AMC 8 · 1999 · #16
학년 6 rate-ratio문제
Tori's mathematics test had 75 problems: 10 arithmetic, 30 algebra, and 35 geometry problems. Although she answered 70% of the arithmetic, 40% of the algebra, and 60% of the geometry problems correctly, she did not pass the test because she got less than 60% of the problems right. How many more problems would she have needed to answer correctly to earn a 60% passing grade?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 토리의 시험은 총 $75$ 문제(산술 $10$, 대수 $30$, 기하 $35$)였습니다. 산술 $70\%$, 대수 $40\%$, 기하 $60\%$ 를 맞혔고, 합격선은 전체의 $60\%$ 입니다. 합격하려면 몇 문제를 더 맞혀야 했을까요?
주어진 것: 전체 문제 수: $75$ ($10 + 30 + 35$); 산술 정답률: $10$ 문제 중 $70\%$; 대수 정답률: $30$ 문제 중 $40\%$; 기하 정답률: $35$ 문제 중 $60\%$; 합격 기준: $75$ 문제 중 $60\%$; 선택지: (A) $1$, (B) $5$, (C) $7$, (D) $9$, (E) $11$
구하는 것: 합격선까지 추가로 필요한 정답 수
이해
문제 재정리: 토리의 시험은 총 $75$ 문제(산술 $10$, 대수 $30$, 기하 $35$)였습니다. 산술 $70\%$, 대수 $40\%$, 기하 $60\%$ 를 맞혔고, 합격선은 전체의 $60\%$ 입니다. 합격하려면 몇 문제를 더 맞혀야 했을까요?
주어진 것: 전체 문제 수: $75$ ($10 + 30 + 35$); 산술 정답률: $10$ 문제 중 $70\%$; 대수 정답률: $30$ 문제 중 $40\%$; 기하 정답률: $35$ 문제 중 $60\%$; 합격 기준: $75$ 문제 중 $60\%$; 선택지: (A) $1$, (B) $5$, (C) $7$, (D) $9$, (E) $11$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기
"몇 문제 더?" 라는 큰 질문을 세 분야의 작은 질문으로 쪼개면 풀이가 훨씬 가벼워집니다 — 도구 #9. 세 분야는 서로 독립이라 각자 정답 수가 따로 나오죠. 6학년 "어떤 양의 몇 퍼센트" 계산을 세 번 한 뒤, 결과를 짧게 표로 정리(도구 #2)해 합을 구하고, 합격 기준인 "$75$ 의 $60\%$" 와 비교하면 마지막은 뺄셈 한 번으로 끝납니다.
실행 — 정답: B
6.RP.A.3 단계 1 - 각 분야의 정답 수를 구합니다.
- 모두 6학년 "어떤 양의 몇 퍼센트" 계산 — 백분율을 소수로 바꿔 곱하면 됩니다.
💡 시험을 한 번에 $75$ 문제로 다루는 것보다, 분야별로 "쪼개서" 푸는 편이 훨씬 쉬워요. 각 조각은 소수 곱셈 한 번뿐.
4.NBT.B.4 단계 2 세 분야의 정답 수를 한 줄로 정리해 더하면, 토리가 실제로 맞힌 총 문제 수가 나옵니다.
💡 수 세 개, 합 하나 — 짧게 적어 두면 어떤 분야도 빠뜨리지 않습니다.
6.RP.A.3 단계 3 - 합격 기준을 구합니다.
- 전체 $75$ 문제의 $60\%$.
💡 분야별 계산과 똑같은 "어떤 양의 몇 퍼센트" 방식, 이번에는 전체 시험에 적용.
4.NBT.B.4 단계 4 합격선에서 실제 정답 수를 빼면 "몇 문제 더 필요했는지" 가 나옵니다.
💡 "몇 문제 더?" 는 비교 뺄셈 — 목표값에서 실제값을 빼면 됩니다.
6.RP.A.3 각 분야의 정답 수를 구합니다. 모두 6학년 "어떤 양의 몇 퍼센트" 계산 — 백분율을 소수로 바꿔 곱하면 됩니다. 4.NBT.B.4 세 분야의 정답 수를 한 줄로 정리해 더하면, 토리가 실제로 맞힌 총 문제 수가 나옵니다. 6.RP.A.3 합격 기준을 구합니다. 전체 $75$ 문제의 $60\%$. 4.NBT.B.4 합격선에서 실제 정답 수를 빼면 "몇 문제 더 필요했는지" 가 나옵니다. 검토
합리성 확인: 백분율로 빠른 검토: $75$ 중 $40$ 은 약 $40/75 \approx 53\%$ — 합격선 $60\%$ 보다 낮으니, 토리가 떨어졌다는 문제 조건과 맞습니다. $53\%$ 와 $60\%$ 의 차이는 $75$ 의 약 $7\%$, 즉 $5$ 문제 정도이므로 답 (B) 와 일치합니다. 다른 선택지를 보면 (A) $1$ 은 거의 합격(차이 약 $1.3\%$, 너무 작음)이고, (D) $9$ 나 (E) $11$ 은 실제 정답률이 약 $48\%$ 가 되어 $40/75$ 와 어긋납니다. 일관된 답은 (B) $5$ 뿐.
대안 접근: 도구 #1(그림 그리기): 세 줄짜리 표를 만들어 "분야, 총 문제 수, 정답률, 정답 수" 열을 채웁니다. 오른쪽 열에 $7, 12, 21$ 을 적고 세로로 더해 $40$. 그 옆에 "합격선 = $75$ 의 $60\% = 45$" 를 적으면 두 합의 차이 $5$ 가 한눈에 보입니다(답 (B)). 표를 보면 어떤 분야가 가장 발목을 잡았는지도 분명한데, 대수($30$ 의 $40\% = 12$, $18$ 이었어야 함)에서 $6$ 문제 손해로 합격 실패 폭을 넉넉히 설명합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.RP.A.3비와 비율 추론으로 실생활·수학 문제를 해결하기(어떤 양의 백분율을 100당 비율로 구하기 포함) (분야별 정답 수($0.70 \times 10$, $0.40 \times 30$, $0.60 \times 35$)와 합격 기준($0.60 \times 75 = 45$)을 계산하는 데 사용.)4.NBT.B.4여러 자리 자연수의 덧셈과 뺄셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 계산하기 (세 분야 정답 수를 더해 $40$ 을 얻고, $45 - 40 = 5$ 로 추가로 필요한 정답 수를 구하는 데 사용.)
⭐ 시험을 세 분야로 쪼개 "어떤 양의 몇 퍼센트" 를 따로 계산해 합한 뒤 합격선과 비교 — 6학년 백분율 문제를 AMC 8 문장제로 차려낸 셈입니다.
⭐ 시험을 세 분야로 쪼개 "어떤 양의 몇 퍼센트" 를 따로 계산해 합한 뒤 합격선과 비교 — 6학년 백분율 문제를 AMC 8 문장제로 차려낸 셈입니다.