AMC 8 · 2018 · #9

쉬운 모드 학년 3

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문제

모니카네 거실 바닥을 떠올려봅시다. 한 변이 $12$ 피트, 다른 한 변이 $16$ 피트인 직사각형 모양이에요.

모니카는 이 바닥을 정사각형 타일로 빈틈없이 덮으려고 합니다. 타일은 두 가지 크기를 써요.

작은 타일은 한 변이 $1$ 피트인 정사각형입니다. 이 타일들은 방의 가장자리를 빙 둘러서 폭 $1$ 피트짜리 테두리를 만듭니다.
큰 타일은 한 변이 $2$ 피트인 정사각형입니다. 이 타일들은 테두리 안쪽 공간을 모두 채웁니다.

모니카가 사용한 타일은 모두 몇 개일까요?

$\textbf{(A) }48\qquad\textbf{(B) }87\qquad\textbf{(C) }89\qquad\textbf{(D) }96\qquad \textbf{(E) }120$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

120

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 모니카는 가로 $16$ 피트, 세로 $12$ 피트인 직사각형 거실 바닥에 타일을 깔려고 합니다. 네 변을 따라서는 $1$ 피트 $\times$ $1$ 피트짜리 정사각형 작은 타일로 한 줄짜리 테두리를 만들고, 그 안쪽은 $2$ 피트 $\times$ $2$ 피트짜리 큰 정사각형 타일로 채웁니다. 사용한 타일의 총 개수는 몇 개일까요?

주어진 것: 거실 크기: 가로 $16$ 피트, 세로 $12$ 피트; 테두리 타일은 $1$ 피트 $\times$ $1$ 피트 정사각형이고, 네 변을 따라 한 줄 두께; 안쪽 영역은 $2$ 피트 $\times$ $2$ 피트 정사각형 타일로 채움; 선택지: (A) $48$, (B) $87$, (C) $89$, (D) $96$, (E) $120$

구하는 것: 사용한 타일의 총 개수(테두리의 작은 타일 + 안쪽의 큰 타일)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기

이 바닥은 "테두리의 작은 타일 영역" 과 "안쪽의 큰 타일 영역" 이라는 두 부분으로 자연스럽게 나뉩니다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 각 영역의 타일 수를 따로 구한 뒤 더하는 방법이 가장 깔끔합니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 이 분할을 눈으로 보이게 해 줍니다 — $16 \times 12$ 직사각형을 그리고 한 칸짜리 테두리를 칠한 뒤 안쪽 직사각형이 $14 \times 10$ 임을 표시하면, 가로·세로가 모두 짝수라서 $2 \times 2$ 타일이 딱 맞게 들어간다는 사실까지 한눈에 보입니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 3.MD.D.8 단계 1

거실 그림을 그리고 네 변에 한 칸짜리 테두리를 칠합니다.
테두리가 양옆에서 $1$ 피트씩 들어오므로, 안쪽 직사각형의 가로·세로는 원래보다 $2$ 피트씩 줄어듭니다.

$$\text{안쪽 가로} = 16 - 2 = 14 \text{ 피트},\quad \text{안쪽 세로} = 12 - 2 = 10 \text{ 피트}$$

💡 그림으로 한 칸짜리 테두리를 표시하면 안쪽이 $14 \times 10$ 임이 바로 보이는데, 이는 3학년 둘레·테두리 추론 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 2

작은 문제 (가) — 테두리 타일 수를 셉니다.
테두리의 넓이는 (전체 넓이) $-$ (안쪽 넓이) 로 구하고, 작은 타일 한 장이 $1$ 제곱피트를 덮으므로 테두리 넓이(제곱피트)가 곧 작은 타일 개수입니다.

$$A_{\text{테두리}} = 16 \times 12 - 14 \times 10 = 192 - 140 = 52 \text{ 제곱피트} \;\Rightarrow\; 52 \text{ 개}$$

💡 테두리를 (큰 직사각형 넓이) $-$ (안쪽 직사각형 넓이) 로 보는 것은 3학년 "넓이 $=$ 곱셈" 과 뺄셈의 결합입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.C.7 단계 3

