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AMC 8 · 2014 · #8

쉬운 모드 학년 5
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문제

수학 동아리에 회원이 1111명 있습니다. 회원들은 강연자에게 똑같은 금액씩 돈을 냈어요.

회원들이 낸 돈을 모두 더했더니 33자리 수가 되었습니다. 그 총액은 \textdollar1‾A‾2‾\textdollar\underline{1}\underline{A}\underline{2} 모양이에요. 백의 자리는 11, 일의 자리는 22, 그리고 십의 자리에는 모르는 숫자 AA가 들어 있습니다.

1111명이 똑같은 금액을 냈으니까 총액은 1111로 똑떨어지게 나누어져야 합니다.

AA 자리에 들어갈 숫자는 무엇일까요?

(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(E) 4\textbf{(A) }0\qquad\textbf{(B) }1\qquad\textbf{(C) }2\qquad\textbf{(D) }3\qquad \textbf{(E) }4

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
3
(E)
4
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 수학 동아리 회원 $11$ 명이 초청 강연자에게 각자 같은 금액(달러 단위 정수)을 내서 총 $\$\overline{1A2}$ 를 지불했습니다. 여기서 $A$ 는 한 자리 숫자입니다. $A$ 를 구하세요.

주어진 것: 회원 수 $= 11$ 명; 각 회원이 낸 금액은 모두 같음; 총 지불액 $= \$\overline{1A2}$, 즉 백의 자리 $1$, 십의 자리 $A$, 일의 자리 $2$ 인 $3$ 자리 수; $A$ 의 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

구하는 것: 총액 조건을 만족하는 한 자리 숫자 $A$ ($0$ 부터 $9$ 사이)

이해

문제 재정리: 수학 동아리 회원 $11$ 명이 초청 강연자에게 각자 같은 금액(달러 단위 정수)을 내서 총 $\$\overline{1A2}$ 를 지불했습니다. 여기서 $A$ 는 한 자리 숫자입니다. $A$ 를 구하세요.

주어진 것: 회원 수 $= 11$ 명; 각 회원이 낸 금액은 모두 같음; 총 지불액 $= \$\overline{1A2}$, 즉 백의 자리 $1$, 십의 자리 $A$, 일의 자리 $2$ 인 $3$ 자리 수; $A$ 의 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

$A$ 의 후보는 $0, 1, 2, 3, 4$ 다섯 개뿐이고, 따라서 가능한 총액도 $102, 112, 122, 132, 142$ 다섯 개로 제한됩니다. 후보가 작고 유한할 때 AMC 객관식 문제에서 가장 자연스러운 첫 수는 도구 #3(가능성 지우기) — 각 후보를 $11$ 로 나눠 떨어지지 않으면 지우면 됩니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 은 그 안에서 후보를 $11$ 로 직접 나눠 정수가 되는지를 확인하는 엔진 역할을 합니다. 대수도 $11$ 의 배수 판정법도 필요 없이, $5$ 학년이 이해할 수 있는 직접 계산만으로 가장 빠르게 답에 도달합니다.

실행 — 정답: D

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 1
  • 문장제를 수학 조건으로 옮깁니다.
  • "$11$ 명이 똑같이 나눠 내서 총 $\$\overline{1A2}$" 라는 말은, $\$\overline{1A2}$ 를 $11$ 등분했을 때 나머지가 없어야 한다는 뜻입니다.
  • 즉 $\overline{1A2}$ 는 $11$ 의 배수여야 합니다.
$$\overline{1A2} = 11 \times (\text{한 사람이 낸 금액})$$

💡 "같은 금액 $\times$ 사람 수 $=$ 총액" 형태의 문장제를 알아보는 것은 4학년 다단계 문장제 표준입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 2
  • 선택지마다 후보 총액을 하나씩 적어 다섯 개의 후보 목록을 만듭니다.
  • $A$ 에 $0, 1, 2, 3, 4$ 를 차례로 대입한 결과입니다.
$$\{102,\ 112,\ 122,\ 132,\ 142\}$$

💡 후보를 먼저 모두 적어 두는 것은 "열린" 문제를 유한한 체크리스트로 바꾸는, 도구 #3 의 핵심 동작입니다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.B.5 단계 3
  • 후보 범위 근처의 $11$ 의 배수를 직접 만들어 비교 대상을 확보합니다.
  • $11$ 을 차례로 곱하면 $11, 22, \ldots, 99, 110, 121, 132, 143$ 이고, 이 중에서 후보 집합 $\{102, 112, 122, 132, 142\}$ 에 들어가는 것은 $132$ 뿐입니다.
$$11 \times 10 = 110,\ \ 11 \times 11 = 121,\ \ 11 \times 12 = 132,\ \ 11 \times 13 = 143$$

💡 $11$ 단을 차근차근 만들어 보는 것은 4학년 여러 자리 곱셈이며, 일치하는 값이 눈에 바로 들어옵니다.

