AMC 8 · 2001 · #8
학년 5 geometry-2drate-ratio문제
To promote her school's annual Kite Olympics, Genevieve makes a small kite and a large kite for a bulletin board display. The kites look like the one in the diagram. For her small kite Genevieve draws the kite on a one-inch grid. For the large kite she triples both the height and width of the entire grid.
Genevieve puts bracing on her large kite in the form of a cross connecting opposite corners of the kite. How many inches of bracing material does she need?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 제너비브가 $1$ 인치 간격의 점 격자에 작은 연을 그렸고, 꼭짓점은 $(3,0)$, $(0,5)$, $(3,7)$, $(6,5)$ 입니다. 큰 연은 격자의 모든 길이를 $3$ 배로 늘려 만듭니다. 그런 다음 큰 연의 두 대각선(서로 마주 보는 꼭짓점을 잇는 선)을 따라 십자 모양으로 보강재를 댑니다. 보강재는 모두 몇 인치가 필요할까요?
주어진 것: $1$ 인치 격자 위 작은 연의 꼭짓점: $(3,0)$, $(0,5)$, $(3,7)$, $(6,5)$; 큰 연: 격자의 모든 길이가 $3$ 배 (축척 $3$); 보강재 $=$ 큰 연의 두 대각선을 십자로 이어 붙인 것; 선택지: (A) $30$, (B) $32$, (C) $35$, (D) $38$, (E) $39$
구하는 것: 큰 연을 보강하는 데 필요한 보강재의 총 길이(인치)
이해
문제 재정리: 제너비브가 $1$ 인치 간격의 점 격자에 작은 연을 그렸고, 꼭짓점은 $(3,0)$, $(0,5)$, $(3,7)$, $(6,5)$ 입니다. 큰 연은 격자의 모든 길이를 $3$ 배로 늘려 만듭니다. 그런 다음 큰 연의 두 대각선(서로 마주 보는 꼭짓점을 잇는 선)을 따라 십자 모양으로 보강재를 댑니다. 보강재는 모두 몇 인치가 필요할까요?
주어진 것: $1$ 인치 격자 위 작은 연의 꼭짓점: $(3,0)$, $(0,5)$, $(3,7)$, $(6,5)$; 큰 연: 격자의 모든 길이가 $3$ 배 (축척 $3$); 보강재 $=$ 큰 연의 두 대각선을 십자로 이어 붙인 것; 선택지: (A) $30$, (B) $32$, (C) $35$, (D) $38$, (E) $39$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
도형이 $1$ 인치 격자 위에 그려져 있으므로 도구 #1(그림 그리기) 은 이미 갖춰져 있습니다 — 마주 보는 꼭짓점 사이의 격자 칸 수만 세면 각 대각선 길이가 바로 나옵니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 는 "확대" 부분을 맡습니다. 먼저 쉬운 작은 연에서 답을 구하고, 그 결과에 $3$ 을 곱해 큰 연으로 옮기면 됩니다. 이 두 도구만으로 대수나 거리 공식 없이 풀립니다.
실행 — 정답: E
5.G.A.1 단계 1 - 격자를 보고 작은 연의 두 대각선을 읽습니다.
- 세로 대각선은 $(3,0)$ 에서 $(3,7)$ 까지이므로 길이는 $y$ 좌표의 차이입니다.
- 가로 대각선은 $(0,5)$ 에서 $(6,5)$ 까지이므로 길이는 $x$ 좌표의 차이입니다.
💡 두 대각선 모두 격자선을 따라 놓여 있어, 끝점 사이의 칸 수만 세면 됩니다 — 정확히 5학년 좌표평면 기능 그대로입니다.
5.NF.B.5 단계 2 - 큰 연으로 확대합니다.
- 격자를 $3$ 배로 늘리면 모든 길이가 $3$ 배가 되므로, 큰 연의 각 대각선은 작은 연의 대각선의 $3$ 배입니다.
