AMC 8 · 1999 · #25
학년 8 geometry-2d문제
Points , , and are midpoints of the sides of right triangle . Points , , are midpoints of the sides of triangle , etc. If the dividing and shading process is done 100 times (the first three are shown) and , then the total area of the shaded triangles is nearest
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 직각이등변삼각형 $\triangle ACG$ 는 직각이 $C$ 에 있고 두 변의 길이가 $AC = CG = 6$ 입니다. 각 변의 중점을 이으면 작은 삼각형 네 개가 만들어지고, 그중 한 개를 색칠합니다. 그다음 꼭짓점 $G$ 를 포함하는 위쪽 작은 삼각형 안에서 같은 "중점 잇고 색칠" 작업을 반복합니다. 이 과정을 $100$ 번 했을 때 색칠된 삼각형들의 넓이 합과 가장 가까운 정수를 구하세요.
주어진 것: $\triangle ACG$ 는 $C$ 에서 직각, 두 변 $AC = CG = 6$; 매 회차: 현재 직각이등변삼각형의 세 변 중점을 이어 $G$ 와 마주 보는 코너 삼각형을 색칠하고, $G$ 쪽 위 삼각형 안에서 같은 작업을 반복; 이 작업을 $100$ 번 반복; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $10$
구하는 것: $100$ 개 색칠된 삼각형 넓이 합과 가장 가까운 정수
이해
문제 재정리: 직각이등변삼각형 $\triangle ACG$ 는 직각이 $C$ 에 있고 두 변의 길이가 $AC = CG = 6$ 입니다. 각 변의 중점을 이으면 작은 삼각형 네 개가 만들어지고, 그중 한 개를 색칠합니다. 그다음 꼭짓점 $G$ 를 포함하는 위쪽 작은 삼각형 안에서 같은 "중점 잇고 색칠" 작업을 반복합니다. 이 과정을 $100$ 번 했을 때 색칠된 삼각형들의 넓이 합과 가장 가까운 정수를 구하세요.
주어진 것: $\triangle ACG$ 는 $C$ 에서 직각, 두 변 $AC = CG = 6$; 매 회차: 현재 직각이등변삼각형의 세 변 중점을 이어 $G$ 와 마주 보는 코너 삼각형을 색칠하고, $G$ 쪽 위 삼각형 안에서 같은 작업을 반복; 이 작업을 $100$ 번 반복; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $10$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기
문제 그림에 이미 색칠된 삼각형 세 개가 그려져 있어요. 도구 #1(그림 그리기)로 그림에서 각 변의 길이를 바로 읽어내고, 도구 #5(패턴 찾기)로 매 회차마다 변의 길이가 절반이라 넓이가 $\tfrac{1}{4}$ 로 줄어드는 깨끗한 패턴을 잡습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 "$100$ 회" 를 "무한히 많은 회" 로 바꿔 줘요. $\left(\tfrac{1}{4}\right)^{100}$ 은 어떤 반올림 오차보다도 훨씬 작으니 잘라낸 꼬리는 무시할 수 있고, $\tfrac{9}{2} + \tfrac{9}{8} + \tfrac{9}{32} + \cdots$ 의 끝없는 패턴 합이 정답인 "가장 가까운 정수" 를 그대로 줍니다.
실행 — 정답: A
7.G.B.6 단계 1 - 첫 번째 색칠된 삼각형을 그림에서 바로 읽어냅니다.
- $\triangle ACG$ 는 $C$ 에서 직각이고 두 변이 $6$ 이므로 넓이는 $\tfrac{1}{2}(6)(6) = 18$.
- 첫 번째 색칠된 $\triangle BDC$ 도 $C$ 에서 직각이고 두 변 $BC = 3$, $CD = 3$ (각각 원래 변의 절반).
💡 꼭짓점에 직각이 놓이면 밑변과 높이가 그대로 두 변 — 그림에서 바로 읽는 7학년 "삼각형 넓이" 입니다.
7.G.A.1 단계 2 - 다음 단계 삼각형에도 같은 작업을 해 보며 패턴을 잡습니다.
- 다음 회차는 $\triangle JDG$ — 두 변이 $3$ 인 직각이등변삼각형(원래 $6$ 의 절반).
- 그 안에서 중점을 이으면 두 변이 $\tfrac{3}{2}$ 인 $\triangle KED$ 가 색칠됩니다.
💡 모든 변을 절반으로 줄이는 것은 축척 $\tfrac{1}{2}$ 짜리 닮음 — 7학년 축척 도형 그리기와 같습니다.