작은 문제 (나) — 안쪽의 큰 타일 수를 셉니다.
$2 \times 2$ 타일 한 장은 $4$ 제곱피트를 덮으므로 안쪽 넓이를 $4$ 로 나눕니다.
확인용으로, 안쪽 가로 $14$ 와 세로 $10$ 이 모두 짝수이므로 가로로 $14 \div 2 = 7$ 장, 세로로 $10 \div 2 = 5$ 장이 들어가 총 $7 \times 5 = 35$ 장입니다.

$$\dfrac{140 \text{ 제곱피트}}{4 \text{ 제곱피트/장}} = 35 \text{ 장} \quad\text{그리고}\quad 7 \times 5 = 35 \text{ 장} \;\checkmark$$

💡 $140 \div 4$ 와 $7 \times 5$ 는 모두 3학년 "$100$ 이내 곱셈·나눗셈 유창성" 범위 안의 계산입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.D.8 단계 4

두 작은 문제의 답을 합칩니다.
테두리 타일 수와 안쪽 타일 수를 더하면 모니카가 사용한 타일의 총 개수가 됩니다.

$$52 + 35 = 87 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 두 부분 답을 한 번의 덧셈으로 합치는 것은 3학년 "두 단계 문장제" 그대로입니다.

[1] #1 3.MD.D.8 거실 그림을 그리고 네 변에 한 칸짜리 테두리를 칠합니다. 테두리가 양옆에서 $1$ 피트씩 들어오므로, 안쪽 직사각형의 가로·세로는 원래보다 $

[2] #7 3.MD.C.7 작은 문제 (가) — 테두리 타일 수를 셉니다. 테두리의 넓이는 (전체 넓이) $-$ (안쪽 넓이) 로 구하고, 작은 타일 한 장이 $1$ 제곱

[3] #7 3.OA.C.7 작은 문제 (나) — 안쪽의 큰 타일 수를 셉니다. $2 \times 2$ 타일 한 장은 $4$ 제곱피트를 덮으므로 안쪽 넓이를 $4$ 로 나눕

[4] #7 3.OA.D.8 두 작은 문제의 답을 합칩니다. 테두리 타일 수와 안쪽 타일 수를 더하면 모니카가 사용한 타일의 총 개수가 됩니다.

검토

합리성 확인: 수치의 크기를 가늠해 봅시다 — 전체 바닥 넓이는 $192$ 제곱피트입니다. 모두 작은 $1 \times 1$ 타일이라면 $192$ 장이 필요하니 선택지 (E) $120$ 보다도 많고, 모두 큰 $2 \times 2$ 타일이라면 $192 \div 4 = 48$ 장이라 선택지 (A) 가 됩니다. 우리 답 $87$ 은 $48$ 과 $192$ 사이에 적절히 놓여 있고, 테두리($52$) $+$ 안쪽($35$) 로 깔끔하게 쪼개지는 것은 선택지 (B) 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 만으로도 풀 수 있습니다 — 테두리 타일을 둘레를 따라 직접 세되 모서리를 두 번 세지 않도록 주의합니다. 긴 두 변에 $2 \times 16 = 32$ 장(모서리 포함), 짧은 두 변에는 모서리를 뺀 가운데 $12 - 2 = 10$ 칸씩 $2 \times 10 = 20$ 장이 추가로 들어가 테두리는 $32 + 20 = 52$ 장. 안쪽은 $7 \times 5 = 35$ 장. 합 $87$ — 같은 답 (B) 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.MD.D.8 다각형의 둘레와 관련된 실생활 문제 해결 (한 칸짜리 테두리를 그림으로 표시해, $16 \times 12$ 직사각형의 안쪽 직사각형이 $14 \times 10$ 으로 줄어드는 것을 읽어내는 데 사용.)
3.MD.C.7 넓이를 곱셈·덧셈 연산과 연결하기 (전체 넓이 $16 \times 12 = 192$, 안쪽 넓이 $14 \times 10 = 140$, 그리고 그 차이로 테두리 넓이 $192 - 140 = 52$ 를 구하는 데 사용.)
3.OA.C.7 $100$ 이내의 곱셈·나눗셈 유창성 (안쪽 넓이를 $140 \div 4 = 35$ 로 나누고 $7 \times 5 = 35$ 로 검산하여 $2 \times 2$ 타일 수를 세는 데 사용.)
3.OA.D.8 $100$ 이내 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결 (두 작은 문제의 답 $52 + 35 = 87$ 을 합쳐 전체 타일 수를 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 넓이 $=$ 가로 $\times$ 세로 와 두 단계 덧셈만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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