AMC 8 · 1999 · #11

• 십자 모양을 그리고 공유되는 칸을 표시합니다.
• 가로 줄에는 세 칸(왼쪽, 가운데, 오른쪽), 세로 열에도 세 칸(위, 가운데, 아래).
• 가운데 칸은 두 줄 모두에 속합니다.

💡 십자 그림을 그리면 한 칸이 두 줄에 함께 들어간다는 사실이 한눈에 보입니다. 그림 없이 풀면 가운데가 두 번 세어진다는 점을 놓치기 쉬워요.

• 가로 합과 세로 합을 더합니다.
• 바깥 네 수(위, 아래, 왼쪽, 오른쪽)는 한 번씩 세어지고 가운데 수는 두 번 세어집니다.
• 다섯 수의 총합은 $1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35$.

💡 각 칸이 (가로 합) + (세로 합) 에 몇 번 들어가는지 세 보면 가운데만 두 번 들어갑니다. 고정된 총합 $35$ 가 변하지 않는 값 — 어떤 수를 어디에 놓든 그대로예요.

• 식을 $S$ 에 대해 정리합니다.
• 양변을 $2$ 로 나눕니다.

💡 $S$ 는 이제 가운데 수에만 달려 있습니다. 양옆 네 칸은 여러 방식으로 놓을 수 있지만, 가운데가 정해지면 공통 합 $S$ 도 정해져요.

• $S$ 를 가장 크게 하려면 가운데 수를 가장 크게 합니다.
• 가장 큰 수는 $13$ 이므로 $13$ 을 가운데에 놓으면 $S = (35 + 13) / 2 = 48 / 2 = 24$.
• $S$ 가 정수인지도 확인 — $35 + 13 = 48$ 이 짝수이므로 정수가 됩니다.

💡 가운데가 크면 $S$ 도 커지니까 가장 큰 수를 넣습니다. $35 + \text{가운데}$ 가 짝수여야 정수 답이 나오는데, $13$ 일 때 짝수가 되어 깔끔하게 떨어집니다.

• 실제로 배치가 가능한지 확인합니다.
• 남은 네 수 $\{1, 4, 7, 10\}$ 을 양 끝 두 쌍으로 나누어 각 쌍의 합이 $S - 13 = 24 - 13 = 11$ 이 되어야 합니다.
• $(1, 10)$ 과 $(4, 7)$ 이 각각 $11$ 이므로 한 쌍은 가로 양 끝, 다른 쌍은 세로 위·아래에 놓으면 양쪽 합 모두 $13 + 11 = 24$.

💡 배치가 실제로 존재하므로 $S = 24$ 는 식상의 상한이 아니라 실제 도달 가능한 값입니다.