AMC 8 · 1999 · #8

학년 6 geometry-3d

spatial-visualizationpolyhedron-netsface-adjacencynet-folding physical-representationcasework ↑ 선수 지식: spatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Six squares are colored, front and back, (R = red, B = blue, O = orange, Y = yellow, G = green, and W = white). They are hinged together as shown, then folded to form a cube. The face opposite the white face is

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 여섯 개의 정사각형이 각각 한 가지 색(빨강 R, 파랑 B, 주황 O, 노랑 Y, 초록 G, 흰색 W)으로 앞뒤 모두 칠해져 있고, 그림과 같이 경첩으로 이어진 전개도가 주어집니다. 이 전개도를 접어 정육면체를 만들 때, 흰색 면과 마주보는 면의 색은 무엇일까요?

주어진 것: 전개도의 배치(가로 한 줄로 보면): 윗줄은 $R, B$ ($B$는 $R$의 오른쪽), 가운데 줄은 $G, Y, O$ ($G$는 $B$ 아래, $Y$는 $G$의 오른쪽, $O$는 $Y$의 오른쪽), $W$는 $Y$의 바로 아래; 각 정사각형은 앞면과 뒷면이 같은 색이므로 접는 방향이 색을 바꾸지 않는다; 접으면 여섯 정사각형이 정육면체의 여섯 면을 이룬다; 선택지: (A) B, (B) G, (C) O, (D) R, (E) Y

구하는 것: 완성된 정육면체에서 흰색 면과 정확히 마주보는 면의 색

이해

계획

주요 도구: #17 공간 상상하기

보조 도구: #10 직접 만져보기, #3 가능성 지우기

2D 전개도를 보고 접어서 만들어지는 3D 정육면체의 면 관계를 묻는 문제 — 도구 #17(공간 상상하기)의 전형적인 신호입니다. 한 칸을 바닥으로 고정한 뒤 나머지 칸들을 그 주위로 접어 가며 각 색이 어느 면에 가는지 추적합니다. 도구 #10(직접 만져보기)은 안전망입니다. 머릿속 접기가 자신 없으면 종이에 전개도를 옮겨 그리고 색을 표시한 뒤 실제로 접어 보면 됩니다 — 3D 기하에서는 "손으로 한 번 만져보는 것"이 권장됩니다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 검산합니다. $W$ 와 경첩으로 직접 닿는 칸과 그 한 칸 건너 칸들은 접은 뒤 $W$ 와 이웃하므로 $W$ 의 맞은편이 될 수 없습니다 — 이걸로 선택지 셋을 지울 수 있습니다.

실행 — 정답: A

#17 공간 상상하기 6.G.A.4 단계 1

기준 면을 정하고 방향을 잡습니다.
$Y$ 를 정육면체의 "앞면"으로 둡니다.
전개도에서 $G$ 는 $Y$ 의 왼쪽, $O$ 는 $Y$ 의 오른쪽, $W$ 는 $Y$ 의 바로 아래에 붙어 있습니다.
이 셋은 $Y$ 와 경첩으로 직접 연결되어 있으므로, 접으면 모두 $Y$ 와 맞닿는 옆면이 됩니다.

$$\text{기준}=Y \;\Rightarrow\; G,\,O,\,W \text{ 각각이 } Y \text{와 경첩 공유}$$

💡 6학년: 정육면체 전개도는 정육면체의 표면을 펼쳐 놓은 것. 기준 면과 경첩을 공유하는 칸은 모두 그 기준 면과 맞닿는 옆면이 됩니다.

#10 직접 만져보기 6.G.A.4 단계 2

세 옆면을 접어 세웁니다.
$Y$-$G$ 경첩을 따라 $G$ 를 뒤로 접으면 $G$ 는 정육면체의 왼쪽 면.
$Y$-$O$ 경첩을 따라 $O$ 를 뒤로 접으면 $O$ 는 오른쪽 면.
$Y$-$W$ 경첩을 따라 $W$ 를 위로 접으면 $W$ 는 바닥 면이 됩니다.

$$\text{앞}=Y,\;\text{왼쪽}=G,\;\text{오른쪽}=O,\;\text{바닥}=W$$

💡 전개도를 종이로 오려 손으로 접을 때 처음 하는 동작 그대로입니다. $Y$ 의 이웃 셋을 각각 $Y$ 와 수직이 되도록 일으켜 세워요.

