AMC 8 · 2015 · #2

• 그림에 보조선을 덧그립니다.
• 중심 $O$ 에서 여덟 꼭짓점 $A, B, C, D, E, F, G, H$ 각각으로 선을 긋습니다.
• 정팔각형이므로 이 보조선들은 팔각형을 $8$ 개의 합동인 이등변삼각형($\triangle OAB$, $\triangle OBC$, $\triangle OCD$, $\ldots$, $\triangle OHA$)으로 나눕니다.
• 한 삼각형의 넓이를 $T$ 라고 하면 전체 팔각형의 넓이는 $8T$ 입니다.

💡 정도형을 중심을 기준으로 같은 크기 조각으로 나눠 한 조각을 전체의 단위분수 $\tfrac{1}{8}$ 로 보는 것은 3학년 도형 분할의 그대로입니다.

• 색칠 경계 $X \to B \to C \to D \to E \to O \to X$ 를 보조선에 맞춰 조각냅니다.
• $B$ 에서 둘레를 따라 $E$ 까지 갔다가 $O$ 로 들어가는 경로는 정확히 중심삼각형 $3$ 개 — $\triangle OBC$, $\triangle OCD$, $\triangle ODE$ — 를 덮습니다.
• 남는 부분은 $\triangle OAB$ 안에 있는 작은 삼각형 $\triangle OXB$ 하나뿐입니다.

💡 도구 #7: $6$ 변으로 된 까다로운 영역을 이미 알고 있는 조각들의 합 — 표준 $T$-삼각형 $3$ 개 더하기 추가 한 조각 — 으로 바꾸기.

• $\triangle OXB$ 의 넓이를 구합니다.
• $X$ 가 $\overline{AB}$ 의 중점이므로, 선분 $\overline{OX}$ 는 $\triangle OAB$ 에서 꼭짓점 $O$ 에서 마주 보는 변으로 그은 중선입니다.
• 중선은 삼각형을 넓이가 같은 두 조각으로 나눠 주므로, $\triangle OXB$ 는 $\triangle OAB$ 의 정확히 절반입니다.

💡 여덟 조각 중 한 $T$-조각을 반으로 자르면 $\tfrac{1}{2} T$ — 4학년 "분수 곱하기 전체" 계산입니다.

색칠 조각들을 $T$ 단위로 모두 더합니다.

💡 전체 셋과 절반 하나를 더하면 $3\tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{2}$ — 평범한 대분수 덧셈입니다.

• 색칠 넓이를 전체 팔각형 넓이로 나눕니다.
• 비율을 묻고 있으므로 $T$ 가 약분되어 사라지고, 작은 정수들의 분수만 남습니다.

💡 $\tfrac{7}{2}$ 를 $8$ 로 나누는 것은 분수를 "나눗셈" 으로 보는 5학년 해석 — $\tfrac{7}{2} \div 8 = \tfrac{7}{16}$.