7.RP.A.2 단계 3 - 연속한 두 색칠 넓이를 비교해 일정한 비를 찾습니다.
- 변이 절반이 될 때마다 넓이는 $\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4}$ 로 줄어요.
- 위에서 구한 두 값으로 직접 확인합니다.
💡 회차마다 같은 비율 $\tfrac{1}{4}$ 로 줄어드는 것이 바로 7학년 비례 관계의 표시 — 매 단계가 같은 배수로 작아집니다.
8.EE.A.1 단계 4 - 부분 합을 차례로 적고 어떤 값에 다가가는지 봅니다.
- 색칠 넓이 $\tfrac{9}{2}, \tfrac{9}{8}, \tfrac{9}{32}, \dots$ 는 매 항이 이전 항의 $\tfrac{1}{4}$.
- 부분 합을 더해 보면서 $6$ 까지 남은 간격이 어떻게 줄어드는지 보세요.
💡 한 회차마다 $6$ 까지 남은 간격이 약 $\tfrac{3}{4}$ 만큼 줄어들죠. 남은 간격이 매번 $\tfrac{1}{4}$ 배 — 8학년 "$\tfrac{1}{4}$ 의 거듭제곱" 패턴입니다.
8.EE.C.7 단계 5 - 더 쉬운 문제로 줄이기: $100$ 회를 무한 번으로 바꿉니다.
- 회차마다 남은 간격의 $\tfrac{1}{4}$ 만 새로 남으니 총합은 어떤 한 값 $T$ 로 수렴합니다.
- 첫 항을 빼고 나머지 모든 항의 합은 전체 패턴을 $\tfrac{1}{4}$ 만큼 축소한 것과 같으므로 자기 닮음 방정식 $T = \tfrac{9}{2} + \tfrac{1}{4} T$ 가 성립합니다.
💡 패턴 자체가 $\tfrac{1}{4}$ 축척으로 자기 자신을 반복하니, 미지수 총합이 8학년 한 단계 일차방정식을 만족합니다. 푸면 정확한 무한 합이 나와요.
8.EE.A.1 단계 6 - $100$ 회 합과 무한 합을 비교합니다.
- $100$ 회에서 멈추면 $101$ 번째 항부터의 꼬리만 빠지는데, 그 꼬리는 $T = 6$ 에 $\left(\tfrac{1}{4}\right)^{100}$ 을 곱한 값 — 소수점 아래 $60$ 자리 넘게 $0$ 이 이어지는 수입니다.
- 그래서 $100$ 회 합은 $6$ 보다 아주 약간 작고, 가장 가까운 정수는 $6$.
💡 $\left(\tfrac{1}{4}\right)^{100}$ 은 반올림 기준 $\tfrac{1}{2}$ 보다 어마어마하게 작은 8학년 "매우 작은 거듭제곱" — 무한 합과 같은 정수로 반올림됩니다.
7.G.B.6 첫 번째 색칠된 삼각형을 그림에서 바로 읽어냅니다. $\triangle ACG$ 는 $C$ 에서 직각이고 두 변이 $6$ 이므로 넓이는 $\tf 7.G.A.1 다음 단계 삼각형에도 같은 작업을 해 보며 패턴을 잡습니다. 다음 회차는 $\triangle JDG$ — 두 변이 $3$ 인 직각이등변삼각형(원 7.RP.A.2 연속한 두 색칠 넓이를 비교해 일정한 비를 찾습니다. 변이 절반이 될 때마다 넓이는 $\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \t 8.EE.A.1 부분 합을 차례로 적고 어떤 값에 다가가는지 봅니다. 색칠 넓이 $\tfrac{9}{2}, \tfrac{9}{8}, \tfrac{9}{32}, 8.EE.C.7 더 쉬운 문제로 줄이기: $100$ 회를 무한 번으로 바꿉니다. 회차마다 남은 간격의 $\tfrac{1}{4}$ 만 새로 남으니 총합은 어떤 한 8.EE.A.1 $100$ 회 합과 무한 합을 비교합니다. $100$ 회에서 멈추면 $101$ 번째 항부터의 꼬리만 빠지는데, 그 꼬리는 $T = 6$ 에 $\ 검토
