AMC 8 · 2019 · #13

• 두 자리 회문을 전부 나열합니다.
• 두 자리 수 $\overline{ab}$ 가 회문이 되려면 십의 자리와 일의 자리가 같아야 하므로, 가능한 회문은 다음 아홉 개뿐입니다.

💡 두 자리 수가 "십의 자리 + 일의 자리" 로 이루어진다는 1학년 자릿값 개념이 곧 어떤 두 자리 수가 회문이 되는지 알려줍니다.

• 패턴을 발견합니다.
• 위 아홉 개는 모두 $11$ 의 배수입니다: $11 = 11 \cdot 1, 22 = 11 \cdot 2, \ldots, 99 = 11 \cdot 9$.
• (이유: 두 자리 회문 $\overline{aa}$ 는 $10a + a = 11a$ 이기 때문.)

💡 $10a + a$ 를 $11 \cdot a$ 로 묶어 쓰는 것은 4학년 곱셈(분배법칙) 그대로이고, 이 식 한 줄이 "모두 $11$ 의 배수" 라는 패턴을 깔끔하게 드러냅니다.

• $N = P_1 + P_2 + P_3$ 에서 $P_i$ 가 모두 $11$ 의 배수이므로, 그 합인 $N$ 도 반드시 $11$ 의 배수입니다.
• 따라서 후보를 "세 자리 $11$ 의 배수" 로 제한할 수 있습니다.

💡 $11$ 의 배수끼리 더해도 여전히 $11$ 의 배수라는 사실은 4학년 "배수" 개념이고, 이 한 줄로 탐색 범위가 확 줄어듭니다.

• 세 자리 $11$ 의 배수를 작은 수부터 차례로 적으면서 "회문이 아닌" 첫 번째 후보를 찾습니다.
• $110$?
• 거꾸로 읽으면 $011$ 이라 회문이 아님 — 통과.
• $121$?
• 회문이라 탈락.
• $132$?
• 회문은 아니지만 이미 $110$ 보다 크므로 후보로서 의미 없음.

💡 세 자리 수의 백·십·일의 자리 숫자를 읽어 거꾸로 읽었을 때 같은지 확인하는 것은 2학년 자릿값 그대로입니다.

• $110$ 이 정말로 서로 다른 두 자리 회문 세 개의 합으로 만들어지는지 확인합니다.
• 작은 회문 두 개부터 시작해 봅니다 — $11 + 22 = 33$ 이므로 나머지는 $110 - 33 = 77$.
• 그런데 $77$ 역시 두 자리 회문이고 $11, 22$ 와도 서로 다릅니다.
• 따라서 $110 = 11 + 22 + 77$ 로 깔끔하게 구성됩니다.

💡 두 자리 수 세 개를 더해서 $1000$ 이하의 목표값을 맞춰 보는 것은 2학년 덧셈 전략이고, "추측하고 확인하기" 의 기본 동작입니다.

마지막으로 $N = 110$ 의 자릿수의 합을 구합니다.

💡 한 자리 수 세 개를 더하는 것은 1학년 "합이 $20$ 이하인 세 수의 덧셈" 표준입니다.