AMC 8 · 2025 · #23

쉬운 모드 학년 5

📗 원본 문제 보기 →

문제

다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 네 자리 수를 찾고 있어요.

(I) 그 수를 봤을 때, 끝의 두 자리(십의 자리와 일의 자리)가 둘 다 $9$ 입니다. 그러니까 $\_\_99$ 모양으로 생긴 수예요.

(II) 그 수에 $1$ 을 더하면 완전제곱수가 됩니다. (완전제곱수란 $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ 처럼 어떤 정수를 자기 자신과 곱해서 나오는 수를 말해요.)

(III) 그 수는 정확히 두 소수를 곱한 결과로 나타낼 수 있어요. (소수란 $2, 3, 5, 7, 11, \ldots$ 처럼 $1$ 보다 큰 자연수 중에서 $1$ 과 자기 자신으로만 나누어지는 수예요.)

이 세 조건을 모두 만족하는 네 자리 수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1000$ 부터 $9999$ 까지의 네 자리 자연수 $N$ 중에서 다음 세 조건을 동시에 만족하는 수가 몇 개인지 구하는 문제입니다. (I) $N$ 의 십의 자리와 일의 자리가 모두 $9$, (II) $N + 1$ 이 완전제곱수, (III) $N$ 을 소인수분해하면 정확히 두 소수의 곱이다.

주어진 것: $N$ 은 네 자리 수이므로 $1000 \le N \le 9999$; $N$ 의 십의 자리와 일의 자리가 모두 $9$ — 즉 $N$ 은 $99$ 로 끝남; 어떤 자연수 $k$ 에 대해 $N = k^{2} - 1$; $N = p \times q$ (단, $p$, $q$ 는 소수) — 중복을 포함해 정확히 두 개의 소인수만 가짐; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

구하는 것: 세 조건을 모두 만족하는 네 자리 수 $N$ 의 개수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

조건 (I) 과 (II) 를 합치는 작은 문제가 핵심입니다 — $N$ 이 $99$ 로 끝나면 $N + 1 = k^{2}$ 은 $00$ 으로 끝나야 하므로 $k$ 가 $10$ 의 배수로 강제됩니다 (도구 #7: 작은 문제로 쪼개기). 그러면 수천 개 후보가 단 일곱 개의 $k$ 값 $40, 50, \ldots, 100$ 으로 줄어드는데, 이 후보들을 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 순서대로 적어 봅니다. 조건 (III) 검사는 $k^{2} - 1 = (k-1)(k+1)$ 라는 인수분해를 이용 — $k-1$ 과 $k+1$ 이 둘 다 소수여야 한다는 깔끔한 기준이 나오므로 도구 #3(가능성 지우기) 으로 합성수가 나오는 $k$ 를 차례차례 지웁니다. 곱셈과 소수 판정 외에 대수는 전혀 필요하지 않습니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.A.2 단계 1

조건 (I) 과 (II) 를 합쳐 봅니다.
"$99$ 로 끝난다" 는 말은 $N + 1$ 이 $00$ 으로 끝난다, 즉 $N + 1$ 이 $100$ 의 배수라는 뜻입니다.
그런데 $N + 1 = k^{2}$ 이므로 완전제곱수 $k^{2}$ 이 $00$ 으로 끝나야 하고, 어떤 수의 제곱이 $00$ 으로 끝나려면 그 수가 $0$ 으로 끝나야만 합니다.
따라서 $k$ 는 $10$ 의 배수입니다.

$$N + 1 \equiv 00 \pmod{100} \;\Rightarrow\; k^{2}\text{ 이 } 00\text{ 으로 끝남} \;\Rightarrow\; k = 10m$$

💡 끝자리 $0$ 의 개수에 관한 자릿값 패턴은 5학년 표준 — $00$ 으로 끝나는 제곱수는 $0$ 으로 끝나는 수에서만 나옵니다.

#2 빠짐없이 나열하기 5.NBT.B.5 단계 2

네 자리 조건으로 $k$ 의 범위를 좁힙니다.
$1000 \le N \le 9999$ 에서 $1001 \le k^{2} \le 10000$.
여기에 $k = 10m$ 을 더하면 후보는 $k = 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100$ 일곱 개뿐입니다 ($30^{2} = 900$ 은 너무 작고, $110^{2} = 12100$ 은 너무 큼).

$$1001 \le k^{2} \le 10000,\; k = 10m \;\Rightarrow\; k \in \{40, 50, 60, 70, 80, 90, 100\}$$

💡 $40^{2}, 50^{2}, \ldots$ 같은 여러 자릿수 곱셈은 5학년 유창성 표준으로 후보 범위 확인에 충분합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 3

$k^{2} - 1 = (k-1)(k+1)$ 이라는 합·차의 곱 형태로 분해합니다 (직접 전개해 보면 바로 확인됩니다).
이것이 결정적 관찰입니다 — $N$ 은 이미 $(k-1)$ 과 $(k+1)$ 의 곱이므로, $N$ 이 정확히 두 소수의 곱이 되려면 $k-1$ 과 $k+1$ 이 모두 소수여야만 합니다.
둘 중 하나라도 합성수면 그 안에서 또 다른 소인수가 튀어나오기 때문입니다.

