AMC 8 · 2013 · #19
쉬운 모드 학년 6문제
브리짓, 캐시, 한나가 방금 수학 시험지를 돌려받았어요. 세 사람의 점수는 모두 달라요.
한나는 자기 점수를 브리짓과 캐시에게 보여줍니다. 하지만 브리짓과 캐시는 각자 자기 점수를 누구에게도 보여주지 않아요.
그러고 나서 두 사람이 이렇게 말합니다:
- 캐시: "나는 우리 반에서 최저점을 받지 않았어."
- 브리짓: "나는 최고점을 받지 않았어."
각 말은 참이고, 자기가 아는 정보만으로 확실히 알 수 있어서 말한 거예요.
세 사람의 점수를 높은 순서부터 낮은 순서로 나열하면 어떻게 될까요?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한나(Hannah), 브리짓(Bridget), 캐시(Cassie)가 시험을 봤습니다. 한나는 자기 점수를 두 친구에게 보여 줬지만, 브리짓과 캐시는 자기 점수를 누구에게도 보여 주지 않았습니다. 이때 캐시가 "나는 최저점이 아니야" 라고 말하고, 브리짓이 "나는 최고점이 아니야" 라고 말합니다. 각 진술은 말하는 사람이 *실제로 볼 수 있는 정보만으로* 확신할 수 있는 것이어야 합니다. 세 사람의 점수를 높은 순서부터 낮은 순서로 나열하세요.
주어진 것: 캐시와 브리짓은 각각 한나의 점수 $H$ 를 본다; 캐시는 브리짓의 점수 $B$ 를 모르고, 브리짓은 캐시의 점수 $C$ 를 모른다; 캐시의 확신: 자기 점수가 셋 중 최저는 아니다; 브리짓의 확신: 자기 점수가 셋 중 최고는 아니다; 선택지: (A) Hannah, Cassie, Bridget; (B) Hannah, Bridget, Cassie; (C) Cassie, Bridget, Hannah; (D) Cassie, Hannah, Bridget; (E) Bridget, Cassie, Hannah
구하는 것: 높은 점수부터 낮은 점수까지의 순위
이해
문제 재정리: 한나(Hannah), 브리짓(Bridget), 캐시(Cassie)가 시험을 봤습니다. 한나는 자기 점수를 두 친구에게 보여 줬지만, 브리짓과 캐시는 자기 점수를 누구에게도 보여 주지 않았습니다. 이때 캐시가 "나는 최저점이 아니야" 라고 말하고, 브리짓이 "나는 최고점이 아니야" 라고 말합니다. 각 진술은 말하는 사람이 *실제로 볼 수 있는 정보만으로* 확신할 수 있는 것이어야 합니다. 세 사람의 점수를 높은 순서부터 낮은 순서로 나열하세요.
주어진 것: 캐시와 브리짓은 각각 한나의 점수 $H$ 를 본다; 캐시는 브리짓의 점수 $B$ 를 모르고, 브리짓은 캐시의 점수 $C$ 를 모른다; 캐시의 확신: 자기 점수가 셋 중 최저는 아니다; 브리짓의 확신: 자기 점수가 셋 중 최고는 아니다; 선택지: (A) Hannah, Cassie, Bridget; (B) Hannah, Bridget, Cassie; (C) Cassie, Bridget, Hannah; (D) Cassie, Hannah, Bridget; (E) Bridget, Cassie, Hannah
계획
주요 도구: #3 가능성 지우기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
각 친구의 진술은 자기가 실제로 볼 수 있는 *두 명짜리 쌍* 에만 직접 정보를 줍니다 — 캐시는 $(C, H)$, 브리짓은 $(B, H)$. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 셋이 한꺼번에 얽힌 문제를 두 개의 "두 명 비교" 부분 문제로 갈라 풀고, 각 부분 문제에서는 도구 #3(가능성 지우기)으로 보이는 쌍의 두 가지 가능한 순서 중 "화자가 확신할 수 없는 쪽" 을 제거합니다. 살아남은 두 부등식이 한나를 공유 항으로 두고 있으므로, 둘을 이어 붙이면 세 명 전체의 순서가 자연스럽게 나옵니다 — 대수(도구 #13)는 전혀 필요 없습니다.
실행 — 정답: D
4.OA.A.3 단계 1 - 부분 문제 1: 캐시의 진술은 $C$ 와 $H$ 의 대소에 대해 무엇을 알려 줄까요?
- 캐시가 자기 점수 외에 볼 수 있는 점수는 한나의 점수뿐입니다.
- 만약 $C < H$ 라면, 캐시는 모르는 브리짓의 점수가 둘보다 더 높을 수도 있고 그러면 캐시가 최저가 되어 버립니다.
- 즉 캐시가 최저가 아니라고 *확신* 할 수 없습니다.
- 따라서 $C < H$ 는 제외됩니다.
💡 $C < H$ 와 $C > H$ 두 경우 중, 브리짓의 점수가 무엇이든 캐시 아래에 적어도 한 명(한나)이 있는 쪽은 $C > H$ 뿐입니다.
4.OA.A.3 단계 2 - 부분 문제 2: 브리짓의 진술은 $B$ 와 $H$ 의 대소에 대해 무엇을 알려 줄까요?
