풀기 (10센트 개수 $d = 0, 1, 2, 3, 4$ 다섯 경우를 곱셈·뺄셈으로 확인해 가능한 단 한 경우를 찾아내는 데 사용.)

⭐ 먼저 각 종류 한 개씩 빼서 "적어도 한 개" 조건을 처리합니다. 남은 $61$¢ 의 끝자리가 $1$ 이므로 그 "$1$" 은 페니만 만들 수 있고, 남은 동전이 $5$ 개뿐이라 추가 페니는 딱 $1$ 개. 그 뒤 10센트 개수 $0$ 부터 $4$ 까지 짧게 확인해 보면 성립하는 경우는 단 하나 — 10센트는 총 $1$ 개, 답은 (A).

⭐ 먼저 각 종류 한 개씩 빼서 "적어도 한 개" 조건을 처리합니다. 남은 $61$¢ 의 끝자리가 $1$ 이므로 그 "$1$" 은 페니만 만들 수 있고, 남은 동전이 $5$ 개뿐이라 추가 페니는 딱 $1$ 개. 그 뒤 10센트 개수 $0$ 부터 $4$ 까지 짧게 확인해 보면 성립하는 경우는 단 하나 — 10센트는 총 $1$ 개, 답은 (A).

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