AMC 8 · 2007 · #13

쉬운 모드 학년 4

문제

서로 겹쳐 있는 원 두 개를 떠올려봅시다. 벤다이어그램처럼요. 한쪽 원이 집합 $A$ , 다른 쪽 원이 집합 $B$ 예요.

집합 $A$ 와 집합 $B$ 안에 들어 있는 원소의 개수는 서로 같습니다.

두 원 안에 있는 원소를 모두 모으면(겹치는 원소는 한 번만 세요) 총 $2007$ 개가 됩니다.

두 원이 겹치는 부분, 즉 양쪽 집합에 모두 들어 있는 원소는 $1001$ 개예요.

집합 $A$ 에는 원소가 몇 개 있을까요?

$\mathrm{(A)}\ 503 \qquad \mathrm{(B)}\ 1006 \qquad \mathrm{(C)}\ 1504 \qquad \mathrm{(D)}\ 1507 \qquad \mathrm{(E)}\ 1510$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

503

(B)

1006

(C)

1504

(D)

1507

(E)

1510

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 집합 $A$ 와 $B$ 의 원소 개수가 서로 같습니다. 합집합의 원소가 $2007$ 개, 교집합의 원소가 $1001$ 개라고 할 때, 집합 $A$ 의 원소 개수를 구하세요.

주어진 것: $|A \cup B| = 2007$; $|A \cap B| = 1001$; $|A| = |B|$; 선택지: (A) $503$, (B) $1006$, (C) $1504$, (D) $1507$, (E) $1510$

구하는 것: 집합 $A$ 의 원소 개수 $|A|$

이해

주어진 것: $|A \cup B| = 2007$; $|A \cap B| = 1001$; $|A| = |B|$; 선택지: (A) $503$, (B) $1006$, (C) $1504$, (D) $1507$, (E) $1510$

계획

주요 도구: #12 벤 다이어그램 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

문제에 이미 벤 다이어그램이 그려져 있고 합집합·교집합 개수를 묻습니다 — 도구 #12(벤 다이어그램 그리기)가 그대로 들어맞아요. 두 원을 겹쳐 그리고 가운데 겹친 부분(교집합)에 $1001$ 을 적은 다음, 양쪽 초승달 모양 영역을 "$A$ 만" 과 "$B$ 만" 으로 둡니다. $|A| = |B|$ 이므로 두 초승달의 크기가 같습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 합집합 $2007$ 을 "왼쪽 초승달 + 가운데 + 오른쪽 초승달" 세 조각으로 나누면, 대칭성으로 한 초승달의 크기가 단 한 번의 계산으로 나옵니다. 그 초승달에 가운데를 더하면 $|A|$.

실행 — 정답: C

#12 벤 다이어그램 그리기 2.MD.D.10 단계 1

벤 다이어그램을 그립니다.
왼쪽 원은 $A$, 오른쪽 원은 $B$, 가운데 겹친 부분은 $A \cap B$ 입니다.
가운데에 $1001$ 을 써넣고, 왼쪽 초승달($A$ 에만 있는 원소)의 개수를 $a$, 오른쪽 초승달($B$ 에만 있는 원소)의 개수를 $b$ 라고 둡니다.

$$\text{가운데} = 1001,\;\text{왼쪽 초승달} = a,\;\text{오른쪽 초승달} = b$$

💡 합집합을 서로 겹치지 않는 세 영역으로 나누는 건 2학년 "그림 그래프" 의 발상 그대로 — 한 집단을 겹침 없이 쪼개는 시각적 방법이에요.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.D.9 단계 2

$|A| = |B|$ 를 그림으로 옮깁니다.
집합 $A$ 는 왼쪽 초승달 + 가운데, 집합 $B$ 는 오른쪽 초승달 + 가운데입니다.
가운데가 같으니 양쪽 초승달도 같아야 해요.

$$a + 1001 = b + 1001 \;\Rightarrow\; a = b$$

💡 두 합이 같고 그 안에 같은 조각이 들어 있으면 남는 조각도 같다 — 3학년 "연산의 성질로 패턴 설명하기" 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

합집합을 세 영역의 합으로 적고 $a = b$ 를 씁니다.
합집합은 왼쪽 초승달, 가운데, 오른쪽 초승달을 정확히 한 번씩 덮습니다.

$$a + 1001 + b = 2007 \;\Rightarrow\; 2a + 1001 = 2007$$

💡 합집합을 겹치지 않는 조각들로 쪼개고 각 조각을 한 번씩 세는 건 4학년 여러 단계 문장제의 표준 패턴이에요.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

초승달 크기를 구합니다.
양변에서 $1001$ 을 빼고 $2$ 로 나눕니다.

$$2a = 2007 - 1001 = 1006 \;\Rightarrow\; a = 503$$

💡 공통 부분 $1001$ 을 빼면 남은 $1006$ 이 똑같은 두 초승달에 균등하게 나뉘므로 각각 절반씩.

