AMC 8 · 2006 · #25
학년 6 number-theory문제
Barry wrote 6 different numbers, one on each side of 3 cards, and laid the cards on a table, as shown. The sums of the two numbers on each of the three cards are equal. The three numbers on the hidden sides are prime numbers. What is the average of the hidden prime numbers?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 탁자 위에 카드 세 장이 놓여 있고, 보이는 면에는 $44$, $59$, $38$ 이 적혀 있습니다. 각 카드의 가려진 면에는 소수가 적혀 있고, 세 카드의 양면 합(보이는 수 $+$ 가려진 수)은 모두 같습니다. 가려진 세 소수의 평균을 구하세요.
주어진 것: 보이는 수: 세 카드에 각각 $44$, $59$, $38$; 가려진 수는 모두 소수이고, 여섯 개의 수(보이는 면 $+$ 가려진 면)는 모두 서로 다르다; 각 카드의 양면 합은 같은 상수 $S$ 이다; 선택지: (A) $13$, (B) $14$, (C) $15$, (D) $16$, (E) $17$
구하는 것: 가려진 세 소수 $h_1$, $h_2$, $h_3$ 과 그 평균 $\dfrac{h_1 + h_2 + h_3}{3}$
이해
문제 재정리: 탁자 위에 카드 세 장이 놓여 있고, 보이는 면에는 $44$, $59$, $38$ 이 적혀 있습니다. 각 카드의 가려진 면에는 소수가 적혀 있고, 세 카드의 양면 합(보이는 수 $+$ 가려진 수)은 모두 같습니다. 가려진 세 소수의 평균을 구하세요.
주어진 것: 보이는 수: 세 카드에 각각 $44$, $59$, $38$; 가려진 수는 모두 소수이고, 여섯 개의 수(보이는 면 $+$ 가려진 면)는 모두 서로 다르다; 각 카드의 양면 합은 같은 상수 $S$ 이다; 선택지: (A) $13$, (B) $14$, (C) $15$, (D) $16$, (E) $17$
계획
주요 도구: #11 변하지 않는 것 찾기
보조 도구: #4 변수 도입하기
가려진 소수 자체는 모르지만, 보이는 수가 짝수냐 홀수냐(패리티)는 이미 정해져 있습니다. 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)이 잡아내는 단서는 바로 이 패리티예요. $44 + h_1$ 과 $38 + h_3$ 은 $h_1$, $h_3$ 의 패리티를 그대로 따르고, $59 + h_2$ 는 $h_2$ 의 패리티를 뒤집습니다. 세 합이 모두 같아야 하니 패리티도 하나로 통일되어야 하고, 짝수 소수는 $2$ 단 하나뿐이므로 그 자리가 한 카드로 고정됩니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 공통합 $S$ 에 이름을 붙이면 나머지 두 소수는 단순한 뺄셈으로 떨어집니다.
실행 — 정답: B
4.OA.B.4 단계 1 - 각 보이는 수의 패리티를 읽습니다.
- 모든 카드의 공통합 $S$ 는 카드마다 같은 패리티를 가져야 합니다.
💡 여기서 변하지 않는 것은 패리티입니다. 짝수 $+$ 짝수 $=$ 짝수, 짝수 $+$ 홀수 $=$ 홀수이므로 보이는 면과 $S$ 가 가려진 소수의 패리티를 강제합니다.
4.OA.B.4 단계 2 - 패리티 불변량으로 가운데 카드를 특정합니다.
- 만약 $h_2$ 가 홀수라면 $59 + h_2$ 가 짝수가 되어 $S$ 도 짝수.
- 그러면 $44 + h_1$ 짝수이려면 $h_1$ 도 짝수, $38 + h_3$ 짝수이려면 $h_3$ 도 짝수가 되어야 합니다.
- 그런데 짝수 소수는 $2$ 하나뿐이고 여섯 수는 모두 달라야 하므로 짝수 소수 두 개를 동시에 둘 수 없습니다.
- 따라서 짝수 자리는 $h_2$ 입니다.
💡 "짝수 소수는 $2$ 하나뿐" 이라는 사실이 결정적입니다 — 짝수 자리가 한 카드로 고정되고, 홀수가 적힌 $59$ 카드만이 그 자리를 받을 수 있습니다.
6.EE.A.2 단계 3 - 공통합 $S$ 에 이름을 붙이고 가운데 카드에서 값을 읽습니다.
- $h_2 = 2$ 이므로 카드 합은 $59 + 2$.
💡 카드 한 장의 가려진 면이 정해지면 공통합이 곧바로 드러나고, 그 상수가 나머지 두 소수를 풀어 줍니다.
