AMC 8 · 2018 · #2

쉬운 모드 학년 5

문제

아래 여섯 개의 분수를 왼쪽부터 하나씩 차례로 곱한다고 생각해봅시다.

$\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{6}\right)$

괄호 안의 식은 모두 $1$ 에 작은 분수를 더한 모양입니다. 먼저 괄호 한 개를 한 개의 분수로 바꿔보세요. 그런 다음 그 분수들을 전부 곱해봅시다.

마지막에 나오는 수는 얼마일까요?

$\textbf{(A) }\frac{7}{6}\qquad\textbf{(B) }\frac{4}{3}\qquad\textbf{(C) }\frac{7}{2}\qquad\textbf{(D) }7\qquad\textbf{(E) }8$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{7}{6}$

(B)

$\frac{4}{3}$

(C)

$\frac{7}{2}$

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 곱 $\left(1+\tfrac{1}{1}\right)\left(1+\tfrac{1}{2}\right)\left(1+\tfrac{1}{3}\right)\left(1+\tfrac{1}{4}\right)\left(1+\tfrac{1}{5}\right)\left(1+\tfrac{1}{6}\right)$ 의 값을 구해, 다섯 개의 선택지 중 어느 것에 해당하는지 고르는 문제입니다.

주어진 것: $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 에 대해 $1 + \tfrac{1}{k}$ 꼴의 인수 여섯 개의 곱; 선택지: (A) $\tfrac{7}{6}$, (B) $\tfrac{4}{3}$, (C) $\tfrac{7}{2}$, (D) $7$, (E) $8$

구하는 것: 여섯 개 인수의 곱의 정확한 값

이해

주어진 것: $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 에 대해 $1 + \tfrac{1}{k}$ 꼴의 인수 여섯 개의 곱; 선택지: (A) $\tfrac{7}{6}$, (B) $\tfrac{4}{3}$, (C) $\tfrac{7}{2}$, (D) $7$, (E) $8$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

각 인수 $1 + \tfrac{1}{k}$ 를 $\tfrac{k+1}{k}$ 로 깔끔하게 바꾸면, 곱은 $\tfrac{2}{1}\cdot\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{4}{3}\cdots\tfrac{7}{6}$ 처럼 "앞 분수의 분자" 와 "뒤 분수의 분모" 가 줄줄이 같아지는 모양이 됩니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 바로 이 망원경식(telescoping) 약분 패턴을 잡아내, 여섯 분수의 곱셈을 한 줄짜리 답으로 줄여 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 인수를 $2$ 개, $3$ 개로 먼저 계산해 보고 "답은 마지막 분자" 라는 규칙을 확신한 뒤 여섯 개에 적용하도록 받쳐 줍니다.

실행 — 정답: D

#5 패턴 찾기 4.NF.B.3 단계 1

각 인수를 하나의 분수로 정리합니다.
자연수 $k$ 에 대해 $1 + \tfrac{1}{k} = \tfrac{k}{k} + \tfrac{1}{k} = \tfrac{k+1}{k}$ 이므로, 여섯 인수는 $\tfrac{2}{1}, \tfrac{3}{2}, \tfrac{4}{3}, \tfrac{5}{4}, \tfrac{6}{5}, \tfrac{7}{6}$ 이 됩니다.

$$1+\tfrac{1}{k} = \tfrac{k+1}{k} \;\Rightarrow\; \tfrac{2}{1}, \tfrac{3}{2}, \tfrac{4}{3}, \tfrac{5}{4}, \tfrac{6}{5}, \tfrac{7}{6}$$

💡 자연수와 같은 분모를 가진 단위분수를 더하는 것은 단위분수 합으로 분수를 보는 4학년 분수 감각 그대로입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 2

도구 #9 로 인수 개수가 적은 경우부터 시험해 봅니다.
인수 $2$ 개: $\tfrac{2}{1}\cdot\tfrac{3}{2} = 3$.
인수 $3$ 개: $\tfrac{2}{1}\cdot\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{4}{3} = 4$.
인수 $4$ 개: $\tfrac{2}{1}\cdot\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{4}{3}\cdot\tfrac{5}{4} = 5$.
모든 분자가 다음 분수의 분모와 약분되어 결국 "마지막 분자" 만 남는 규칙이 보입니다.

$$\tfrac{2}{1}\cdot\tfrac{3}{2} = 3, \;\; \tfrac{2}{1}\cdot\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{4}{3} = 4, \;\; \tfrac{2}{1}\cdot\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{4}{3}\cdot\tfrac{5}{4} = 5$$

