AMC 8 · 2009 · #24
쉬운 모드 학년 4문제
문자 , , , 는 각각 한 자리 숫자(부터 까지)를 나타냅니다. 서로 다른 문자가 같은 숫자를 나타낼 수도, 다른 숫자를 나타낼 수도 있어요.
이 문자들을 숫자처럼 써서 만든 세로 덧셈과 세로 뺄셈을 떠올려 봅시다:
\begin{tabular}{ccc}&A&B\\ +&C&A\\ \hline &D&A\end{tabular} 와 \begin{tabular}{ccc}&A&B\\ -&C&A\\ \hline &&A\end{tabular}
첫 번째는 덧셈입니다. 두 자리 수 와 두 자리 수 를 더하면 두 자리 수 가 됩니다. 두 번째는 뺄셈입니다. 에서 를 빼면 한 자리 수 가 됩니다.
이 두 식이 동시에 모두 성립해야 합니다. 이때 는 어떤 숫자일까요?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 네 개의 숫자 $A$, $B$, $C$, $D$ 가 두 가지 복면산을 동시에 만족합니다. 두 자리 수 $\overline{AB} + \overline{CA}$ 의 합은 두 자리 수 $\overline{DA}$ 이고, 차 $\overline{AB} - \overline{CA}$ 는 한 자리 수 $A$(즉, 차의 십의 자리는 $0$)입니다. $D$ 가 나타내는 숫자를 구하세요.
주어진 것: $\overline{AB} + \overline{CA} = \overline{DA}$ (세로식, 십의 자리 위로 추가 받아올림 없음); $\overline{AB} - \overline{CA} = A$ (한 자리 수, 즉 차의 십의 자리가 $0$); $A$, $B$, $C$, $D$ 는 $0$–$9$ 의 숫자; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$
구하는 것: $D$ 가 나타내는 숫자
이해
문제 재정리: 네 개의 숫자 $A$, $B$, $C$, $D$ 가 두 가지 복면산을 동시에 만족합니다. 두 자리 수 $\overline{AB} + \overline{CA}$ 의 합은 두 자리 수 $\overline{DA}$ 이고, 차 $\overline{AB} - \overline{CA}$ 는 한 자리 수 $A$(즉, 차의 십의 자리는 $0$)입니다. $D$ 가 나타내는 숫자를 구하세요.
주어진 것: $\overline{AB} + \overline{CA} = \overline{DA}$ (세로식, 십의 자리 위로 추가 받아올림 없음); $\overline{AB} - \overline{CA} = A$ (한 자리 수, 즉 차의 십의 자리가 $0$); $A$, $B$, $C$, $D$ 는 $0$–$9$ 의 숫자; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$
계획
주요 도구: #3 식 세우기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
복면산은 본질적으로 자릿값 퍼즐입니다. 도구 #3(식 세우기) 은 덧셈·뺄셈의 각 자리(일의 자리, 십의 자리)를 받아올림·받아내림까지 포함한 작은 방정식으로 옮겨 줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 네 미지수를 한꺼번에 추측하지 말고 일의 자리부터 차례대로 — 먼저 $B$, 그다음 $A$, $C$, 마지막으로 $D$ — 한 자리씩 결정하라고 알려 줍니다.
실행 — 정답: E
4.NBT.B.4 단계 1 - 덧셈의 일의 자리를 봅니다: $B + A$ 의 일의 자리가 $A$ 이므로 $B + A \equiv A \pmod{10}$, 따라서 $B \equiv 0 \pmod{10}$.
- $B$ 가 한 자리 숫자이므로 $B = 0$ 이고 십의 자리로 받아올림은 없습니다.
💡 $A$ 에 무엇을 더해도 일의 자리가 그대로 $A$ 라면, 더한 것은 $0$ 뿐이라는 4학년 자릿값 덧셈의 직관입니다.
4.NBT.B.4 단계 2 - 이번엔 뺄셈의 일의 자리: $B - A$ 의 일의 자리가 $A$.
