AMC 8 · 2000 · #20

학년 4 arithmeticnumber-theory

linear-diophantinesystematic-enumerationmultiplesmulti-digit-arithmetic caseworksystematic-enumerationbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmultiples

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문제

You have nine coins: a collection of pennies, nickels, dimes, and quarters having a total value of $$1.02$, with at least one coin of each type. How many dimes must you have?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 동전 $9$ 개가 있습니다. 동전 종류는 1센트 ($1$¢), 5센트 ($5$¢), 10센트 ($10$¢), 25센트 ($25$¢) 네 가지이고, 종류별로 적어도 한 개씩은 들어 있습니다. 전체 금액은 $102$¢ 입니다. 10센트짜리는 몇 개일까요?

주어진 것: 동전은 모두 $9$ 개; 네 가지 종류: 1센트 $1$¢, 5센트 $5$¢, 10센트 $10$¢, 25센트 $25$¢; 각 종류 적어도 한 개씩; 전체 금액 $= 102$¢; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 10센트짜리의 개수

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #2 빠짐없이 나열하기

먼저 "각 종류 한 개씩" 조건을 만족시키려고 네 종류에서 한 개씩 빼 놓습니다. 그러면 $41$¢ 와 $4$ 개의 동전이 미리 정해지고, 남은 $5$ 개로 $61$¢ 를 더 만들면 됩니다. 도구 #8 (단위 살펴보기) 가 핵심 제약을 줍니다 — 5센트·10센트·25센트는 모두 $5$ 의 배수라서, $1$ 센트 동전 (추가 페니) 의 개수가 남은 금액을 $5$ 의 배수로 맞춰 줘야 합니다. 도구 #3 (가능성 지우기) 으로 페니 개수의 모든 경우를 따져 가능한 것 하나만 남깁니다. 그 다음 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 로 추가 10센트 개수 $d = 0,1,2,3,4$ 를 차례로 시험해 봅니다. 방정식 없이 약수·배수와 짧은 정리만으로 끝납니다.

실행 — 정답: A

#3 가능성 지우기 4.MD.A.2 단계 1

"각 종류 한 개씩" 조건을 먼저 써서 문제를 줄입니다.
1센트, 5센트, 10센트, 25센트를 한 개씩 따로 놓아요.
동전 $4$ 개로 $1 + 5 + 10 + 25 = 41$¢ 가 정해집니다.
남은 것은 $5$ 개의 동전으로 $102 - 41 = 61$¢ 를 만드는 일입니다.

$$\text{남은 동전 수} = 9 - 4 = 5, \quad \text{남은 금액} = 102 - 41 = 61\text{¢}$$

💡 "적어도 한 개" 조건을 먼저 처리하면 네 변수 문제가 최솟값 조건 없는 더 작은 문제로 바뀝니다.

#8 단위 살펴보기 4.OA.B.4 단계 2

약수·배수로 페니 개수를 결정합니다.
5센트·10센트·25센트는 모두 $5$ 의 배수라서, 이들 끼리 더하면 끝자리는 $0$ 이나 $5$ 가 됩니다.
남은 $61$¢ 의 끝자리는 $1$ 이므로 그 "$1$" 은 페니가 책임져야 합니다 — 즉 추가 페니 개수를 $5$ 로 나눈 나머지가 $1$ 이어야 합니다.
$\{0,1,2,3,4,5\}$ 중 조건을 만족하는 값은 $1$ 또는 $6$ 인데, 남은 동전이 $5$ 개뿐이라 $6$ 은 불가능합니다.
따라서 추가 페니는 정확히 $1$ 개.

$$\text{추가 페니} \equiv 1 \pmod 5, \quad 0 \le \text{추가 페니} \le 5 \;\Rightarrow\; \text{추가 페니} = 1$$

💡 끝자리 ($1$ 의 자리) 만 봐도 다른 동전은 건드리지 않고 페니 개수가 정해집니다.

#3 가능성 지우기 4.MD.A.2 단계 3

남은 예산을 갱신합니다.
페니 $1$ 개를 더 놓고 나면, 아직 배정할 동전은 $5 - 1 = 4$ 개이고 남은 금액은 $61 - 1 = 60$¢.
이 $4$ 개는 5센트·10센트·25센트 중에서만 고릅니다.

$$\text{남은 동전 수} = 4, \quad \text{남은 금액} = 60\text{¢}$$

💡 페니가 정리되고 나면 남은 동전은 모두 $5$ 의 배수 값이라, 이제부터는 작은 표 위에서의 단순 시도뿐입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 4

추가 10센트의 개수로 경우를 나눠 봅니다.
남은 $4$ 개 중 10센트의 개수를 $d$ 라 하면, 나머지 $4 - d$ 개는 5센트·25센트로 $60 - 10d$ 센트를 만들어야 합니다.
$d = 0, 1, 2, 3, 4$ 를 차례로 확인합니다.\n\n• $d = 4$: $0$ 개로 $60 - 40 = 20$¢.
불가능.\n• $d = 3$: $1$ 개로 $30$¢.
$30$¢ 인 동전 한 개는 없으니 불가능.\n• $d = 2$: $2$ 개로 $40$¢.
가능 조합은 $5+5=10$, $5+25=30$, $25+25=50$.
$40$ 이 없으므로 불가능.\n• $d = 1$: $3$ 개로 $50$¢.
25센트 $q$ 개라 하면 $25q + 5(3-q) = 15 + 20q = 50 \Rightarrow 20q = 35$.
정수 해가 없으니 불가능.\n• $d = 0$: $4$ 개로 $60$¢.
$25q + 5(4-q) = 20 + 20q = 60 \Rightarrow q = 2$, 5센트는 $n = 2$ 개.
성립.

$$\text{성립하는 경우는 단 하나: } d = 0,\ q = 2,\ n = 2$$

💡 다섯 가지 작은 경우, 각각 한 번의 확인이면 끝 — 빠짐없이 나열하기 도구가 빛나는 상황입니다.