#6 추측하고 확인하기 5.NBT.B.6 단계 4

남은 후보 $132$ 를 $11$ 로 직접 나눠 정수로 나누어떨어지는지 확인합니다.

$$132 \div 11 = 12 \quad (\text{나머지 } 0)$$

💡 $3$ 자리 수를 $2$ 자리 수로 나누어 나머지 $0$ 을 확인하는 것은 5학년 나눗셈 표준 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 5
  • 맞아떨어지는 총액에서 십의 자리를 읽습니다.
  • 총액이 $132$ 이므로 $A = 3$ 이고, 답은 $\textbf{(D)}$ 입니다.
$$\overline{1A2} = 132 \;\Rightarrow\; A = 3 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 다섯 후보 중 넷이 지워지면 남은 하나가 정답 — 도구 #3 의 가장 순수한 마무리입니다.

[1] #3 4.OA.A.3 문장제를 수학 조건으로 옮깁니다. "$11$ 명이 똑같이 나눠 내서 총 $\$\overline{1A2}$" 라는 말은, $\$\overline{
[2] #3 4.OA.A.3 선택지마다 후보 총액을 하나씩 적어 다섯 개의 후보 목록을 만듭니다. $A$ 에 $0, 1, 2, 3, 4$ 를 차례로 대입한 결과입니다.
[3] #6 4.NBT.B.5 후보 범위 근처의 $11$ 의 배수를 직접 만들어 비교 대상을 확보합니다. $11$ 을 차례로 곱하면 $11, 22, \ldots, 99, 11
[4] #6 5.NBT.B.6 남은 후보 $132$ 를 $11$ 로 직접 나눠 정수로 나누어떨어지는지 확인합니다.
[5] #3 4.OA.A.3 맞아떨어지는 총액에서 십의 자리를 읽습니다. 총액이 $132$ 이므로 $A = 3$ 이고, 답은 $\textbf{(D)}$ 입니다.

검토

합리성 확인: 한 사람이 $\$12$ 씩 냈고 $12 \times 11 = 132$ — 강연자 사례비로 자연스러운 금액이며 $A = 3$ 일 때 $\$\overline{1A2}$ 와 정확히 일치합니다. 나머지 후보들도 빠르게 지워집니다: $102 \div 11 \approx 9.27$, $112 \div 11 \approx 10.18$, $122 \div 11 \approx 11.09$, $142 \div 11 \approx 12.91$ 로 어느 것도 정수가 아닙니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 로 일의 자리만 봐도 됩니다. 이 범위의 $11$ 의 배수는 $110, 121, 132, 143$ 이고 일의 자리가 $0, 1, 2, 3$ 으로 한 칸씩 올라갑니다. 우리가 원하는 일의 자리는 $2$ 이므로 배수는 $132$ 로 강제되고 $A = 3$ 입니다. 더 위 학년이라면 $11$ 의 배수 판정법(번갈아 더하고 빼기) 도 가능합니다: $1 - A + 2 = 3 - A$ 가 $11$ 의 배수여야 하므로 한 자리 해는 $A = 3$ 뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

  • 4.OA.A.3 사칙연산을 이용하여 자연수에 관한 다단계 문장제 해결 ("$11$ 명이 같은 금액을 내서 총 $\$\overline{1A2}$" 라는 문장을 "$\overline{1A2}$ 는 $11$ 의 배수" 라는 조건으로 옮기고, 다섯 후보 총액을 나열하는 데 사용.)
  • 4.NBT.B.5 최대 네 자리 자연수와 한 자리 수의 곱셈, 두 자리 수끼리의 곱셈 ($11 \times 10 = 110$, $11 \times 11 = 121$, $11 \times 12 = 132$, $11 \times 13 = 143$ 와 같이 $11$ 단을 만들어 후보 범위 안의 $11$ 의 배수를 찾는 데 사용.)
  • 5.NBT.B.6 최대 네 자리 피제수, 두 자리 제수의 자연수 나눗셈 ($132 \div 11 = 12$, 나머지 $0$ 임을 확인하여 $11$ 명이 정수 금액으로 똑같이 나누어 낼 수 있음을 검증.)

⭐ 선택지가 다섯 개뿐이라면 배수 판정법 없이도 충분해요 — 하나씩 $11$ 로 직접 나눠 보면 끝. AMC $8$ 은 그런 5학년 나눗셈을 인정해 줍니다.

⭐ 선택지가 다섯 개뿐이라면 배수 판정법 없이도 충분해요 — 하나씩 $11$ 로 직접 나눠 보면 끝. AMC $8$ 은 그런 5학년 나눗셈을 인정해 줍니다.

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