💡 작은 경우 몇 개로부터 규칙을 만들어 내는 것은 4학년 "수·도형 패턴 만들기" 표준 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 5.NF.B.4 단계 3

이제 여섯 인수 곱 전체에 망원경 약분을 적용합니다.
분자 $2, 3, 4, 5, 6$ 이 각각 바로 뒤 분수의 분모와 약분되어, 맨 앞 분모 $1$ 과 맨 뒤 분자 $7$ 만 남습니다.

$$\tfrac{\cancel{2}}{1}\cdot\tfrac{\cancel{3}}{\cancel{2}}\cdot\tfrac{\cancel{4}}{\cancel{3}}\cdot\tfrac{\cancel{5}}{\cancel{4}}\cdot\tfrac{\cancel{6}}{\cancel{5}}\cdot\tfrac{7}{\cancel{6}} = \tfrac{7}{1}$$

💡 분수끼리 곱하면서 분자·분모의 공통인수를 약분하는 것은 5학년 "분수 × 분수" 곱셈 표준 그대로입니다.

#5 패턴 찾기 4.NF.B.3 단계 4

값을 읽습니다.
$\tfrac{7}{1} = 7$ 이므로 선택지 (D) 와 일치합니다.

$$\tfrac{7}{1} = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 분모가 $1$ 인 분수는 분자 그 자체라는 4학년 분수의 의미 그대로입니다.

[1] #5 4.NF.B.3 각 인수를 하나의 분수로 정리합니다. 자연수 $k$ 에 대해 $1 + \tfrac{1}{k} = \tfrac{k}{k} + \tfrac{1}{k

[2] #9 4.OA.C.5 도구 #9 로 인수 개수가 적은 경우부터 시험해 봅니다. 인수 $2$ 개: $\tfrac{2}{1}\cdot\tfrac{3}{2} = 3$. 인

[3] #5 5.NF.B.4 이제 여섯 인수 곱 전체에 망원경 약분을 적용합니다. 분자 $2, 3, 4, 5, 6$ 이 각각 바로 뒤 분수의 분모와 약분되어, 맨 앞 분모

[4] #5 4.NF.B.3 값을 읽습니다. $\tfrac{7}{1} = 7$ 이므로 선택지 (D) 와 일치합니다.

검토

합리성 확인: 모든 인수가 $1$ 보다 크므로 곱도 $1$ 보다 큽니다. 가장 작은 인수는 $\tfrac{7}{6} \approx 1.17$, 가장 큰 인수는 $2$ 이고, 어림으로 $2 \times 1.5 \times 1.33 \times 1.25 \times 1.2 \times 1.17 \approx 7$ 이 나와 정답과 일치합니다. 패턴으로 보면 더 확실합니다 — $k = 1$ 부터 $n$ 까지 $1 + \tfrac{1}{k}$ 의 곱은 항상 $n+1$ 이므로, $n = 6$ 일 때 답은 $7$, 즉 (D) 입니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 검증할 수 있습니다. 첫 번째 인수만 봐도 $\tfrac{2}{1} = 2$ 인데, $1$ 이상인 수들의 곱이 다시 $2$ 보다 작아질 수는 없으므로 (A) $\tfrac{7}{6}$, (B) $\tfrac{4}{3}$ 는 즉시 탈락. (C) $\tfrac{7}{2} = 3.5$ 는 인수 세 개까지의 곱과만 일치합니다. (E) $8$ 이 되려면 일곱 번째 인수 $1 + \tfrac{1}{7}$ 가 더 있어야 합니다. 따라서 남는 답은 (D) $7$ — 망원경 약분 후 "마지막 분자" 와 정확히 같습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.NF.B.3 분자가 $1$ 보다 큰 분수를 단위분수의 합으로 이해 (각 $1 + \tfrac{1}{k}$ 를 한 개의 분수 $\tfrac{k+1}{k}$ 로 정리하고, 최종적으로 $\tfrac{7}{1}$ 을 $7$ 로 읽는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 (인수가 $2, 3, 4$ 개인 작은 경우들로부터 "곱은 마지막 분자와 같다" 라는 규칙을 찾아내, 여섯 인수 곱에 적용하는 데 사용.)
5.NF.B.4 분수 곱셈 — 분수 × 분수의 의미 이해와 계산 ($\tfrac{2}{1}\cdot\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{4}{3}\cdot\tfrac{5}{4}\cdot\tfrac{6}{5}\cdot\tfrac{7}{6}$ 을 곱하고 분자·분모의 공통인수를 약분(망원경식)하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 "분수 × 분수" 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 약분 패턴만 알아채면 한 줄에 답이 나와요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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