합리성 확인: 그림과 무한 합을 비교해 확인해 봅시다. 첫 번째 색칠 삼각형 넓이만 해도 $\tfrac{9}{2} = 4.5$ 라 벌써 $6$ 의 대부분을 차지해요. 두 번째까지 더하면 $5.625$, 세 번째까지 $5.906$, 네 번째까지 약 $5.977$ — 매번 $6$ 까지 남은 간격의 $\tfrac{3}{4}$ 가 줄어드니 총합은 결코 $6$ 에 닿지 않습니다. $100$ 회 후 남은 간격은 $6 \cdot \left(\tfrac{1}{4}\right)^{100}$ 으로 사실상 $0$. 따라서 총합은 $6$ 보다 살짝 작고, 가장 가까운 정수는 $6$, 답 (A) 와 일치합니다. 큰 삼각형 전체 넓이가 $18$ 이고 색칠 삼각형들은 $G$ 쪽으로 가는 가느다란 계단 모양을 채우니, 약 $18$ 의 $\tfrac{1}{3}$ 이라는 결과는 직관적으로도 자연스럽습니다.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 색칠 삼각형 넓이를 더하는 대신, 매 회차가 현재 삼각형을 어떻게 나누는지 봅니다. 매 회차는 현재 직각이등변삼각형을 합동인 네 조각으로 나누고, 그중 하나를 색칠, 또 하나(위쪽 $G$ 쪽)는 다음 회차의 새 삼각형이 됩니다. 즉 매 회차 색칠 넓이는 다음 회차의 "현재 삼각형" 넓이와 같아요. 모든 색칠 넓이의 합은 회차 $2$ 부터의 "현재 삼각형" 넓이 합과 같고, 그것은 회차 $2$ 의 삼각형 넓이($\tfrac{9}{2}$) 더하기 같은 패턴을 한 칸 밀어 놓은 합 — 같은 자기 닮음 식 $T = \tfrac{9}{2} + \tfrac{1}{4} T$ 와 같은 총합 $6$ 으로 이어집니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
7.G.B.6삼각형으로 이루어진 평면 도형의 넓이 문제 해결하기 (첫 번째 색칠 삼각형 $\triangle BDC$ 의 넓이를 $\tfrac{1}{2}(3)(3) = \tfrac{9}{2}$, 두 번째를 $\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{3}{2}\right)\left(\tfrac{3}{2}\right) = \tfrac{9}{8}$ 으로 계산하는 데 사용.)7.G.A.1도형의 축척 그림과 관련된 문제 해결하기 (각 새 삼각형이 이전 삼각형의 축척 $\tfrac{1}{2}$ 닮음 — 넓이는 $\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4}$ 로 줄어드는 것을 확인하는 데 사용.)7.RP.A.2양 사이의 비례 관계 인식하고 표현하기 (연속한 색칠 삼각형 사이의 일정한 넓이비 $\tfrac{1}{4}$ 를 비례 관계로 읽어내, 회차마다 같은 배수로 줄어드는 패턴을 잡는 데 사용.)8.EE.A.1정수 지수의 성질을 알고 적용하기 (꼬리 $\left(\tfrac{1}{4}\right)^{100}$ 을 $\tfrac{1}{4}$ 의 정수 거듭제곱으로 쓰고 그 값이 무시할 만큼 작음을 확인 — $S_{100}$ 이 무한 합과 같은 정수로 반올림되는 근거.)8.EE.C.7일변수 일차방정식 풀기 (자기 닮음 식 $T = \tfrac{9}{2} + \tfrac{1}{4} T$ 를 풀어 무한 합 $T = 6$ 을 얻는 데 사용.)
⭐ 회차마다 색칠 삼각형 넓이가 이전의 $\tfrac{1}{4}$ 로 줄어들어, 부분 합이 $4.5 \to 5.625 \to 5.906 \to 5.977 \to \dots$ 처럼 매번 $6$ 까지 남은 간격의 $\tfrac{3}{4}$ 만큼 좁혀집니다. 절대 $6$ 에 닿지는 않지만 $100$ 회 후 남은 간격은 사실상 $0$ — 총 넓이는 사실상 $6$, 답 (A).
⭐ 회차마다 색칠 삼각형 넓이가 이전의 $\tfrac{1}{4}$ 로 줄어들어, 부분 합이 $4.5 \to 5.625 \to 5.906 \to 5.977 \to \dots$ 처럼 매번 $6$ 까지 남은 간격의 $\tfrac{3}{4}$ 만큼 좁혀집니다. 절대 $6$ 에 닿지는 않지만 $100$ 회 후 남은 간격은 사실상 $0$ — 총 넓이는 사실상 $6$, 답 (A).
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