- 브리짓이 자기 점수 외에 볼 수 있는 점수는 한나의 점수뿐입니다.
- 만약 $B > H$ 라면, 브리짓은 모르는 캐시의 점수가 둘보다 더 낮을 수도 있고 그러면 브리짓이 최고가 되어 버립니다.
- 즉 브리짓이 최고가 아니라고 *확신* 할 수 없습니다.
- 따라서 $B > H$ 는 제외됩니다.
💡 $B > H$ 와 $B < H$ 두 경우 중, 캐시의 점수가 무엇이든 브리짓 위에 적어도 한 명(한나)이 있는 쪽은 $B < H$ 뿐입니다.
6.EE.B.8 단계 3 - 살아남은 두 부등식을 한나를 통해 잇습니다.
- 1단계에서 $C > H$, 2단계에서 $B < H$ 즉 $H > B$.
- 둘을 연결하면 $C > H > B$.
💡 두 부분 문제가 한나를 공통으로 끼고 있어서, 한나의 점수가 두 조각을 하나의 완전한 순서로 묶어 주는 경첩 역할을 합니다.
6.EE.B.8 단계 4 - 순위를 읽어 냅니다.
- 높은 점수부터 낮은 점수까지는 캐시, 한나, 브리짓 — 선택지 $\textbf{(D)}$.
💡 $C > H > B$ 라는 사슬을 다섯 선택지에 맞춰 보면 (D) 만 살아남습니다 — 나머지 네 개는 적어도 한 부등식을 위반합니다.
4.OA.A.3 부분 문제 1: 캐시의 진술은 $C$ 와 $H$ 의 대소에 대해 무엇을 알려 줄까요? 캐시가 자기 점수 외에 볼 수 있는 점수는 한나의 점수뿐입 4.OA.A.3 부분 문제 2: 브리짓의 진술은 $B$ 와 $H$ 의 대소에 대해 무엇을 알려 줄까요? 브리짓이 자기 점수 외에 볼 수 있는 점수는 한나의 점수 6.EE.B.8 살아남은 두 부등식을 한나를 통해 잇습니다. 1단계에서 $C > H$, 2단계에서 $B < H$ 즉 $H > B$. 둘을 연결하면 $C > H 6.EE.B.8 순위를 읽어 냅니다. 높은 점수부터 낮은 점수까지는 캐시, 한나, 브리짓 — 선택지 $\textbf{(D)}$. 검토
합리성 확인: 구체적인 숫자로 검산해 봅시다. $C = 95$, $H = 85$, $B = 70$ 이라고 하면, 캐시는 $C = 95$ 와 $H = 85$ 를 보고 있고 브리짓이 설령 $100$ 을 받았더라도 자기는 여전히 한나보다 높으니 최저가 아니라는 진술은 확실히 참입니다. 브리짓은 $B = 70$ 과 $H = 85$ 를 보고 있고 캐시가 설령 $0$ 을 받았더라도 자기는 한나보다 낮으니 최고가 아니라는 진술은 확실히 참입니다. 반대로 $H > C$ 라고 두면 캐시는 "브리짓이 최고고 내가 최저" 인 경우를 배제할 수 없어 확신이 깨지고, $B > H$ 라고 두면 브리짓도 같은 이유로 확신이 깨집니다. 따라서 (D) 만 유일하게 성립합니다.
대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 선택지 다섯 개에 두 부등식 $C > H$ 와 $H > B$ 를 필터로 직접 적용해 봅시다. (A) Hannah, Cassie, Bridget 은 $H > C$ — 캐시의 추론 위반. (B) Hannah, Bridget, Cassie 도 $H > C$ — 위반. (C) Cassie, Bridget, Hannah 는 $B > H$ — 브리짓의 추론 위반. (E) Bridget, Cassie, Hannah 도 $B > H$ — 위반. 두 필터를 모두 통과하는 선택지는 (D) Cassie, Hannah, Bridget 하나뿐입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.A.3사칙연산과 추론을 이용한 다단계 문장제 해결 (각 친구의 진술을 경우 분석으로 따져 봄 — 그녀가 볼 수 있는 두 점수의 두 가지 가능한 순서 중, "확신" 이 깨지는 쪽을 제거하는 추론.)6.EE.B.8조건이나 제약을 나타내는 부등식 쓰기·해석하기 ("최저가 아니다", "최고가 아니다" 를 각각 $C > H$, $H > B$ 부등식으로 옮긴 뒤, 공통 항 $H$ 를 통해 $C > H > B$ 로 이어 붙이는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 퍼즐은 가운데 항을 공유하는 두 부등식($C > H$ 와 $H > B$)을 하나로 이어 붙여 $C > H > B$ 를 만드는 6학년 부등식 추론만 알면 풀 수 있어요 — 대수는 전혀 필요 없습니다!
⭐ 이 AMC 8 퍼즐은 가운데 항을 공유하는 두 부등식($C > H$ 와 $H > B$)을 하나로 이어 붙여 $C > H > B$ 를 만드는 6학년 부등식 추론만 알면 풀 수 있어요 — 대수는 전혀 필요 없습니다!