$$N = k^{2} - 1 = (k-1)(k+1)$$

💡 $(k-1)(k+1) = k^{2}-1$ 확인은 단순 곱셈이고, "소수인가?" 판정은 4학년 소수·합성수 표준 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

이제 일곱 개 후보를 차례로 점검해 $k-1$ 이나 $k+1$ 이 합성수인 경우를 지웁니다.
살아남는 것은 $k = 60$ 단 하나뿐 — $59$ 와 $61$ 이 모두 소수(쌍둥이 소수)이기 때문입니다.
이때 $N = 59 \times 61 = 3599$.

$$\begin{aligned} k=40:&\;(39,41),\;39=3\cdot 13\;\text{X} \\ k=50:&\;(49,51),\;49=7^{2}\;\text{X} \\ k=60:&\;(59,61)\;\text{둘 다 소수}\;\checkmark \\ k=70:&\;(69,71),\;69=3\cdot 23\;\text{X} \\ k=80:&\;(79,81),\;81=3^{4}\;\text{X} \\ k=90:&\;(89,91),\;91=7\cdot 13\;\text{X} \\ k=100:&\;(99,101),\;99=9\cdot 11\;\text{X} \end{aligned}$$

💡 각 $k-1$, $k+1$ 을 시험 나눗셈으로 소수 판정하는 것은 4학년 "소수·합성수 판별" 작업 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 5

세 조건을 모두 만족하는 네 자리 수는 $N = 3599 = 59 \times 61$ 단 하나입니다.
따라서 답은 $1$ 개, 선택지 (B).

$$\text{개수} = 1 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 체계적 목록에서 살아남은 후보의 수를 세는 것은 4학년 수준의 셈입니다.

[1] #7 5.NBT.A.2 조건 (I) 과 (II) 를 합쳐 봅니다. "$99$ 로 끝난다" 는 말은 $N + 1$ 이 $00$ 으로 끝난다, 즉 $N + 1$ 이 $10

[2] #2 5.NBT.B.5 네 자리 조건으로 $k$ 의 범위를 좁힙니다. $1000 \le N \le 9999$ 에서 $1001 \le k^{2} \le 10000$. 여

[3] #7 4.OA.B.4 $k^{2} - 1 = (k-1)(k+1)$ 이라는 합·차의 곱 형태로 분해합니다 (직접 전개해 보면 바로 확인됩니다). 이것이 결정적 관찰입니

[4] #3 4.OA.B.4 이제 일곱 개 후보를 차례로 점검해 $k-1$ 이나 $k+1$ 이 합성수인 경우를 지웁니다. 살아남는 것은 $k = 60$ 단 하나뿐 — $59

[5] #2 4.OA.B.4 세 조건을 모두 만족하는 네 자리 수는 $N = 3599 = 59 \times 61$ 단 하나입니다. 따라서 답은 $1$ 개, 선택지 (B).

검토

합리성 확인: 유일한 정답 $3599$ 를 다시 점검해 봅니다 — $99$ 로 끝나고 (조건 I), $3599 + 1 = 3600 = 60^{2}$ 으로 완전제곱수보다 $1$ 작으며 (조건 II), $3599 = 59 \times 61$ 로 두 소수의 곱입니다 (조건 III). 세 조건 모두 통과. 또 답이 $1$ 인 것도 자연스럽습니다 — 쌍둥이 소수는 큰 수로 갈수록 드물게 나타나므로 좁은 구간에서 하나만 발견되는 것은 전형적인 결과이지 의심할 일이 아닙니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 로 접근하기. $(k-1)(k+1)$ 분해를 알아채지 못했다면, 일곱 개 후보 $N = 1599, 2499, 3599, 4899, 6399, 8099, 9999$ 를 직접 적은 뒤 $\sqrt{N} \approx 100$ 까지 시험 나눗셈으로 소인수분해해도 됩니다. 계산은 더 많지만, 도구 #3 으로 소인수가 셋 이상 나오는 후보를 차례로 지워 가면 결국 $3599 = 59 \times 61$ 만 남는 같은 결론에 도달합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NBT.A.2 끝자리 $0$ 의 개수 및 소수점 위치 패턴 설명 (완전제곱수가 $00$ 으로 끝나려면 그 밑의 수가 $0$ 으로 끝나야 한다는 것 — 즉 $k$ 가 $10$ 의 배수임을 끌어내는 데 사용.)
5.NBT.B.5 여러 자릿수 자연수의 유창한 곱셈 ($40^{2}, 50^{2}, \ldots, 100^{2}$ 을 계산해 $N = k^{2} - 1$ 이 네 자리 범위 안에 들어오는 $k$ 후보를 확정.)
4.OA.B.4 약수 쌍 찾기·배수 인식·소수와 합성수 판별 (각 후보 $k$ 에 대해 $k-1$ 과 $k+1$ 이 소수인지(쌍둥이 소수인지) 검사 — $N = (k-1)(k+1)$ 이 정확히 두 소수의 곱이 되는 것은 두 인수가 모두 소수일 때뿐이기 때문.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 5학년 때 배운 자릿값·끝자리 $0$ 의 패턴과 4학년 때 배운 "소수·합성수 판별" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

비슷한 유형 더 풀어보기