6.EE.B.7 단계 4 $S$ 에서 각 보이는 수를 빼서 나머지 두 가려진 소수를 구하고, 결과가 정말 소수인지 확인합니다.
💡 $h_1 = S - 44$, $h_3 = S - 38$ 은 한 단계 방정식. 소수임을 확인해 주면 패리티 논증이 실제로 모순 없는 답에 도달했음을 보장합니다.
6.SP.B.5 단계 5 세 가려진 소수의 평균을 구합니다.
💡 세 소수를 다 알아냈으니 평균은 그 합을 $3$ 으로 나눈 값.
4.OA.B.4 각 보이는 수의 패리티를 읽습니다. 모든 카드의 공통합 $S$ 는 카드마다 같은 패리티를 가져야 합니다. 4.OA.B.4 패리티 불변량으로 가운데 카드를 특정합니다. 만약 $h_2$ 가 홀수라면 $59 + h_2$ 가 짝수가 되어 $S$ 도 짝수. 그러면 $44 + 6.EE.A.2 공통합 $S$ 에 이름을 붙이고 가운데 카드에서 값을 읽습니다. $h_2 = 2$ 이므로 카드 합은 $59 + 2$. 6.EE.B.7 $S$ 에서 각 보이는 수를 빼서 나머지 두 가려진 소수를 구하고, 결과가 정말 소수인지 확인합니다. 6.SP.B.5 세 가려진 소수의 평균을 구합니다. 검토
합리성 확인: 여섯 수가 모두 다른지, 소수가 정말 소수인지 검토합니다. 보이는 수 $\{44, 59, 38\}$, 가려진 수 $\{17, 2, 23\}$ — 여섯 수 모두 서로 다르고 $17$, $2$, $23$ 은 전부 소수. 카드별 합도 $44 + 17 = 61$, $59 + 2 = 61$, $38 + 23 = 61$ 로 모두 같습니다. 평균 $14$ 는 선택지 $\{13, 14, 15, 16, 17\}$ 안에 들어가고, $2$ 와 $23$ 의 중간이 $12.5$ 인데 $17$ 과 $23$ 쪽의 무게가 평균을 위로 올려 $14$ 가 되는 것도 자연스럽습니다.
대안 접근: 도구 #6(추측해 보기): 어느 카드가 $2$ 를 숨기는지 후보를 하나씩 시험해 봅니다. $h_1 = 2$ 라 하면 $S = 46$ 이 되어 $h_2 = 46 - 59 = -13$ 은 양의 소수가 아니므로 탈락. $h_3 = 2$ 라 하면 $S = 40$ 이 되어 $h_2 = 40 - 59 = -19$ 로 또 탈락. 남는 후보는 $h_2 = 2$ 뿐이고, 이로부터 $S = 61$, $h_1 = 17$, $h_3 = 23$ 이 나와 평균은 $14$. 같은 답 (B) 를 다른 두 자리를 하나씩 배제하는 방식으로 얻습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.B.4약수 쌍 찾기, 배수 인식하기, 자연수가 소수인지 합성수인지 판별하기 (보이는 수의 패리티와 "짝수 소수는 $2$ 하나뿐" 이라는 사실을 이용해 어느 카드가 짝수 소수를 가리는지 특정하는 데 사용.)6.EE.A.2문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (카드 공통합에 $S$ 라는 이름을 붙여, 가려진 각 소수를 "$S$ 에서 보이는 수를 뺀 값" 으로 표현하는 데 사용.)6.EE.B.7$x + p = q$ 형태의 방정식을 세우고 푸는 실생활/수학 문제 해결 ($44 + h_1 = 61$ 과 $38 + h_3 = 61$ 을 풀어 $h_1 = 17$, $h_3 = 23$ 을 구하는 데 사용.)6.SP.B.5관측 개수와 중심 측도 등을 포함한 수치 자료 요약 (구한 세 소수의 평균 $(2 + 17 + 23) \div 3 = 14$ 를 계산하는 데 사용.)
⭐ 패리티가 자물쇠 역할을 합니다 — 세 카드 합의 패리티는 하나로 맞춰져야 하고, 짝수 소수는 $2$ 뿐이에요. 그 사실 하나로 $2$ 가 들어갈 카드는 홀수 $59$ 가 적힌 가운데 카드로 고정되고, 나머지 두 소수는 뺄셈으로 떨어집니다. 평균을 내면 $14$.
⭐ 패리티가 자물쇠 역할을 합니다 — 세 카드 합의 패리티는 하나로 맞춰져야 하고, 짝수 소수는 $2$ 뿐이에요. 그 사실 하나로 $2$ 가 들어갈 카드는 홀수 $59$ 가 적힌 가운데 카드로 고정되고, 나머지 두 소수는 뺄셈으로 떨어집니다. 평균을 내면 $14$.
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