AMC 8 · 2011 · #2
쉬운 모드 학년 4문제
칼은 직사각형 모양의 채소밭을 가지고 있어요. 한 변은 피트, 다른 한 변은 피트입니다.
매케나의 채소밭도 직사각형이에요. 한 변은 피트, 다른 한 변은 피트입니다.
두 사람의 밭 중 어느 쪽이 더 넓고, 얼마나 더 넓을까요?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 칼의 직사각형 채소밭은 $20$ 피트 $\times$ $45$ 피트입니다. 매케나의 채소밭은 $25$ 피트 $\times$ $40$ 피트입니다. 두 밭 중 어느 쪽이 더 넓고, 몇 제곱피트만큼 더 넓을까요?
주어진 것: 칼의 밭은 $20 \text{ 피트} \times 45 \text{ 피트}$ 직사각형; 매케나의 밭은 $25 \text{ 피트} \times 40 \text{ 피트}$ 직사각형; 선택지는 누구의 밭이 몇 제곱피트만큼 더 넓은지 비교
구하는 것: 둘 중 넓이가 더 큰 사람; 두 넓이의 차(제곱피트 단위)
이해
문제 재정리: 칼의 직사각형 채소밭은 $20$ 피트 $\times$ $45$ 피트입니다. 매케나의 채소밭은 $25$ 피트 $\times$ $40$ 피트입니다. 두 밭 중 어느 쪽이 더 넓고, 몇 제곱피트만큼 더 넓을까요?
주어진 것: 칼의 밭은 $20 \text{ 피트} \times 45 \text{ 피트}$ 직사각형; 매케나의 밭은 $25 \text{ 피트} \times 40 \text{ 피트}$ 직사각형; 선택지는 누구의 밭이 몇 제곱피트만큼 더 넓은지 비교
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #8 단위 살펴보기
문장 하나에 "칼의 넓이 구하기", "매케나의 넓이 구하기", "비교하기" 세 가지 작은 문제가 묶여 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 직사각형의 넓이를 각각 구한 뒤 빼면 됩니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 $\text{피트} \times \text{피트} = \text{피트}^2$ 가 그대로 답의 단위 "제곱피트" 와 맞아떨어진다는 점을 확인해 줘서 따로 단위 변환할 일이 없게 해 줍니다.
실행 — 정답: E
3.MD.C.7 단계 1 - 직사각형 넓이 공식 $A = \text{가로} \times \text{세로}$ 로 칼의 넓이를 구합니다.
- 계산 팁: $20 \times 45 = 2 \times 45 \times 10 = 90 \times 10$.
💡 변 두 개를 곱해서 넓이를 구하는 것은 3학년 직사각형 넓이 표준입니다.
3.MD.C.7 단계 2 - 같은 공식을 매케나의 밭에도 적용합니다.
- 계산 팁: $25 \times 40 = 25 \times 4 \times 10 = 100 \times 10$.
💡 같은 넓이 공식을 매케나의 직사각형에 끼워 넣은, 도구 #7의 두 번째 작은 문제입니다.
4.NBT.A.2 단계 3 - 두 넓이를 비교합니다.
- $1000 > 900$ 이므로 매케나의 밭이 더 넓습니다.
💡 여러 자릿수의 자연수를 비교하는 것은 4학년 자릿값 기술입니다.
4.NBT.B.4 단계 4 - 차이를 빼서 매케나의 밭이 얼마나 더 넓은지 구합니다.
- 단위는 끝까지 제곱피트로 유지됩니다.
💡 단위 "제곱피트" 를 그대로 끌고 가는 자연수 뺄셈 — 4학년 표준 알고리즘입니다.
3.MD.C.7 직사각형 넓이 공식 $A = \text{가로} \times \text{세로}$ 로 칼의 넓이를 구합니다. 계산 팁: $20 \times 45 = 3.MD.C.7 같은 공식을 매케나의 밭에도 적용합니다. 계산 팁: $25 \times 40 = 25 \times 4 \times 10 = 100 \times 4.NBT.A.2 두 넓이를 비교합니다. $1000 > 900$ 이므로 매케나의 밭이 더 넓습니다. 4.NBT.B.4 차이를 빼서 매케나의 밭이 얼마나 더 넓은지 구합니다. 단위는 끝까지 제곱피트로 유지됩니다. 검토
합리성 확인: 두 밭의 둘레는 칼이 $2(20+45) = 130$ 피트, 매케나가 $2(25+40) = 130$ 피트로 같습니다. 둘레가 같을 때 직사각형은 정사각형에 가까울수록 넓이가 커집니다. 매케나의 $25 \times 40$ 이 칼의 $20 \times 45$ 보다 정사각형에 더 가까우니, 매케나의 넓이가 더 크게 나오는 것이 자연스럽습니다. 차이 $100 \text{ 피트}^2$ 도 $1000 \text{ 피트}^2$ 규모에 비해 작은 값이라 선택지 크기와도 잘 맞습니다.
대안 접근: 도구 #14(만약에 — 둘레 $130$ 피트가 정사각형이라면?)로 보면 한 변이 $32.5$ 피트인 정사각형의 넓이는 $1056.25 \text{ 피트}^2$ 로 이론상 최댓값입니다. 두 밭의 넓이 차는 "두 제곱의 차" 공식으로 깔끔하게 떨어집니다: $25 \times 40 - 20 \times 45 = (32.5^2 - 7.5^2) - (32.5^2 - 12.5^2) = 12.5^2 - 7.5^2 = 156.25 - 56.25 = 100$. 곱셈을 따로 하지 않고도 같은 답 (E) 가 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.MD.C.7넓이를 곱셈과 연결하고 직사각형의 넓이 구하기 (두 밭의 넓이를 가로 $\times$ 세로로 계산: $20 \times 45 = 900$, $25 \times 40 = 1000$ 제곱피트.)4.NBT.A.2여러 자릿수의 자연수 읽기, 쓰기, 비교 ($1000$ 과 $900$ 을 비교해 누구의 밭이 더 넓은지 판단.)4.NBT.B.4표준 알고리즘을 이용한 여러 자릿수 자연수의 능숙한 덧셈·뺄셈 ($1000 - 900 = 100$ 을 계산해 매케나의 밭이 얼마나 더 넓은지 구함.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 3학년 "넓이 $=$ 가로 $\times$ 세로" 와 4학년 뺄셈만 있으면 풀 수 있어요 — 각각의 넓이를 구한 뒤 차를 내면 끝!
⭐ 이 AMC 8 문제는 3학년 "넓이 $=$ 가로 $\times$ 세로" 와 4학년 뺄셈만 있으면 풀 수 있어요 — 각각의 넓이를 구한 뒤 차를 내면 끝!
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