#3 가능성 지우기 4.MD.A.2 단계 5

처음에 빼 놓았던 10센트를 다시 더해 줍니다.
최종 동전 묶음은 페니 $1 + 1 = 2$ 개, 5센트 $1 + 2 = 3$ 개, 10센트 $1 + 0 = 1$ 개, 25센트 $1 + 2 = 3$ 개.
확인: $2 + 3 + 1 + 3 = 9$ 개, $2(1) + 3(5) + 1(10) + 3(25) = 2 + 15 + 10 + 75 = 102$¢.
10센트의 개수는 $1$.

$$\text{10센트} = 1 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 맨 처음에 빼 놓았던 10센트를 다시 더하는 걸 잊지 마세요 — 답 $1$ 은 그 첫 한 개에서 나옵니다.

[1] #3 4.MD.A.2 "각 종류 한 개씩" 조건을 먼저 써서 문제를 줄입니다. 1센트, 5센트, 10센트, 25센트를 한 개씩 따로 놓아요. 동전 $4$ 개로 $1

[2] #8 4.OA.B.4 약수·배수로 페니 개수를 결정합니다. 5센트·10센트·25센트는 모두 $5$ 의 배수라서, 이들 끼리 더하면 끝자리는 $0$ 이나 $5$ 가 됩

[3] #3 4.MD.A.2 남은 예산을 갱신합니다. 페니 $1$ 개를 더 놓고 나면, 아직 배정할 동전은 $5 - 1 = 4$ 개이고 남은 금액은 $61 - 1 = 60$

[4] #2 4.OA.A.3 추가 10센트의 개수로 경우를 나눠 봅니다. 남은 $4$ 개 중 10센트의 개수를 $d$ 라 하면, 나머지 $4 - d$ 개는 5센트·25센트로

[5] #3 4.MD.A.2 처음에 빼 놓았던 10센트를 다시 더해 줍니다. 최종 동전 묶음은 페니 $1 + 1 = 2$ 개, 5센트 $1 + 2 = 3$ 개, 10센트 $

검토

합리성 확인: 최종 묶음 $\{$페니 $2$ 개, 5센트 $3$ 개, 10센트 $1$ 개, 25센트 $3$ 개$\}$ 는 모든 조건을 만족합니다 — 동전 $9$ 개, 각 종류 적어도 한 개, $2 + 15 + 10 + 75 = 102$¢. 경우 분석에서 다른 모든 10센트 개수는 모순이 나왔으므로 이 묶음만 유일한 답입니다. 문제가 "10센트가 몇 개여야 하는가" 라고 묻는다는 것은 답이 강제로 하나로 정해진다는 뜻이고, 정확히 그렇게 나왔으니 자연스럽습니다. 답 $1$ 은 (A) 와 일치.

대안 접근: 도구 #6 (추측하고 확인하기) 로 선택지를 차례대로 시험: 10센트 총 개수를 $1, 2, 3, 4, 5$ 라 가정하고 나머지 동전으로 합이 맞는지 확인합니다. $1$ 일 때 10센트가 $10$¢ 와 동전 $1$ 개를 쓰고 남은 $92$¢ 를 $8$ 개로 채워야 하는데 페니 $2$ + 5센트 $3$ + 25센트 $3$ 으로 정확히 성립. $2, 3, 4, 5$ 는 위의 약수·배수 논리로 동전 수와 금액을 동시에 맞추는 조합이 없습니다. 따라서 살아남는 것은 (A) 뿐.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.MD.A.2 사칙연산을 이용해 돈에 관한 문장제 해결하기 (네 종류 동전의 센트 값을 더하고 빼는 데 사용 — $41$¢ 를 먼저 빼고 $61$¢ 남기기, 마지막 확인 $2 + 15 + 10 + 75 = 102$¢.)
4.OA.B.4 어떤 자연수가 자기 인수들의 배수임을 이해하고, 배수·인수 판단하기 (5센트·10센트·25센트가 모두 $5$ 의 배수라는 사실을 이용해 추가 페니 개수를 $\equiv 1 \pmod 5$ 로 강제하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 자연수 문장제 풀기 (10센트 개수 $d = 0, 1, 2, 3, 4$ 다섯 경우를 곱셈·뺄셈으로 확인해 가능한 단 한 경우를 찾아내는 데 사용.)

⭐ 먼저 각 종류 한 개씩 빼서 "적어도 한 개" 조건을 처리합니다. 남은 $61$¢ 의 끝자리가 $1$ 이므로 그 "$1$" 은 페니만 만들 수 있고, 남은 동전이 $5$ 개뿐이라 추가 페니는 딱 $1$ 개. 그 뒤 10센트 개수 $0$ 부터 $4$ 까지 짧게 확인해 보면 성립하는 경우는 단 하나 — 10센트는 총 $1$ 개, 답은 (A).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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