AMC 10 · 2017 · #18

학년 8 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicsequences-geometric convert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어밀리아와 블레인이 각자의 동전을 번갈아 던지는데 어밀리아가 먼저 던지고, 먼저 앞면을 내는 사람이 이긴다. 어밀리아의 동전은 확률

\frac{1}{3}

로 앞면이 나오고 블레인의 동전은 확률

\frac{2}{5}

로 앞면이 나오며, 모든 던지기는 독립이다. 어밀리아가 이길 확률을 기약분수

\frac{p}{q}

로 나타낼 때, q-p를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

도구 #4(변수 도입하기): 게임이 영원히 이어질 수 있으므로 무한히 많은 차례를 일일이 더하는 대신, 어밀리아가 이길 확률을 a로 두고 게임의 자기닮음을 이용한다. 핵심 관찰은 어밀리아가 실패하고 이어서 블레인도 실패하면 똑같은 상황에서 다시 어밀리아의 차례가 되므로, 그 지점부터 이길 확률도 다시 a라는 점이다. 도구 #16(관점 바꾸기): 게임이 어밀리아에게 되돌아오는 유일한 경우는 이번 라운드에서 아무도 이기지 못하는 것, 즉 둘 다 뒷면이 나오는 것이며, 이는 각 던지기에서 곧바로 이기는 사건의 여사건이다. 도구 #13(대수로 바꾸기): 자기닮음은 a에 대한 일차방정식 하나로 바뀌어 무한급수를 전혀 쓰지 않고 바로 풀 수 있다.

1STEP 1

답을 변수로 두고 반복 발견하기

어밀리아가 이길 확률을 a라 하자. 한 라운드에서 둘 다 실패하면 처음과 같은 상황이 되어 확률은 다시 a다.

a = Pr(어밀리아가 자기 차례에서 이김)

2STEP 2

게임이 어밀리아에게 돌아올 확률

이번 라운드에 승자가 없으려면 어밀리아 뒷면( $\frac{2}{3}$ ), 블레인 뒷면( $\frac{3}{5}$ )이어야 하고, 독립이므로 곱하면 $\frac{2}{5}$ 다.

\frac{2}{3}

\frac{3}{5}

\frac{6}{15}

\frac{2}{5}

3STEP 3

방정식 세우고 풀기

어밀리아는 지금 이기거나( $\frac{1}{3}$ ) 라운드가 되돌아와( $\frac{2}{5}$ ) 다시 a로 이기므로, a= $\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{5}$ ·a가 되어 a= $\frac{5}{9}$ 다.

\frac{1}{3}

\frac{2}{5}

a →

\frac{3}{5}

\frac{1}{3}

→ a=

\frac{1}{3}

\frac{5}{3}

\frac{5}{9}

4STEP 4

p, q 읽고 빼기

gcd(5,9)=1이라 $\frac{5}{9}$ 는 이미 기약이고, p=5, q=9이므로 q-p=9-5=4, 선택지 (D)다.

gcd(5,9)=1 → p=5, q=9 → q-p=9-5=4 → (D)

정답

먼저 던지는 것이 유리하므로 어밀리아의 승률은 절반보다 커야 하는데,

\frac{5}{9}

≈ 0.556은 실제로

\frac{1}{2}

보다 약간 크다 — 어밀리아의 한 번 앞면 확률

\frac{1}{3}

이 블레인의

\frac{2}{5}

보다 조금 낮지만 먼저 던지는 이점이 대략 상쇄하므로 합리적이다. 전체 급수의 처음 두 항

\frac{1}{3}

\frac{2}{5}

\frac{1}{3}

\frac{1}{3}

\frac{2}{15}

\frac{7}{15}

≈ 0.467이 이미

\frac{5}{9}

를 향해 올라가고 있어 방정식의 값을 뒷받침한다. 그러면 q-p=4는 선택지에 있으므로 (D)가 맞다.

💡핵심 정리

게임이 영원히 반복될 수 있으면 답을 a로 두고, 남은 게임이 시작의 복사본임을 알아채어 a= $\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{5}$ a 같은 방정식 하나를 세워 풀면 된다.

답을 변수로 두고 반복 발견하기
게임이 어밀리아에게 돌아올 확률
방정식 세우고 풀기
p, q 읽고 빼기

답을 변수로 두고 반복 발견하기

게임이 어밀리아에게 돌아올 확률

방정식 세우고 풀기

p, q 읽고 빼기

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