#17 공간 상상하기 6.G.A.4 단계 3

남은 두 면을 마저 접습니다.
$B$ 는 $G$ 의 위쪽 모서리에 경첩으로, $R$ 은 $B$ 의 위쪽 모서리에 경첩으로 붙어 있습니다.
$G$ 가 정육면체의 왼쪽 면이 되었으므로 $G$ 의 위쪽 모서리는 "왼쪽 면과 윗면이 만나는 모서리"가 됩니다.
그 모서리를 따라 $B$ 를 접으면 $B$ 는 정육면체의 윗면.
이어서 $R$ 은 $B$-$G$ 경첩의 반대쪽 모서리에 붙어 있고, 그 모서리는 윗면의 "뒤쪽 모서리"에 해당하므로 $R$ 을 그 뒤쪽 모서리에서 아래로 접으면 $R$ 은 뒷면이 됩니다.

$$\text{위}=B,\;\text{뒤}=R$$

💡 경첩으로 줄줄이 이어진 칸들은 접이식 자처럼 차례로 접힙니다. 새 칸은 이미 세워진 정육면체의 "바깥쪽 빈 모서리"를 따라 돌아 들어옵니다.

#3 가능성 지우기 6.G.A.4 단계 4

$W$ 의 맞은편 면을 읽어 냅니다.
마주보는 면 쌍은 위/아래, 앞/뒤, 왼쪽/오른쪽 — 세 쌍입니다.
위 구성에서 앞 $=Y$, 뒤 $=R$, 위 $=B$, 바닥 $=W$, 왼쪽 $=G$, 오른쪽 $=O$.
따라서 흰색 면(바닥)의 맞은편은 윗면, 즉 $B$.

$$\text{바닥}=W \;\Rightarrow\; \text{맞은편}=\text{위}=B \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 선택지로 검산: $Y, G, O$ 는 접은 뒤 모두 $W$ 와 이웃하므로 $W$ 의 맞은편이 될 수 없음 → (E), (B), (C) 제외. $R$ 은 윗면 $B$ 의 뒤쪽 모서리에서 만나는 "$B$ 의 이웃"이므로 $B$ 와 같지 않음 → (D) 제외. 남는 것은 (A)뿐.

[1] #17 6.G.A.4 기준 면을 정하고 방향을 잡습니다. $Y$ 를 정육면체의 "앞면"으로 둡니다. 전개도에서 $G$ 는 $Y$ 의 왼쪽, $O$ 는 $Y$ 의 오른

[2] #10 6.G.A.4 세 옆면을 접어 세웁니다. $Y$-$G$ 경첩을 따라 $G$ 를 뒤로 접으면 $G$ 는 정육면체의 왼쪽 면. $Y$-$O$ 경첩을 따라 $O$

[3] #17 6.G.A.4 남은 두 면을 마저 접습니다. $B$ 는 $G$ 의 위쪽 모서리에 경첩으로, $R$ 은 $B$ 의 위쪽 모서리에 경첩으로 붙어 있습니다. $G$

[4] #3 6.G.A.4 $W$ 의 맞은편 면을 읽어 냅니다. 마주보는 면 쌍은 위/아래, 앞/뒤, 왼쪽/오른쪽 — 세 쌍입니다. 위 구성에서 앞 $=Y$, 뒤 $=R$

검토

합리성 확인: 이웃 관계로 정합성을 확인합니다. 전개도에서 $W$ 는 $Y$ 에 경첩으로 붙어 있으므로 $W$ 와 $Y$ 는 이웃 — 맞은편이 될 수 없습니다. 접은 뒤 바닥인 $W$ 는 윗면을 제외한 모든 옆면과 닿으므로 $W$ 의 이웃은 $Y$(앞), $G$(왼), $O$(오른), $R$(뒤). $W$ 가 닿지 않는 유일한 면은 윗면 $B$ 뿐이니 (A) 가 확정됩니다. 또 다른 검산: 전개도의 "한 줄로 늘어선 세 칸"의 양 끝은 접으면 마주보는 면이 됩니다. 사슬 $W \to Y \to G \to B$ 를 따라가면 $B$ 가 윗면으로 올라가고 $W$ 는 바닥에 남아, 다시 $W$ 의 맞은편이 $B$ 임이 확인됩니다.

대안 접근: 도구 #10(직접 만져보기): 전개도를 종이에 옮겨 그리고 각 칸에 색을 표시한 뒤 경첩을 따라 실제로 접어 정육면체를 만듭니다. 흰색 면을 바닥에 두면 위에 오는 면은 $B$ — 답 (A). 머릿속 접기가 헷갈릴 때 가장 확실한 방법입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.G.A.4 직사각형과 삼각형으로 이루어진 전개도로 입체도형을 나타내고 겉넓이를 구하기 (경첩으로 이어진 2D 배치를 정육면체 전개도로 읽고, 머리와 손으로 접어서 흰색 면의 맞은편에 어떤 색이 오는지 식별하는 데 사용.)

⭐ 한 칸을 바닥으로 고정하고 나머지를 그 주위로 접어 "마주보는 쌍"을 읽어 내면 됩니다 — 6학년 전개도 접기로 $W$ 의 맞은편은 $B$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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