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AMC 8 · 2010 · #10

쉬운 모드 학년 7
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문제

지름이 1212 인치인 둥근 피자를 떠올려봅시다.

페퍼로니 원들을 피자의 한가운데를 가로질러 서로 맞붙여서 한 줄로 늘어놓는다고 생각해보세요. 그러면 페퍼로니 66개가 지름을 따라 딱 맞게 들어갑니다.

이제 이 페퍼로니 2424개를 피자 위에 서로 겹치지 않게 올려놓아요.

페퍼로니가 덮은 부분은 피자 전체의 몇 분의 몇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac 12$
(B)
$\frac 23$
(C)
$\frac 34$
(D)
$\frac 56$
(E)
$\frac 78$
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 지름이 $12$ 인치인 원 모양 피자가 있습니다. 크기가 모두 같은 페퍼로니 $6$ 개가 그 지름을 따라 가장자리끼리 맞붙어 정확히 한 줄로 들어맞습니다. 같은 페퍼로니 $24$ 개를 피자 위에 서로 겹치지 않게 놓았을 때, 페퍼로니가 덮은 부분은 피자 전체 넓이의 몇 분의 몇일까요?

주어진 것: 피자의 지름 $= 12$ 인치, 따라서 반지름 $= 6$ 인치; 페퍼로니 $6$ 개가 지름을 따라 가장자리끼리 맞붙어 한 줄로 들어맞음; 피자 위에 같은 페퍼로니 $24$ 개를 겹치지 않게 놓음; 선택지: (A) $\tfrac{1}{2}$, (B) $\tfrac{2}{3}$, (C) $\tfrac{3}{4}$, (D) $\tfrac{5}{6}$, (E) $\tfrac{7}{8}$

구하는 것: $\dfrac{\text{페퍼로니 전체 넓이}}{\text{피자 전체 넓이}}$

이해

문제 재정리: 지름이 $12$ 인치인 원 모양 피자가 있습니다. 크기가 모두 같은 페퍼로니 $6$ 개가 그 지름을 따라 가장자리끼리 맞붙어 정확히 한 줄로 들어맞습니다. 같은 페퍼로니 $24$ 개를 피자 위에 서로 겹치지 않게 놓았을 때, 페퍼로니가 덮은 부분은 피자 전체 넓이의 몇 분의 몇일까요?

주어진 것: 피자의 지름 $= 12$ 인치, 따라서 반지름 $= 6$ 인치; 페퍼로니 $6$ 개가 지름을 따라 가장자리끼리 맞붙어 한 줄로 들어맞음; 피자 위에 같은 페퍼로니 $24$ 개를 겹치지 않게 놓음; 선택지: (A) $\tfrac{1}{2}$, (B) $\tfrac{2}{3}$, (C) $\tfrac{3}{4}$, (D) $\tfrac{5}{6}$, (E) $\tfrac{7}{8}$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #11 대칭·구조 찾기

도구 #1(그림 그리기)로 문장을 그림으로 바꿉니다 — 큰 원(피자) 안에 작은 원 $6$ 개가 지름을 따라 줄지어 있는 그림. 이 그림 한 장이면 페퍼로니 한 개의 지름이 곧 $12 \div 6$ 임을 바로 알 수 있습니다. 마무리는 도구 #11(대칭·구조 찾기) 의 몫입니다 — 피자 넓이와 페퍼로니 전체 넓이 모두 $\pi$ 의 배수이기 때문에 $\pi$ 가 약분되고, 남는 건 깔끔한 정수 비율뿐입니다. 식을 세울 필요가 없습니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 4.OA.A.2 단계 1
  • 그림을 그립니다.
  • 피자는 지름 $12$ 인치인 원이고, 페퍼로니 $6$ 개가 그 지름을 따라 가장자리끼리 맞붙어 늘어서 있습니다.
  • 페퍼로니 $6$ 개의 지름의 합이 $12$ 인치이므로 페퍼로니 한 개의 지름은 $12 \div 6 = 2$ 인치, 반지름은 $1$ 인치입니다.
$$\text{페퍼로니 지름} = \dfrac{12}{6} = 2 \text{ 인치} \;\Rightarrow\; r_{\text{페퍼}} = 1 \text{ 인치}$$

💡 $12$ 인치를 $6$ 개로 똑같이 나눠 하나의 몫을 구하는 것은 4학년 "한 몫의 크기 구하기" 나눗셈입니다.

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 2
  • 피자의 넓이를 구합니다.
  • 피자의 반지름이 $6$ 인치이므로 넓이는 $\pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$ 제곱인치입니다.
$$A_{\text{피자}} = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \text{ 제곱인치}$$

💡 반지름을 $A = \pi r^2$ 에 그대로 대입하는 것은 7학년 "원의 넓이 공식" 표준입니다.

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 3
  • 페퍼로니 한 개의 넓이를 구한 뒤 $24$ 를 곱합니다.
  • 페퍼로니 한 개의 반지름은 $1$ 인치이므로 넓이는 $\pi \cdot 1^2 = \pi$ 이고, 겹치지 않는 페퍼로니 $24$ 개의 총 넓이는 $24\pi$ 제곱인치입니다.
$$A_{\text{페퍼,합}} = 24 \cdot \pi \cdot 1^2 = 24\pi \text{ 제곱인치}$$

💡 같은 원의 넓이 공식을 개수만큼 더한 것 — "겹치지 않는다" 는 조건 덕분에 단순히 합할 수 있습니다.

