AMC 8 · 2018 · #9
학년 3 geometry-2d문제
모니카는 가로 16피트, 세로 12피트 크기의 거실 바닥에 타일을 깔려고 합니다. 방의 가장자리를 따라 1피트 1피트 크기의 정사각형 타일로 테두리를 만들고, 나머지 바닥은 2피트 2피트 크기의 정사각형 타일로 채울 계획입니다. 그녀는 모두 몇 개의 타일을 사용하게 됩니까?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 모니카는 가로 $16$ 피트, 세로 $12$ 피트인 직사각형 거실 바닥에 타일을 깔려고 합니다. 네 변을 따라서는 $1$ 피트 $\times$ $1$ 피트짜리 정사각형 작은 타일로 한 줄짜리 테두리를 만들고, 그 안쪽은 $2$ 피트 $\times$ $2$ 피트짜리 큰 정사각형 타일로 채웁니다. 사용한 타일의 총 개수는 몇 개일까요?
주어진 것: 거실 크기: 가로 $16$ 피트, 세로 $12$ 피트; 테두리 타일은 $1$ 피트 $\times$ $1$ 피트 정사각형이고, 네 변을 따라 한 줄 두께; 안쪽 영역은 $2$ 피트 $\times$ $2$ 피트 정사각형 타일로 채움; 선택지: (A) $48$, (B) $87$, (C) $89$, (D) $96$, (E) $120$
구하는 것: 사용한 타일의 총 개수(테두리의 작은 타일 + 안쪽의 큰 타일)
이해
문제 재정리: 모니카는 가로 $16$ 피트, 세로 $12$ 피트인 직사각형 거실 바닥에 타일을 깔려고 합니다. 네 변을 따라서는 $1$ 피트 $\times$ $1$ 피트짜리 정사각형 작은 타일로 한 줄짜리 테두리를 만들고, 그 안쪽은 $2$ 피트 $\times$ $2$ 피트짜리 큰 정사각형 타일로 채웁니다. 사용한 타일의 총 개수는 몇 개일까요?
주어진 것: 거실 크기: 가로 $16$ 피트, 세로 $12$ 피트; 테두리 타일은 $1$ 피트 $\times$ $1$ 피트 정사각형이고, 네 변을 따라 한 줄 두께; 안쪽 영역은 $2$ 피트 $\times$ $2$ 피트 정사각형 타일로 채움; 선택지: (A) $48$, (B) $87$, (C) $89$, (D) $96$, (E) $120$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기
이 바닥은 "테두리의 작은 타일 영역" 과 "안쪽의 큰 타일 영역" 이라는 두 부분으로 자연스럽게 나뉩니다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 각 영역의 타일 수를 따로 구한 뒤 더하는 방법이 가장 깔끔합니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 이 분할을 눈으로 보이게 해 줍니다 — $16 \times 12$ 직사각형을 그리고 한 칸짜리 테두리를 칠한 뒤 안쪽 직사각형이 $14 \times 10$ 임을 표시하면, 가로·세로가 모두 짝수라서 $2 \times 2$ 타일이 딱 맞게 들어간다는 사실까지 한눈에 보입니다.
실행 — 정답: B
3.MD.D.8 단계 1 - 거실 그림을 그리고 네 변에 한 칸짜리 테두리를 칠합니다.
- 테두리가 양옆에서 $1$ 피트씩 들어오므로, 안쪽 직사각형의 가로·세로는 원래보다 $2$ 피트씩 줄어듭니다.
💡 그림으로 한 칸짜리 테두리를 표시하면 안쪽이 $14 \times 10$ 임이 바로 보이는데, 이는 3학년 둘레·테두리 추론 그대로입니다.
3.MD.C.7 단계 2 - 작은 문제 (가) — 테두리 타일 수를 셉니다.
- 테두리의 넓이는 (전체 넓이) $-$ (안쪽 넓이) 로 구하고, 작은 타일 한 장이 $1$ 제곱피트를 덮으므로 테두리 넓이(제곱피트)가 곧 작은 타일 개수입니다.
💡 테두리를 (큰 직사각형 넓이) $-$ (안쪽 직사각형 넓이) 로 보는 것은 3학년 "넓이 $=$ 곱셈" 과 뺄셈의 결합입니다.
3.OA.C.7 단계 3 - 작은 문제 (나) — 안쪽의 큰 타일 수를 셉니다.
