AMC 8 · 2025 · #20
학년 6 rate-ratioalgebra문제
사리카, 데브, 라지브가 커다란 치즈 한 덩어리를 나누어 먹고 있습니다. 그들은 매번 남아 있는 치즈의 절반을 잘라 먹는 것을 차례대로 반복합니다. 먼저 사리카가 치즈의 절반을 먹고, 그 다음 데브가 남은 절반의 절반을 먹고, 그 다음 라지브가 다시 남은 것의 절반을 먹고, 다시 사리카로 돌아가는 식입니다. 치즈가 더 이상 눈에 보이지 않을 정도로 작아지면 멈춥니다. 사리카가 모두 합쳐 먹는 양은 원래 치즈 덩어리의 약 몇 분의 몇입니까?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 사리카, 데브, 라지브가 이 순서를 반복하며 차례로 "지금 남아 있는 치즈의 절반" 을 먹습니다. 사리카 $\to$ 데브 $\to$ 라지브 $\to$ 사리카 $\to$ ... 순서가 끝없이 이어지고, 치즈가 너무 작아져서 보이지 않을 때까지 계속됩니다. 사리카가 모든 차례를 합쳐 먹는 양은 원래 치즈 덩어리의 몇 분의 몇인지 구하는 문제입니다.
주어진 것: 시작할 때 치즈 덩어리는 통째로 $1$ 개($= 1$); 차례가 돌아온 사람은 그 시점에 남아 있는 치즈의 정확히 절반을 먹는다; 차례 순서: 사리카 $\to$ 데브 $\to$ 라지브 $\to$ 사리카 $\to \dots$; 남는 양이 사실상 $0$ 이 될 때까지 이 과정을 계속한다; 선택지: (A) $\tfrac{4}{7}$, (B) $\tfrac{3}{5}$, (C) $\tfrac{2}{3}$, (D) $\tfrac{3}{4}$, (E) $\tfrac{7}{8}$
구하는 것: 사리카가 결국 먹게 되는 치즈가 원래 덩어리의 몇 분의 몇인지
이해
문제 재정리: 사리카, 데브, 라지브가 이 순서를 반복하며 차례로 "지금 남아 있는 치즈의 절반" 을 먹습니다. 사리카 $\to$ 데브 $\to$ 라지브 $\to$ 사리카 $\to$ ... 순서가 끝없이 이어지고, 치즈가 너무 작아져서 보이지 않을 때까지 계속됩니다. 사리카가 모든 차례를 합쳐 먹는 양은 원래 치즈 덩어리의 몇 분의 몇인지 구하는 문제입니다.
주어진 것: 시작할 때 치즈 덩어리는 통째로 $1$ 개($= 1$); 차례가 돌아온 사람은 그 시점에 남아 있는 치즈의 정확히 절반을 먹는다; 차례 순서: 사리카 $\to$ 데브 $\to$ 라지브 $\to$ 사리카 $\to \dots$; 남는 양이 사실상 $0$ 이 될 때까지 이 과정을 계속한다; 선택지: (A) $\tfrac{4}{7}$, (B) $\tfrac{3}{5}$, (C) $\tfrac{2}{3}$, (D) $\tfrac{3}{4}$, (E) $\tfrac{7}{8}$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #16 관점 바꾸기
$\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{16} + \tfrac{1}{128} + \dots$ 같은 무한급수를 직접 더하는 방법은 고등학교 수준입니다. 그 대신 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 사리카-데브-라지브 한 주기(cycle) 만 통덩어리에 대해 직접 계산해 봅니다. 그러면 도구 #5(패턴 찾기) 로 "한 주기 안에서 세 사람이 먹는 양이 언제나 $4 : 2 : 1$ 의 일정한 비율을 이룬다" 는 사실이 보입니다. 마지막으로 도구 #16(관점 바꾸기) 으로 "사리카의 끝없는 조각들을 무한히 더한다" 가 아니라 "세 사람이 합쳐 덩어리 전체를 먹으니, 전체를 $4 : 2 : 1$ 비율로 나눈다" 라는 관점으로 바꿉니다. 이렇게 하면 무한급수 없이 초등학교 수준의 비례 추론만으로 답이 나옵니다.
실행 — 정답: A
5.NF.B.4 단계 1 - 크기 $1$ 인 통덩어리로 한 주기를 직접 돌려서 세 사람이 각각 얼마를 먹는지 봅시다.
- 사리카가 $\tfrac{1}{2}$ 를 먹으면 $\tfrac{1}{2}$ 가 남고, 데브가 그 절반인 $\tfrac{1}{4}$ 를 먹으면 $\tfrac{1}{4}$ 가 남고, 라지브가 또 그 절반인 $\tfrac{1}{8}$ 을 먹으면 $\tfrac{1}{8}$ 이 남습니다.
💡 "끝없이 반복" 이라는 추상적인 문제를 한 주기만 직접 계산하면, 5학년 분수 곱셈으로 다룰 수 있는 구체적인 문제로 줄어듭니다.
6.RP.A.1 단계 2 - 한 주기에서 세 사람이 먹은 양을 비교합니다.
- $8$ 을 곱해 분모를 없애면 사리카는 $4$ 칸, 데브는 $2$ 칸, 라지브는 $1$ 칸, 그리고 $1$ 칸이 다음 주기로 남습니다.
