AMC 8 · 1999 · #13

학년 6 arithmetic

mean-median-mode-rangemulti-digit-arithmeticlinear-equations-one-var identify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmean-median-mode-range

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The average age of the 40 members of a computer science camp is 17 years. There are 20 girls, 15 boys, and 5 adults. If the average age of the girls is 15 and the average age of the boys is 16, what is the average age of the adults?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어느 컴퓨터 과학 캠프에는 $40$ 명이 있고 전체 평균 나이가 $17$ 세입니다. 구성원은 여학생 $20$ 명(평균 $15$ 세), 남학생 $15$ 명(평균 $16$ 세), 어른 $5$ 명입니다. 어른들의 평균 나이를 구하세요.

주어진 것: 총원 $40$ 명, 전체 평균 나이 $17$ 세; 여학생 $20$ 명, 평균 나이 $15$ 세; 남학생 $15$ 명, 평균 나이 $16$ 세; 어른 $5$ 명, 평균 나이는 미지수; 선택지: (A) $26$, (B) $27$, (C) $28$, (D) $29$, (E) $30$

구하는 것: 어른 $5$ 명의 평균 나이

이해

계획

주요 도구: #11 변하지 않는 것 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

여기서 변하지 않는 양은 $40$ 명 전체 나이의 합입니다(도구 #11). 이 총합은 두 가지 방법으로 구할 수 있어요. 하나는 전체 평균에서 바로 구하는 법($17 \times 40$), 다른 하나는 세 그룹(여학생 $+$ 남학생 $+$ 어른)의 나이 합을 더하는 법. 둘은 반드시 같은 값이어야 하므로 어른들의 나이 합이 자연스럽게 정해집니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 큰 식 하나 대신 "평균 $\times$ 인원" 짧은 계산 세 개로 나누어 풀게 해 줍니다.

실행 — 정답: C

#11 변하지 않는 것 찾기 6.SP.B.5 단계 1

전체 평균에서 $40$ 명 나이의 총합을 구합니다.
평균 $\times$ 인원 $=$ 총합.

$$\text{전체 합} = 17 \times 40 = 680$$

💡 평균 $=$ 합 $\div$ 인원이므로 합 $=$ 평균 $\times$ 인원. 6학년 평균 정의를 거꾸로 쓴 것뿐입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.SP.B.5 단계 2

여학생 그룹과 남학생 그룹의 나이 합을 각각 구합니다.
각 그룹에서도 합 $=$ 평균 $\times$ 인원이 그대로 성립합니다.

$$\text{여학생 합} = 15 \times 20 = 300, \quad \text{남학생 합} = 16 \times 15 = 240$$

💡 전체 그룹을 작은 두 조각으로 나누면 계산이 짧아지고, 변수를 세울 필요도 없습니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 6.EE.B.7 단계 3

불변량을 이용합니다.
세 그룹 합(여학생 $+$ 남학생 $+$ 어른)은 전체 합 $680$ 과 같아야 하므로, 빼서 어른들의 나이 합을 구합니다.

$$\text{어른들의 합} = 680 - 300 - 240 = 140$$

💡 같은 전체 합을 다른 방식으로 셌을 때 비어 있는 자리가 곧 어른들의 몫입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.SP.B.5 단계 4

어른들의 나이 합을 어른의 수로 나누어 평균을 구합니다.

$$\text{어른 평균} = \dfrac{140}{5} = 28 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 다시 6학년 평균 공식, 평균 $=$ 합 $\div$ 인원. 합은 $140$, 인원은 $5$.

[1] #11 6.SP.B.5 전체 평균에서 $40$ 명 나이의 총합을 구합니다. 평균 $\times$ 인원 $=$ 총합.

[2] #9 6.SP.B.5 여학생 그룹과 남학생 그룹의 나이 합을 각각 구합니다. 각 그룹에서도 합 $=$ 평균 $\times$ 인원이 그대로 성립합니다.

[3] #11 6.EE.B.7 불변량을 이용합니다. 세 그룹 합(여학생 $+$ 남학생 $+$ 어른)은 전체 합 $680$ 과 같아야 하므로, 빼서 어른들의 나이 합을 구합니다

[4] #9 6.SP.B.5 어른들의 나이 합을 어른의 수로 나누어 평균을 구합니다.

검토

합리성 확인: $28$ 을 대입해 전체 평균을 다시 만들어 봅니다. 전체 나이의 합 $= 20(15) + 15(16) + 5(28) = 300 + 240 + 140 = 680$. 이를 $40$ 명으로 나누면 $680 \div 40 = 17$ 로 주어진 전체 평균과 일치합니다. 또한 어른 평균($28$)이 학생 평균($15$, $16$)보다 훨씬 높은 것도 자연스럽습니다. 어른은 단 $5$ 명뿐인데 캠프 평균을 십 대 중반에서 $17$ 까지 끌어올리려면 한 명 한 명이 학생들보다 많이 위여야 하니까요.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 어른 평균을 $x$ 로 두고 가중평균 식을 세웁니다. $\dfrac{20(15) + 15(16) + 5x}{40} = 17$. 풀면 $300 + 240 + 5x = 680$, 따라서 $5x = 140$ 이고 $x = 28$. 답은 같지만 "불변량 $+$ 뺄셈" 풀이보다 식이 무겁습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 관측 개수와 중심 측도 등을 포함한 수치 자료 요약 (평균 $=$ 합 $\div$ 인원(및 그 변형 합 $=$ 평균 $\times$ 인원)을 캠프 전체와 각 그룹에 적용하는 데 사용.)
6.EE.B.7 $x + p = q$ 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 ($300 + 240 + (\text{어른들의 합}) = 680$ 을 한 단계 방정식으로 읽고 빼서 어른들의 합을 구하는 데 사용.)

⭐ 캠프를 어떻게 나눠도 전체 나이의 합은 그대로 — 각 "평균" 을 합으로 바꿔 더하면 빠진 조각이 바로 보입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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