AMC 8 · 2019 · #12

쉬운 모드 학년 0

문제

여섯 개의 면을 가진 정육면체 블록을 떠올려 봅시다. 여섯 면에는 각각 서로 다른 색이 칠해져 있어요: 빨강 $(R)$ , 하양 $(W)$ , 초록 $(G)$ , 갈색 $(B)$ , 옥색 $(A)$ , 보라 $(P)$ .

아래 그림은 이 정육면체를 세 가지 다른 방향에서 본 모습입니다. 한 방향에서 볼 때마다 세 면이 한꺼번에 보여요.

옥색 면의 바로 반대편에 있는 면의 색은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$text{ red}$

(B)

$text{ white}$

(C)

$text{ green}$

(D)

$text{ brown}$

(E)

$text{ purple}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정육면체의 여섯 면을 각각 다른 색 — 빨강(R), 흰색(W), 초록(G), 갈색(B), 청록(A), 보라(P) — 으로 칠했습니다. 같은 정육면체를 세 방향에서 본 그림이 주어져 있고, 각 그림에는 한 꼭짓점에서 만나는 세 면이 보입니다. 이 세 장의 그림을 종합해서, 청록색 면의 맞은편 면은 무슨 색인지 알아내야 합니다.

주어진 것: 정육면체에는 서로 다른 색의 면이 $6$ 개: R, W, G, B, A, P; 그림 1의 꼭짓점에서 만나는 세 면: $R, B, G$; 그림 2의 꼭짓점에서 만나는 세 면: $W, B, R$; 그림 3의 꼭짓점에서 만나는 세 면: $P, R, G$; 한 꼭짓점에서 만나는 세 면은 서로 이웃이다 (양쪽 둘씩 모두 맞닿음); 청록(A) 은 세 그림 어디에도 보이지 않음

구하는 것: 청록(A) 면의 맞은편(반대편) 면의 색

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #10 직접 만져보기, #16 관점 바꾸기

정육면체의 면 배치를 알아내는 입체 문제라서 도구 #17(공간 상상하기) 이 가장 자연스럽게 들어맞습니다. 초등 저학년 학습자라면 실제 주사위나 종이 정육면체로 직접 만져 보는 도구 #10 이 "맞닿는 면" 의 감각을 한 번에 잡아 줍니다. 핵심 관찰은 빨강(R) 이 세 그림 모두에 등장한다는 것이에요 — 그래서 빨강을 "축" 으로 삼아 세 그림의 이웃 정보를 모두 모으면 빨강과 맞닿는 면들의 전체 목록을 만들 수 있습니다. 그 다음에는 도구 #16(관점 바꾸기) 을 써서 청록을 직접 찾는 대신 "빨강의 맞은편 면이 무엇인가" 를 먼저 알아낸 뒤, "맞은편" 관계의 대칭성을 이용해 질문을 뒤집어 답을 얻습니다.

실행 — 정답: A

#17 공간 상상하기 K.G.B.4 단계 1

정육면체의 기본 구조를 먼저 떠올립니다.
정육면체에는 면이 $6$ 개 있고, 어느 한 면이든 모서리를 따라 맞닿는 이웃 면이 $4$ 개, 그리고 반대쪽에서 마주 보는 맞은편 면이 $1$ 개 있습니다.

$$6 = 1 \,(\text{자기 자신}) + 4 \,(\text{이웃 면}) + 1 \,(\text{맞은편 면})$$

💡 정육면체의 한 면이 이웃 $4$ 개 $+$ 맞은편 $1$ 개를 갖는다는 사실은 유치원 수준 입체도형 감각만으로도 충분합니다.

#10 직접 만져보기 K.G.B.4 단계 2

세 그림에서 한 꼭짓점에 모인 세 면을 각각 읽어 둡니다.
한 꼭짓점에서 만나는 세 면은 서로 둘씩 모두 맞닿으므로, 그림 한 장마다 "누가 누구와 이웃인지" 정보 한 묶음이 생깁니다.

그림 1: $\{R, B, G\}$, 그림 2: $\{W, B, R\}$, 그림 3: $\{P, R, G\}$

💡 실제 정육면체를 손에 들고 한 꼭짓점을 짚어 보면 "세 면이 동시에 만난다" 는 사실이 손으로 바로 느껴집니다.

#17 공간 상상하기 K.G.B.4 단계 3

빨강(R) 을 축으로 삼아 세 그림에서 빨강과 함께 등장한 면들을 모두 모읍니다.

$R$ 의 이웃들 = $\{B, G\} \cup \{W, B\} \cup \{P, G\} = \{B, G, W, P\}$

💡 세 꼭짓점에서 모은 이웃들을 한 곳에 합치면 "빨강 둘레" 의 전체 그림이 만들어집니다.

