AMC 8 · 2008 · #11
쉬운 모드 학년 4문제
링컨 중학교의 한 반에 8학년 학생이 명 있습니다. 학생들은 모두 적어도 한 마리의 반려동물을 키워요. 키우는 동물은 강아지이거나, 고양이이거나, 둘 다입니다.
명은 강아지를 키웁니다. 명은 고양이를 키웁니다.
이 두 그룹에 동시에 들어가는 학생들이 있어요. 강아지와 고양이를 둘 다 키우는 학생들이죠.
강아지와 고양이를 둘 다 키우는 학생은 몇 명일까요?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $39$ 명의 8학년 학생이 모두 개나 고양이, 또는 둘 다를 키웁니다. $20$ 명이 개를, $26$ 명이 고양이를 키운다고 할 때, 둘 다 키우는 학생은 몇 명인가요?
주어진 것: 전체 학생 수: $39$; 개를 키우는 학생: $20$; 고양이를 키우는 학생: $26$; 모든 학생은 두 동물 중 적어도 하나는 키운다; 선택지: (A) $7$, (B) $13$, (C) $19$, (D) $39$, (E) $46$
구하는 것: 개와 고양이를 둘 다 키우는 학생 수
이해
문제 재정리: $39$ 명의 8학년 학생이 모두 개나 고양이, 또는 둘 다를 키웁니다. $20$ 명이 개를, $26$ 명이 고양이를 키운다고 할 때, 둘 다 키우는 학생은 몇 명인가요?
주어진 것: 전체 학생 수: $39$; 개를 키우는 학생: $20$; 고양이를 키우는 학생: $26$; 모든 학생은 두 동물 중 적어도 하나는 키운다; 선택지: (A) $7$, (B) $13$, (C) $19$, (D) $39$, (E) $46$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
도구 #1(그림 그리기)이 가장 깔끔합니다. 개를 키우는 학생의 원과 고양이를 키우는 학생의 원을 겹쳐 그려 보면(벤 다이어그램), $20 + 26$ 을 계산했을 때 가운데 겹친 부분이 두 번 세어진다는 사실이 한눈에 보이죠. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 그 그림을 두 줄짜리 식으로 옮깁니다: "개 합 $+$ 고양이 합 $=$ 전체 학생 수 $+$ 겹친 학생 수" 라는 관계에서 $20 + 26 - \text{둘 다} = 39$. 뺄셈 한 번으로 답이 나옵니다.
실행 — 정답: A
2.MD.D.10 단계 1 - 두 원을 겹쳐 그립니다.
- 한 원은 개를 키우는 학생($20$ 명), 다른 한 원은 고양이를 키우는 학생($26$ 명).
- 두 원을 합친 영역이 전체 $39$ 명입니다.
- 겹친 부분은 "둘 다" 라고 표시해 둡니다.
💡 두 원을 겹쳐 그리고 영역마다 이름을 붙이는 건 같은 학생을 두 가지 기준으로 정리하는 2학년 "그림 그래프" 발상이에요.
2.NBT.B.5 단계 2 - 개의 수와 고양이의 수를 그냥 더해 봅시다.
- 이 합은 적어도 한 동물을 키우는 학생을 모두 세긴 하지만, 둘 다 키우는 학생은 두 원 모두에서 한 번씩, 즉 두 번 세어집니다.
💡 두 자릿수 덧셈은 2학년 계산입니다. 중요한 건 그 합이 "무엇을" 세고 있느냐 하는 의미예요.
4.OA.A.3 단계 3 - 실제 학생 수는 $39$ 인데 우리는 $46$ 을 얻었어요.
- 그 차이 $46 - 39 = 7$ 만큼이 "둘 다" 학생을 한 번 더 세어서 생긴 잉여입니다.
- 따라서 겹친 부분에는 $7$ 명이 있습니다.
💡 "중복 세기에서 진짜 합을 빼면 겹친 양이 나온다" — 4학년 "네 가지 연산을 활용한 여러 단계 문제" 의 핵심 사용법이에요.
4.OA.A.3 단계 4 보기에서 $7$ 을 찾으면 (A) 입니다.
💡 계산이 끝나면 항상 선택지에서 답 글자를 확인하는 습관 — 마킹 실수를 줄여 줍니다.
2.MD.D.10 두 원을 겹쳐 그립니다. 한 원은 개를 키우는 학생($20$ 명), 다른 한 원은 고양이를 키우는 학생($26$ 명). 두 원을 합친 영역이 전 2.NBT.B.5 개의 수와 고양이의 수를 그냥 더해 봅시다. 이 합은 적어도 한 동물을 키우는 학생을 모두 세긴 하지만, 둘 다 키우는 학생은 두 원 모두에서 4.OA.A.3 실제 학생 수는 $39$ 인데 우리는 $46$ 을 얻었어요. 그 차이 $46 - 39 = 7$ 만큼이 "둘 다" 학생을 한 번 더 세어서 생긴 4.OA.A.3 보기에서 $7$ 을 찾으면 (A) 입니다. 검토
합리성 확인: 답 $7$ 을 다시 끼워 넣어 봅시다. 둘 다 키우는 학생이 $7$ 명이면 개만 키우는 학생은 $20 - 7 = 13$, 고양이만 키우는 학생은 $26 - 7 = 19$. 겹치지 않는 세 영역을 모두 더하면 $13 + 19 + 7 = 39$ — 정확히 학급 전체와 일치합니다. 또한 겹친 학생 수는 더 작은 원($20$)을 넘을 수 없고, $20 + 26 = 46$ 이 전체 $39$ 보다 $7$ 만큼 크니까 답은 $7$ 로 강제됩니다.
대안 접근: 도구 #4(변수 도입하기)로 대수적으로도 풀 수 있어요. 둘 다 키우는 학생 수를 $x$ 라 하면 개만 키우는 학생은 $20 - x$, 고양이만 키우는 학생은 $26 - x$. 세 영역을 더하면 $(20 - x) + (26 - x) + x = 39$, 정리하면 $46 - x = 39$, 즉 $x = 7$. 이게 바로 포함-배제 원리(Principle of Inclusion-Exclusion)의 식 버전이지만, 벤 다이어그램만 있어도 대수 없이 그 자리에서 보입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
2.MD.D.10자료를 나타내는 그림 그래프와 막대 그래프 그리기 ($39$ 명의 학생을 개만 / 고양이만 / 둘 다 세 영역으로 분류하기 위해 두 원을 겹친 벤 다이어그램을 그리는 데 사용.)2.NBT.B.5$100$ 이내의 수 능숙하게 더하고 빼기 ($20 + 26 = 46$ 과 $46 - 39 = 7$ — 두 자리 덧셈·뺄셈이라 2학년 능숙도면 충분합니다.)4.OA.A.3네 가지 연산을 활용한 여러 단계의 문장제 풀기 ("중복 세기 $46$ 과 실제 합 $39$ 의 차이가 곧 겹친 학생 수" 라는 다단계 추론을 식으로 옮겨 답을 구하는 데 사용.)
⭐ 두 그룹을 그냥 더하면 양쪽에 모두 속한 사람은 두 번 세어집니다 — $20 + 26$ 과 진짜 학생 수 $39$ 의 차이가 곧 겹친 학생 수예요. 이 AMC 8 문제가 묻는 건 딱 그것입니다.
⭐ 두 그룹을 그냥 더하면 양쪽에 모두 속한 사람은 두 번 세어집니다 — $20 + 26$ 과 진짜 학생 수 $39$ 의 차이가 곧 겹친 학생 수예요. 이 AMC 8 문제가 묻는 건 딱 그것입니다.
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