AMC 8 · 2017 · #10

쉬운 모드 학년 7

문제

상자 안에 카드 $5$ 장이 들어 있다고 상상해 봅시다. 카드에는 각각 $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ 가 쓰여 있어요.

상자에 손을 넣어 한 번에 카드 $3$ 장을 무작위로 꺼냅니다. (꺼낸 카드는 다시 넣지 않아요.)

이제 꺼낸 세 카드의 숫자를 봅시다. 그중 가장 큰 수가 정확히 $4$ 이길 바라요.

그 확률은 얼마일까요?

$\textbf{(A) }\frac{1}{10}\qquad\textbf{(B) }\frac{1}{5}\qquad\textbf{(C) }\frac{3}{10}\qquad\textbf{(D) }\frac{2}{5}\qquad\textbf{(E) }\frac{1}{2}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{10}$

(B)

$frac{1}{5}$

(C)

$frac{3}{10}$

(D)

$frac{2}{5}$

(E)

$frac{1}{2}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1, 2, 3, 4, 5$ 번이 적힌 카드 다섯 장이 들어 있는 상자에서 한 번에 $3$ 장을 (다시 넣지 않고) 꺼냅니다. 꺼낸 세 장 중 가장 큰 수가 정확히 $4$ 일 확률을 구하시오.

주어진 것: $1, 2, 3, 4, 5$ 번 카드 $5$ 장이 있다; $5$ 장 중에서 $3$ 장을 비복원으로 뽑는다; $3$ 장으로 만들어지는 모든 묶음은 똑같이 잘 나온다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{10}$, (B) $\tfrac{1}{5}$, (C) $\tfrac{3}{10}$, (D) $\tfrac{2}{5}$, (E) $\tfrac{1}{2}$

구하는 것: 뽑은 세 장의 카드 중 가장 큰 수가 $4$ 가 될 확률

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #3 가능성 지우기

$5$ 장 중 $3$ 장을 고르는 경우는 $\binom{5}{3}=10$ 가지뿐이라서 모든 묶음을 그냥 종이에 다 적을 수 있습니다(도구 #2). 목록이 눈앞에 펼쳐지면 도구 #3(가능성 지우기) 으로 "가장 큰 수가 $4$ 가 아닌" 묶음을 지워 내기 쉬워집니다 — $5$ 번이 들어간 묶음과 $4$ 번이 안 들어간 묶음을 모두 빼면, 남은 게 바로 우리가 원하는 묶음입니다. 조합 공식 없이도 확률이 곧장 나옵니다.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 1

가장 작은 카드를 기준으로 오름차순으로, $\{1,2,3,4,5\}$ 에서 $3$ 장을 고르는 모든 묶음을 순서 규칙에 따라 나열합니다.
규칙을 먼저 정해야 빠짐도 겹침도 없습니다.

$$\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,2,5\},\{1,3,4\},\{1,3,5\},\{1,4,5\},\{2,3,4\},\{2,3,5\},\{2,4,5\},\{3,4,5\}$$

💡 동등하게 나오는 모든 결과를 "정리된 목록" 으로 적는 것이 표본공간 만들기 그 자체입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 2

전체 개수를 셉니다.
위 목록에는 $10$ 개의 묶음이 있고, 모두 동등하게 잘 나오므로 표본공간의 크기는 $10$ 입니다.

$$\text{전체 묶음 수} = 10$$

💡 모든 결과가 동등할 때 전체 결과의 수가 확률의 분모가 됩니다.

#3 가능성 지우기 7.SP.C.8 단계 3

$4$ 가 가장 크지 않은 묶음을 모두 지웁니다.
$5$ 가 들어 있으면 최댓값이 $5$ 이고, $4$ 가 없으면 최댓값이 $3$ 이하가 됩니다.
남는 묶음은 $4$ 를 포함하면서 $5$ 를 포함하지 않는 것들뿐입니다.

$$\text{남은 묶음: } \{1,2,4\},\{1,3,4\},\{2,3,4\}$$

💡 "최댓값 $=4$" 규칙을 어기는 묶음을 지우고 나면, 남는 것이 곧 우리가 원하는 사건입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 4

확률을 (조건을 만족하는 묶음 수) $\div$ (전체 묶음 수) 로 구합니다.
조건을 만족하는 묶음은 $3$ 개, 전체는 $10$ 개이므로 확률은 $\tfrac{3}{10}$ — 선택지 (C) 입니다.

$$P(\text{최댓값}=4) = \dfrac{3}{10} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 동등하게 일어나는 결과들에서, 원하는 결과의 수를 전체 결과의 수로 나누는 것이 확률의 정의입니다.

[1] #2 7.SP.C.8 가장 작은 카드를 기준으로 오름차순으로, $\{1,2,3,4,5\}$ 에서 $3$ 장을 고르는 모든 묶음을 순서 규칙에 따라 나열합니다. 규칙을

[2] #2 7.SP.C.7 전체 개수를 셉니다. 위 목록에는 $10$ 개의 묶음이 있고, 모두 동등하게 잘 나오므로 표본공간의 크기는 $10$ 입니다.

[3] #3 7.SP.C.8 $4$ 가 가장 크지 않은 묶음을 모두 지웁니다. $5$ 가 들어 있으면 최댓값이 $5$ 이고, $4$ 가 없으면 최댓값이 $3$ 이하가 됩니다

[4] #2 7.SP.C.7 확률을 (조건을 만족하는 묶음 수) $\div$ (전체 묶음 수) 로 구합니다. 조건을 만족하는 묶음은 $3$ 개, 전체는 $10$ 개이므로 확

검토

합리성 확인: 대칭성을 이용해 확인해 봅시다. $\{1,\dots,5\}$ 에서 $3$ 장을 뽑을 때 최댓값이 $5$ 일 확률은 $\tfrac{\binom{4}{2}}{10}=\tfrac{6}{10}$, 최댓값이 $4$ 일 확률은 $\tfrac{\binom{3}{2}}{10}=\tfrac{3}{10}$, 최댓값이 $3$ 일 확률은 $\tfrac{\binom{2}{2}}{10}=\tfrac{1}{10}$ 입니다. 합이 $\tfrac{6+3+1}{10}=1$ 이 되어 모든 가능성이 빠짐없이 채워지므로, "최댓값 $=4$" 가 $\tfrac{3}{10}$ 이라는 결과가 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 접근할 수도 있습니다. "먼저 $4$ 번 카드를 한 장 고정으로 잡고, 나머지 두 장을 $4$ 보다 작은 카드 $\{1,2,3\}$ 에서만 고르자" 라고 생각하면, 나머지 두 장을 고르는 경우는 $\binom{3}{2}=3$ 가지입니다. 전체 $\binom{5}{3}=10$ 으로 나누면 $\tfrac{3}{10}$ — 목록을 다 적지 않아도 같은 답이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 확률 모형을 만들어 사건의 확률을 구하기 (모든 $3$ 장 묶음이 동등하다는 균등 확률 모형을 써서 확률 $=$ (조건 만족 묶음) $\div$ (전체 묶음) $= \tfrac{3}{10}$ 으로 계산.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·시뮬레이션으로 복합사건의 확률 구하기 ($3$ 장 묶음 $10$ 개를 모두 정리해서 적은 뒤, "최댓값 $=4$" 를 만족하는 $3$ 개의 묶음을 골라내는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 "모든 경우를 적어 보고 조건에 맞는 것만 세서 나누기" 라는 확률 모형만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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