AMC 8 · 1999 · #4
학년 5 rate-ratio문제
The diagram shows the miles traveled by bikers Alberto and Bjorn. After four hours, about how many more miles has Alberto biked than Bjorn?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 꺾은선그래프가 알베르토(Alberto) 와 비에른(Bjorn) 두 사람이 시간(시간) 에 따라 자전거로 달린 거리(마일) 를 보여줍니다. $4$ 시간 후, 알베르토는 비에른보다 몇 마일 더 달렸을까요?
주어진 것: 가로축: 시간, $0, 1, 2, 3, 4, 5$ 로 표시; 세로축: 마일, 격자선이 $0, 15, 30, 45, 60, 75$ 위치 (격자 한 칸 = $15$ 마일); 두 선 모두 $(0, 0)$ 에서 시작해 오른쪽으로 올라간다; 선택지: (A) $15$, (B) $20$, (C) $25$, (D) $30$, (E) $35$
구하는 것: $4$ 시간 시점에서 알베르토의 거리 $-$ 비에른의 거리
이해
문제 재정리: 꺾은선그래프가 알베르토(Alberto) 와 비에른(Bjorn) 두 사람이 시간(시간) 에 따라 자전거로 달린 거리(마일) 를 보여줍니다. $4$ 시간 후, 알베르토는 비에른보다 몇 마일 더 달렸을까요?
주어진 것: 가로축: 시간, $0, 1, 2, 3, 4, 5$ 로 표시; 세로축: 마일, 격자선이 $0, 15, 30, 45, 60, 75$ 위치 (격자 한 칸 = $15$ 마일); 두 선 모두 $(0, 0)$ 에서 시작해 오른쪽으로 올라간다; 선택지: (A) $15$, (B) $20$, (C) $25$, (D) $30$, (E) $35$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
그래프 자체가 문제입니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 여기서 주어진 그림을 정확히 읽는다는 뜻으로, $4$ 시간 위치의 세로선을 찾고 알베르토와 비에른의 선이 그 세로선과 만나는 높이를 각각 마일 축에서 읽으면 됩니다. 두 값을 읽고 나면 "얼마나 더" 는 단순한 뺄셈 한 번이에요. 대수(#13) 같은 무거운 도구를 꺼내면 오히려 일만 늘어납니다.
실행 — 정답: A
5.G.A.2 단계 1 - $4$ 시간 위치의 세로선을 표시합니다.
- 가로축의 $4$ 눈금에서 세로 방향으로 선을 올리면, 그 세로선이 두 사람의 높이를 동시에 보여주는 기준 열이 됩니다.
💡 그래프 읽기는 문제가 묻는 $x$ 값을 먼저 고정하는 데서 시작합니다. 나머지는 그 한 열 안의 높이입니다.
5.G.A.2 단계 2 - 알베르토의 높이를 읽습니다.
- 그 세로선에서 알베르토의 선은 격자선 $60$ 과 만나므로, $4$ 시간 후 알베르토는 $60$ 마일을 달린 상태입니다.
💡 위에서 네 번째 격자선은 $4 \times 15 = 60$ 위치이고, 알베르토의 선이 정확히 그 높이에서 만납니다.
5.G.A.2 단계 3 - 비에른의 높이를 같은 세로선에서 읽습니다.
- 비에른의 선은 격자선 $45$ 와 만나므로, $4$ 시간 후 비에른은 $45$ 마일을 달린 상태입니다.
💡 위에서 세 번째 격자선은 $3 \times 15 = 45$ 위치이고, 비에른의 선이 정확히 그 높이에서 만납니다.
4.OA.A.2 단계 4 - 알베르토가 얼마나 더 달렸는지 뺄셈으로 구합니다.
- "얼마나 더" 는 비교 문장이므로 큰 값에서 작은 값을 빼면 됩니다.
💡 4학년의 "덧셈적 비교" — 한 양이 다른 양보다 얼마나 더 많은지 알려면 빼면 됩니다.
5.G.A.2 $4$ 시간 위치의 세로선을 표시합니다. 가로축의 $4$ 눈금에서 세로 방향으로 선을 올리면, 그 세로선이 두 사람의 높이를 동시에 보여주는 기 5.G.A.2 알베르토의 높이를 읽습니다. 그 세로선에서 알베르토의 선은 격자선 $60$ 과 만나므로, $4$ 시간 후 알베르토는 $60$ 마일을 달린 상태입 5.G.A.2 비에른의 높이를 같은 세로선에서 읽습니다. 비에른의 선은 격자선 $45$ 와 만나므로, $4$ 시간 후 비에른은 $45$ 마일을 달린 상태입니다 4.OA.A.2 알베르토가 얼마나 더 달렸는지 뺄셈으로 구합니다. "얼마나 더" 는 비교 문장이므로 큰 값에서 작은 값을 빼면 됩니다. 검토
합리성 확인: 알베르토의 선이 비에른의 선보다 더 가파르므로, 시간이 흐를수록 알베르토가 앞서 있어야 하고, 답은 양수여야 합니다 — $15$ 은 양수라 맞습니다. 또한 $x = 4$ 에서 두 선의 간격은 정확히 격자 한 칸이고, 격자 한 칸은 $15$ 마일이라 그림으로 본 간격과 계산값이 일치합니다.
대안 접근: 도구 #5(규칙 찾기): 그래프에서 각자의 속력을 계산합니다. 알베르토는 $4$ 시간에 $60$ 마일을 달렸으므로 시속 $60 \div 4 = 15$ 마일, 비에른은 $4$ 시간에 $45$ 마일이므로 시속 $45 \div 4 = 11.25$ 마일. 시간당 격차는 $15 - 11.25 = 3.75$ 마일이고, $4$ 시간 누적 격차는 $3.75 \times 4 = 15$ 마일 — 같은 답 (A).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
5.G.A.21사분면 좌표평면 위에 점을 표시하여 실생활·수학 문제 해결 ($4$ 시간 시점에서 각 자전거 주자의 거리를 좌표평면 위 한 점의 $y$ 좌표로 읽기. 격자 한 칸 $= 15$ 마일.)4.OA.A.2곱셈·나눗셈을 사용한 비교 문제 해결, 덧셈적 비교와 곱셈적 비교 구분 ("얼마나 더" 를 덧셈적 비교로 인식하고 $60 - 45 = 15$ 을 계산하는 데 사용.)
⭐ 문제가 그래프를 줬다면 그래프가 대부분의 일을 해 줍니다. 묻는 $x$ 값($4$ 시간) 에 맞춰 위로 올라가서 두 선의 높이($60$ 과 $45$) 를 $y$ 축에서 읽고 빼면 됩니다. 여기서는 두 선의 간격이 격자 한 칸 — 그게 곧 $15$ 마일이라 답은 (A).
⭐ 문제가 그래프를 줬다면 그래프가 대부분의 일을 해 줍니다. 묻는 $x$ 값($4$ 시간) 에 맞춰 위로 올라가서 두 선의 높이($60$ 과 $45$) 를 $y$ 축에서 읽고 빼면 됩니다. 여기서는 두 선의 간격이 격자 한 칸 — 그게 곧 $15$ 마일이라 답은 (A).
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