#11 대칭·구조 찾기 6.RP.A.1 단계 4
  • 비율을 만듭니다.
  • 덮인 비율은 $\dfrac{24\pi}{36\pi}$ 입니다.
  • 분자·분모의 $\pi$ 가 약분되는 것이 바로 도구 #11 이 노린 구조 — 남는 것은 정수 비율뿐입니다.
$$\dfrac{A_{\text{페퍼,합}}}{A_{\text{피자}}} = \dfrac{24\pi}{36\pi} = \dfrac{24}{36}$$

💡 분자·분모에 공통 인수($\pi$) 가 있으면 약분된다는 인식은 6학년 비율 추론의 기본 동작입니다.

#11 대칭·구조 찾기 4.NF.A.1 단계 5
  • 분수를 약분합니다.
  • $24$ 와 $36$ 은 모두 $12$ 로 나누어떨어지므로 $\tfrac{2}{3}$ 이 됩니다.
$$\dfrac{24}{36} = \dfrac{24 \div 12}{36 \div 12} = \dfrac{2}{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 공통 인수로 분수를 줄이는 것은 4학년 동치분수 표준입니다.

[1] #1 4.OA.A.2 그림을 그립니다. 피자는 지름 $12$ 인치인 원이고, 페퍼로니 $6$ 개가 그 지름을 따라 가장자리끼리 맞붙어 늘어서 있습니다. 페퍼로니 $6
[2] #1 7.G.B.4 피자의 넓이를 구합니다. 피자의 반지름이 $6$ 인치이므로 넓이는 $\pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$ 제곱인치입니다.
[3] #1 7.G.B.4 페퍼로니 한 개의 넓이를 구한 뒤 $24$ 를 곱합니다. 페퍼로니 한 개의 반지름은 $1$ 인치이므로 넓이는 $\pi \cdot 1^2 = \p
[4] #11 6.RP.A.1 비율을 만듭니다. 덮인 비율은 $\dfrac{24\pi}{36\pi}$ 입니다. 분자·분모의 $\pi$ 가 약분되는 것이 바로 도구 #11 이
[5] #11 4.NF.A.1 분수를 약분합니다. $24$ 와 $36$ 은 모두 $12$ 로 나누어떨어지므로 $\tfrac{2}{3}$ 이 됩니다.

검토

합리성 확인: 원 안에 원들을 빈틈없이 채우는 것은 원리상 불가능하므로 덮인 비율은 반드시 $1$ 보다 작아야 합니다. 또, 페퍼로니 한 개의 반지름은 피자 반지름의 $\tfrac{1}{6}$ 배이므로 넓이는 $\left(\tfrac{1}{6}\right)^2 = \tfrac{1}{36}$ 배입니다. $24$ 개면 $\tfrac{24}{36} = \tfrac{2}{3}$ — 같은 답입니다. $\tfrac{2}{3}$ 은 다른 선택지들 사이에 자연스럽게 자리 잡고, 더 큰 값 $\tfrac{3}{4}, \tfrac{5}{6}, \tfrac{7}{8}$ 은 비현실적임을 함께 배제해 줍니다.

대안 접근: 도구 #8(단위 살펴보기) — 단위를 "페퍼로니 반지름" 으로 잡는 비율 풀이. 피자의 반지름은 페퍼로니 반지름의 $6$ 배이므로 피자 넓이는 $6^2 = 36$ "페퍼로니 한 개 넓이" 단위입니다. 페퍼로니는 $24$ 개, 각각 $1$ 단위이므로 비율은 $\tfrac{24}{36} = \tfrac{2}{3}$. 단위를 잘 고르면 $\pi$ 가 식에 아예 나타나지도 않습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

  • 4.OA.A.2 곱셈·나눗셈으로 곱셈적 비교 문장제 해결 ($12$ 인치 지름을 페퍼로니 $6$ 개로 똑같이 나눠 페퍼로니 한 개의 지름 $= 2$ 인치를 구하는 데 사용.)
  • 4.NF.A.1 동치분수의 원리 설명 및 동치분수 생성 (분자·분모를 공통 인수 $12$ 로 나눠 $\tfrac{24}{36}$ 을 $\tfrac{2}{3}$ 로 약분하는 데 사용.)
  • 6.RP.A.1 비(ratio) 의 개념을 이해하고 비를 나타내는 언어 사용 (덮인 부분의 비율을 $\tfrac{\text{페퍼로니 넓이}}{\text{피자 넓이}}$ 로 세우고 공통 인수 $\pi$ 를 약분하는 데 사용.)
  • 7.G.B.4 원의 넓이·둘레 공식을 알고 문제 해결에 활용 ($A = \pi r^2$ 으로 피자 넓이($36\pi$) 와 페퍼로니 한 개의 넓이($\pi$) 를 계산.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 7학년 때 배우는 원의 넓이 공식 $A = \pi r^2$ 만 알면 풀 수 있어요 — 그것도 $\pi$ 가 약분되어 깔끔한 분수만 남습니다!

⭐ 이 AMC 8 문제는 7학년 때 배우는 원의 넓이 공식 $A = \pi r^2$ 만 알면 풀 수 있어요 — 그것도 $\pi$ 가 약분되어 깔끔한 분수만 남습니다!

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