#16 관점 바꾸기 K.OA.A.2 단계 4

빨강의 맞은편 면을 제거법으로 찾습니다.
빨강은 이웃이 $4$ 개(B, G, W, P), 맞은편이 $1$ 개여야 합니다.
전체 색 $\{R, W, G, B, A, P\}$ 에서 빨강 자신과 네 이웃을 빼면 단 하나의 색만 남습니다.

$\{R, W, G, B, A, P\} \setminus \{R, B, G, W, P\} = \{A\}$ — 즉, 빨강의 맞은편 면은 청록(A)

💡 $6$ 가지 색 중 $5$ 가지가 자리 잡았으니 남은 $1$ 가지(청록) 가 곧 맞은편 — "$6$ 빼기 $5$ 는 $1$" 의 유치원 셈입니다.

#17 공간 상상하기 K.G.B.4 단계 5

"맞은편" 관계는 양방향이므로 화살표를 뒤집습니다.
청록이 빨강의 맞은편이라면 빨강도 청록의 맞은편입니다.
따라서 청록 면의 맞은편 면은 빨강 — 답 (A) 입니다.

$$\text{청록의 맞은편 } = \text{빨강의 맞은편을 거꾸로 본 것} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 정육면체의 맞은편 면은 항상 짝을 이루므로, 한쪽 방향을 알면 반대 방향도 동시에 정해집니다.

[1] #17 K.G.B.4 정육면체의 기본 구조를 먼저 떠올립니다. 정육면체에는 면이 $6$ 개 있고, 어느 한 면이든 모서리를 따라 맞닿는 이웃 면이 $4$ 개, 그리고

[2] #10 K.G.B.4 세 그림에서 한 꼭짓점에 모인 세 면을 각각 읽어 둡니다. 한 꼭짓점에서 만나는 세 면은 서로 둘씩 모두 맞닿으므로, 그림 한 장마다 "누가 누

[3] #17 K.G.B.4 빨강(R) 을 축으로 삼아 세 그림에서 빨강과 함께 등장한 면들을 모두 모읍니다.

[4] #16 K.OA.A.2 빨강의 맞은편 면을 제거법으로 찾습니다. 빨강은 이웃이 $4$ 개(B, G, W, P), 맞은편이 $1$ 개여야 합니다. 전체 색 ${R, W

[5] #17 K.G.B.4 "맞은편" 관계는 양방향이므로 화살표를 뒤집습니다. 청록이 빨강의 맞은편이라면 빨강도 청록의 맞은편입니다. 따라서 청록 면의 맞은편 면은 빨강

검토

합리성 확인: 다른 색을 축으로 삼아 한 번 더 확인합니다. 그림 2 에서 갈색(B) 은 빨강·흰색과 맞닿고, 그림 1 에서는 갈색이 초록과도 맞닿습니다 — 즉 갈색의 이웃 후보는 $\{R, W, G\}$ 로, 청록이 다른 자리에 있다는 결론과 전혀 모순되지 않습니다. 무엇보다 청록(A) 이 세 그림 어디에도 보이지 않는 것은, 청록이 정육면체의 "뒤쪽" — 즉 매번 빨강 면에 가려지는 자리 — 에 있다는 답과 정확히 들어맞습니다. 답 (A) 빨강은 모든 그림과 모순 없이 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #10(직접 만져보기) — 실제 작은 정육면체나 각설탕에 색종이 스티커 $6$ 장을 붙여 봅니다. 빨강(R) 을 윗면에 두고 그림 1 에 맞춰 갈색(B) 을 앞면, 초록(G) 을 오른쪽 면에 둡니다. 그림 2 에 맞춰 빨강-갈색 모서리를 유지하면 흰색(W) 은 왼쪽 면에 자연스럽게 들어갑니다. 그림 3 에 맞춰 빨강-초록 모서리를 유지하면 보라(P) 가 뒷면에 들어갑니다. 그러면 한 번도 사용되지 않은 면은 "바닥면" — 빨강의 정반대 자리 — 이고 거기에 청록(A) 이 와야 합니다. 따라서 청록의 맞은편은 빨강.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 0)

K.G.B.4 이차원·삼차원 도형의 속성을 비교·분석하기 (정육면체는 면이 $6$ 개이고 각 면은 이웃 $4$ 개와 맞은편 $1$ 개를 가진다는 기본 구조, 그리고 한 꼭짓점에서 만나는 세 면이 서로 둘씩 모두 맞닿는다는 사실을 사용.)
K.OA.A.2 $10$ 이내의 덧셈·뺄셈 문장제 해결 (전체 $6$ 가지 색에서 빨강과 그 이웃 $4$ 가지 (합쳐 $5$ 가지) 를 제거해 남는 $1$ 가지 색(청록) 을 찾는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 유치원 때 배운 정육면체 감각과 "$6$ 빼기 $5$ 는 $1$" 의 덧·뺄셈만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 0)

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