- $2 \times 2$ 타일 한 장은 $4$ 제곱피트를 덮으므로 안쪽 넓이를 $4$ 로 나눕니다.
- 확인용으로, 안쪽 가로 $14$ 와 세로 $10$ 이 모두 짝수이므로 가로로 $14 \div 2 = 7$ 장, 세로로 $10 \div 2 = 5$ 장이 들어가 총 $7 \times 5 = 35$ 장입니다.
💡 $140 \div 4$ 와 $7 \times 5$ 는 모두 3학년 "$100$ 이내 곱셈·나눗셈 유창성" 범위 안의 계산입니다.
3.OA.D.8 단계 4 - 두 작은 문제의 답을 합칩니다.
- 테두리 타일 수와 안쪽 타일 수를 더하면 모니카가 사용한 타일의 총 개수가 됩니다.
💡 두 부분 답을 한 번의 덧셈으로 합치는 것은 3학년 "두 단계 문장제" 그대로입니다.
3.MD.D.8 거실 그림을 그리고 네 변에 한 칸짜리 테두리를 칠합니다. 테두리가 양옆에서 $1$ 피트씩 들어오므로, 안쪽 직사각형의 가로·세로는 원래보다 $ 3.MD.C.7 작은 문제 (가) — 테두리 타일 수를 셉니다. 테두리의 넓이는 (전체 넓이) $-$ (안쪽 넓이) 로 구하고, 작은 타일 한 장이 $1$ 제곱 3.OA.C.7 작은 문제 (나) — 안쪽의 큰 타일 수를 셉니다. $2 \times 2$ 타일 한 장은 $4$ 제곱피트를 덮으므로 안쪽 넓이를 $4$ 로 나눕 3.OA.D.8 두 작은 문제의 답을 합칩니다. 테두리 타일 수와 안쪽 타일 수를 더하면 모니카가 사용한 타일의 총 개수가 됩니다. 검토
합리성 확인: 수치의 크기를 가늠해 봅시다 — 전체 바닥 넓이는 $192$ 제곱피트입니다. 모두 작은 $1 \times 1$ 타일이라면 $192$ 장이 필요하니 선택지 (E) $120$ 보다도 많고, 모두 큰 $2 \times 2$ 타일이라면 $192 \div 4 = 48$ 장이라 선택지 (A) 가 됩니다. 우리 답 $87$ 은 $48$ 과 $192$ 사이에 적절히 놓여 있고, 테두리($52$) $+$ 안쪽($35$) 로 깔끔하게 쪼개지는 것은 선택지 (B) 뿐입니다.
대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 만으로도 풀 수 있습니다 — 테두리 타일을 둘레를 따라 직접 세되 모서리를 두 번 세지 않도록 주의합니다. 긴 두 변에 $2 \times 16 = 32$ 장(모서리 포함), 짧은 두 변에는 모서리를 뺀 가운데 $12 - 2 = 10$ 칸씩 $2 \times 10 = 20$ 장이 추가로 들어가 테두리는 $32 + 20 = 52$ 장. 안쪽은 $7 \times 5 = 35$ 장. 합 $87$ — 같은 답 (B) 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
3.MD.D.8다각형의 둘레와 관련된 실생활 문제 해결 (한 칸짜리 테두리를 그림으로 표시해, $16 \times 12$ 직사각형의 안쪽 직사각형이 $14 \times 10$ 으로 줄어드는 것을 읽어내는 데 사용.)3.MD.C.7넓이를 곱셈·덧셈 연산과 연결하기 (전체 넓이 $16 \times 12 = 192$, 안쪽 넓이 $14 \times 10 = 140$, 그리고 그 차이로 테두리 넓이 $192 - 140 = 52$ 를 구하는 데 사용.)3.OA.C.7$100$ 이내의 곱셈·나눗셈 유창성 (안쪽 넓이를 $140 \div 4 = 35$ 로 나누고 $7 \times 5 = 35$ 로 검산하여 $2 \times 2$ 타일 수를 세는 데 사용.)3.OA.D.8$100$ 이내 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결 (두 작은 문제의 답 $52 + 35 = 87$ 을 합쳐 전체 타일 수를 구하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 넓이 $=$ 가로 $\times$ 세로 와 두 단계 덧셈만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 넓이 $=$ 가로 $\times$ 세로 와 두 단계 덧셈만 알면 풀 수 있어요!
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