💡 쉬운 작은 연을 먼저 풀면 큰 연 문제는 한 번의 확대 — 알고 있는 각 대각선에 $3$ 만 곱하면 됩니다.
4.OA.A.3 단계 3 보강재는 큰 연의 두 대각선을 합친 것이므로, 보강재 총 길이는 두 대각선 길이의 합입니다.
💡 두 대각선으로 된 십자 모양은 각 대각선마다 한 조각씩 사용하므로, 두 길이를 더하면 총 재료가 됩니다 — 4학년 한 단계 문장제 그대로의 덧셈.
5.G.A.1 격자를 보고 작은 연의 두 대각선을 읽습니다. 세로 대각선은 $(3,0)$ 에서 $(3,7)$ 까지이므로 길이는 $y$ 좌표의 차이입니다. 가로 5.NF.B.5 큰 연으로 확대합니다. 격자를 $3$ 배로 늘리면 모든 길이가 $3$ 배가 되므로, 큰 연의 각 대각선은 작은 연의 대각선의 $3$ 배입니다. 4.OA.A.3 보강재는 큰 연의 두 대각선을 합친 것이므로, 보강재 총 길이는 두 대각선 길이의 합입니다. 검토
합리성 확인: 축척을 다른 방법으로 확인해 봅시다. 작은 연 전체는 $6 \times 7$ 직사각형 안에 들어가므로, $3$ 배 하면 큰 연은 $18 \times 21$ 직사각형 안에 들어갑니다. 가로 대각선은 그 너비 전체($18$), 세로 대각선은 그 높이 전체($21$) 를 가로지르므로 합은 $18 + 21 = 39$. 또한 큰 연의 모든 길이는 정수의 $3$ 배이므로 답은 $3$ 의 배수여야 합니다 — $39 = 3 \times 13$ 은 맞고, 함정 선택지 $32, 35, 38$ 은 모두 아닙니다. 두 확인 모두 (E) 를 가리킵니다.
대안 접근: 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): "큰 연의 대각선 구하기" 를 첫 번째 작은 문제(각각 $21$, $18$), "보강재 총 길이" 를 두 번째 작은 문제(둘을 더해 $39$) 로 나눕니다. 두 부분을 차례로 풀어 합치면 같은 $39$ 인치, 답 (E) 가 다시 확인됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
5.G.A.1서로 수직인 두 수직선(축)으로 좌표계를 정하고, 평면 위의 점을 순서쌍으로 나타내기 ($1$ 인치 격자에서 작은 연의 꼭짓점 $(3,0)$, $(0,5)$, $(3,7)$, $(6,5)$ 를 읽고 각 대각선을 좌표 차이로 계산($7$ 과 $6$) 하는 데 사용.)5.NF.B.5곱셈을 크기 조정(확대·축소)으로 해석하기 (격자를 $3$ 배 하면 모든 길이가 $3$ 배가 됨을 알아, 작은 연의 대각선 $7$ 과 $6$ 을 큰 연의 $21$ 과 $18$ 로 옮기는 데 사용.)4.OA.A.3사칙연산을 사용해 자연수 다단계 문장제 해결 (큰 연의 두 대각선 길이를 합쳐 보강재 총 길이 $21 + 18 = 39$ 인치를 구하는 데 사용.)
⭐ 격자선을 따라 곧게 뻗은 대각선은 칸을 세는 일 — $7$ 칸 위로, $6$ 칸 옆으로. 격자를 $3$ 배 하면 길이도 $3$ 배($21$ 과 $18$), 두 대각선을 합치면 십자형 보강재의 총 길이가 됩니다: $21 + 18 = 39$ 인치, 답 (E).
⭐ 격자선을 따라 곧게 뻗은 대각선은 칸을 세는 일 — $7$ 칸 위로, $6$ 칸 옆으로. 격자를 $3$ 배 하면 길이도 $3$ 배($21$ 과 $18$), 두 대각선을 합치면 십자형 보강재의 총 길이가 됩니다: $21 + 18 = 39$ 인치, 답 (E).
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