- $B = 0$ 을 넣으면 $0 - A \equiv A \pmod{10}$ 이 되는데, $A \neq 0$ 이므로 십의 자리에서 $10$ 을 받아내려야 합니다.
- 그러면 식이 $10 - A = A$ 가 되고, $A = 5$ 가 나옵니다.
💡 세로 뺄셈의 받아내림은 4학년 표준 알고리즘 그대로 — "$0 - A = A$" 라는 불가능한 식을 받아내림으로 "$10 - A = A$" 로 바꿔 풀 수 있게 만듭니다.
4.NBT.B.4 단계 3 - 뺄셈의 십의 자리를 봅니다.
- 받아내림 때문에 십의 자리에서 $1$ 이 빠져 $(A - 1) - C = 0$.
- $A = 5$ 이므로 $C = A - 1 = 4$ 입니다.
💡 도구 #7: 일의 자리가 풀린 뒤에는 십의 자리가 미지수 하나짜리 독립된 작은 문제가 됩니다.
4.NBT.B.4 단계 4 - 마지막으로 덧셈의 십의 자리를 사용합니다.
- 일의 자리에서 받아올림이 없었으므로($B + A = 0 + 5 = 5 < 10$) $A + C = D$.
- $A = 5$, $C = 4$ 를 대입하면 $D = 9$ 입니다.
💡 $A$ 와 $C$ 가 정해진 뒤에는 덧셈 십의 자리에서 $D$ 가 바로 읽힙니다.
4.NBT.B.4 덧셈의 일의 자리를 봅니다: $B + A$ 의 일의 자리가 $A$ 이므로 $B + A \equiv A \pmod{10}$, 따라서 $B \equ 4.NBT.B.4 이번엔 뺄셈의 일의 자리: $B - A$ 의 일의 자리가 $A$. $B = 0$ 을 넣으면 $0 - A \equiv A \pmod{10}$ 이 4.NBT.B.4 뺄셈의 십의 자리를 봅니다. 받아내림 때문에 십의 자리에서 $1$ 이 빠져 $(A - 1) - C = 0$. $A = 5$ 이므로 $C = A 4.NBT.B.4 마지막으로 덧셈의 십의 자리를 사용합니다. 일의 자리에서 받아올림이 없었으므로($B + A = 0 + 5 = 5 < 10$) $A + C = D 검토
합리성 확인: 구한 값을 그대로 대입: $A = 5$, $B = 0$, $C = 4$, $D = 9$ 이므로 $\overline{AB} = 50$, $\overline{CA} = 45$. 합은 $50 + 45 = 95 = \overline{DA}$ (십의 자리 $D = 9$, 일의 자리 $A = 5$) 로 맞고, 차는 $50 - 45 = 5 = A$ 로 한 자리(십의 자리 $0$) 가 됩니다. 두 복면산 모두 성립합니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 접근: $\overline{AB} - \overline{CA}$ 가 한 자리이므로 두 수의 차는 $10$ 미만, 즉 두 두 자리 수가 매우 가깝습니다. $A = 5$ 로 두면 $\overline{AB} = 50$, $\overline{CA} = 45$ 의 차가 $5 = A$ 로 딱 들어맞고, 합은 $95$ 이므로 $D = 9$ 가 됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.NBT.B.4표준 알고리즘으로 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈을 능숙하게 수행 (덧셈·뺄셈의 각 자리(받아올림·받아내림 포함)를 미지수에 대한 작은 방정식으로 옮기고, 자리별로 차례대로 풀어 $B = 0$, $A = 5$, $C = 4$, $D = 9$ 를 결정.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 4학년 때 배운 세로 덧셈·뺄셈 표준 알고리즘만으로 풀려요 — 각 자리를 차근차근 읽으면 숫자들이 하나씩 떨어집니다.
⭐ 이 AMC 8 문제는 4학년 때 배운 세로 덧셈·뺄셈 표준 알고리즘만으로 풀려요 — 각 자리를 차근차근 읽으면 숫자들이 하나씩 떨어집니다.