#12 벤 다이어그램 그리기 4.OA.A.3 단계 5

$|A|$ 를 읽습니다.
집합 $A$ 는 왼쪽 초승달 + 가운데입니다.

$$|A| = a + 1001 = 503 + 1001 = 1504 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 벤 다이어그램에서 $A$ 는 "자기만의 초승달 + $B$ 와 공유하는 가운데" 로 보입니다.

[1] #12 2.MD.D.10 벤 다이어그램을 그립니다. 왼쪽 원은 $A$, 오른쪽 원은 $B$, 가운데 겹친 부분은 $A \cap B$ 입니다. 가운데에 $1001$ 을 써

[2] #7 3.OA.D.9 $|A| = |B|$ 를 그림으로 옮깁니다. 집합 $A$ 는 왼쪽 초승달 + 가운데, 집합 $B$ 는 오른쪽 초승달 + 가운데입니다. 가운데가

[3] #7 4.OA.A.3 합집합을 세 영역의 합으로 적고 $a = b$ 를 씁니다. 합집합은 왼쪽 초승달, 가운데, 오른쪽 초승달을 정확히 한 번씩 덮습니다.

[4] #7 4.OA.A.3 초승달 크기를 구합니다. 양변에서 $1001$ 을 빼고 $2$ 로 나눕니다.

[5] #12 4.OA.A.3 $|A|$ 를 읽습니다. 집합 $A$ 는 왼쪽 초승달 + 가운데입니다.

검토

합리성 확인: 벤 다이어그램에 다시 대입해 봅시다. 왼쪽 초승달 $503$, 가운데 $1001$, 오른쪽 초승달 $503$. 그러면 $|A| = 503 + 1001 = 1504$, $|B| = 503 + 1001 = 1504$ 로 $|A| = |B|$ 가 맞고, 합집합은 $503 + 1001 + 503 = 2007$, 교집합은 $1001$ 로 모두 주어진 조건과 일치합니다. 크기 감각 점검: $|A|$ 는 교집합 $1001$ 이상, 합집합 $2007$ 이하여야 하고 $1504$ 는 그 사이에 정확히 들어갑니다. 선택지 (A) $503$ 과 (B) $1006$ 은 $1001$ 의 교집합을 담을 만큼 크지 못해 자동으로 탈락합니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기)로는 포함-배제 공식을 그대로 씁니다: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$. $|A| = |B| = x$ 를 대입하면 $2007 = 2x - 1001$, 즉 $2x = 3008$, $x = 1504$. 같은 답이지만 벤 다이어그램에서 세 영역으로 쪼개는 것이 사실상 포함-배제 공식이라, 그림만 있으면 대수 없이 같은 결론에 도달합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.MD.D.10 자료를 나타내는 그림 그래프와 막대 그래프 그리기 (두 원짜리 벤 다이어그램을 그리고 "왼쪽 초승달 / 가운데 / 오른쪽 초승달" 세 영역으로 나누어 원소 수를 정리하는 데 사용.)
3.OA.D.9 연산의 성질을 이용해 산술 패턴을 찾고 설명하기 ($|A| = |B|$ 와 공통된 가운데 $1001$ 로부터 두 초승달의 크기가 같다는 결론을 끌어내는 데 사용.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 활용한 여러 단계의 문장제 풀기 (합집합 $2007$ 을 겹치지 않는 세 영역으로 쪼개 $2a + 1001 = 2007$ 을 풀어 초승달 크기를 구하고, 가운데와 더해 $|A| = 1504$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 벤 다이어그램만 그리면 이 AMC 8 문제는 4학년 "쪼개서 더하기" 로 풀려요. 합집합 $2007$ 은 가운데 $1001$ 과 똑같은 두 초승달의 합이므로 한 초승달은 $503$, 따라서 $|A| = 503 + 1001 = 1504$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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