- 즉 한 주기 안에서 사리카 $:$ 데브 $:$ 라지브 $= 4 : 2 : 1$ 입니다.
💡 절반을 세 번 연속으로 잘라 가는 구조이므로, 뒷사람은 항상 앞사람의 절반을 먹게 됩니다 — 6학년 비율 그대로의 패턴입니다.
6.RP.A.1 단계 3 - 이 $4 : 2 : 1$ 비율은 모든 주기에서 똑같이 유지됩니다.
- 첫 주기 후 남은 양은 원래의 $\tfrac{1}{8}$ 뿐인데, 두 번째 주기는 그저 크기만 줄어든 같은 모양의 주기이므로 사리카는 $\tfrac{1}{8}$ 의 $\tfrac{4}{7}$, 데브는 $\tfrac{2}{7}$, 라지브는 $\tfrac{1}{7}$ 을 먹어 비율이 그대로입니다.
- 따라서 게임 전체에서 세 사람이 먹은 총량의 비도 $4 : 2 : 1$ 입니다.
💡 각 주기가 같은 비율로 나뉘면 모든 주기의 합도 똑같은 비율로 나뉩니다.
6.RP.A.3 단계 4 - "사리카의 무한히 많은 조각을 다 더한다" 는 관점을 "덩어리 전체를 $4 : 2 : 1$ 비율로 나눈다" 로 바꿉니다.
- 남은 양이 결국 $0$ 으로 줄어들기 때문에 세 사람이 합쳐 덩어리 $1$ 개를 모두 먹은 셈입니다.
- 비율 부분의 합은 $4 + 2 + 1 = 7$ 이므로, $1$ 부분은 덩어리의 $\tfrac{1}{7}$ 입니다.
💡 전체를 정해진 비율로 나누는 것은 무한급수 없이도 답을 주는 6학년 "비례로 분배하기" 그대로입니다.
6.RP.A.3 단계 5 - 사리카는 $7$ 부분 중 $4$ 부분의 주인이므로 덩어리의 $\tfrac{4}{7}$ 을 먹습니다.
- 선택지 (A) 와 일치합니다.
💡 내 비율 조각을 전체 비율 합으로 나눈다 — 6학년 비례 계산의 기본 동작입니다.
5.NF.B.4 크기 $1$ 인 통덩어리로 한 주기를 직접 돌려서 세 사람이 각각 얼마를 먹는지 봅시다. 사리카가 $\tfrac{1}{2}$ 를 먹으면 $\tf 6.RP.A.1 한 주기에서 세 사람이 먹은 양을 비교합니다. $8$ 을 곱해 분모를 없애면 사리카는 $4$ 칸, 데브는 $2$ 칸, 라지브는 $1$ 칸, 그리 6.RP.A.1 이 $4 : 2 : 1$ 비율은 모든 주기에서 똑같이 유지됩니다. 첫 주기 후 남은 양은 원래의 $\tfrac{1}{8}$ 뿐인데, 두 번째 주 6.RP.A.3 "사리카의 무한히 많은 조각을 다 더한다" 는 관점을 "덩어리 전체를 $4 : 2 : 1$ 비율로 나눈다" 로 바꿉니다. 남은 양이 결국 $0$ 6.RP.A.3 사리카는 $7$ 부분 중 $4$ 부분의 주인이므로 덩어리의 $\tfrac{4}{7}$ 을 먹습니다. 선택지 (A) 와 일치합니다. 검토
합리성 확인: 사리카는 매번 가장 먼저 "지금 남은 것의 절반" 을 가져가므로 셋 중 가장 많이 먹어야 합니다. 다만 다른 두 사람도 매 주기마다 함께 먹으므로 $\tfrac{2}{3}$ 이상이 되기는 어렵습니다. $\tfrac{4}{7} \approx 0.571$ 은 $\tfrac{1}{3}$ 과 $\tfrac{2}{3}$ 사이에 자연스럽게 자리 잡는 반면, 선택지 (C) $\tfrac{2}{3}$ 나 (D) $\tfrac{3}{4}$ 은 데브와 라지브의 몫을 너무 좁힙니다. 부분합으로도 확인됩니다: $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{16} = \tfrac{9}{16} = 0.5625$, 한 항 더 더하면 $\tfrac{73}{128} \approx 0.5703$ — 정확히 $\tfrac{4}{7} \approx 0.5714$ 로 수렴합니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 식의 대수 확인. 한 주기 구조 덕분에 데브의 총량은 사리카의 절반, 라지브의 총량은 사리카의 $\tfrac{1}{4}$ 입니다. 그러면 사리카 $+$ 데브 $+$ 라지브 $= S(1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4}) = \tfrac{7}{4} S = 1$ 이고, $S = \tfrac{4}{7}$ 이 즉시 나옵니다. 다른 길로도 같은 답 (A) — 비율 풀이가 옳다는 교차 확인이 됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.NF.B.4분수와 분수의 곱셈으로 곱셈의 이해 확장 (첫 주기에서 절반을 차례로 곱해 각자의 몫을 구하는 데 사용: $\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{8}$.)6.RP.A.1비(ratio)의 개념 이해와 비의 언어 사용 (첫 주기의 세 조각 $\tfrac{1}{2} : \tfrac{1}{4} : \tfrac{1}{8}$ 을 정수 비 $4 : 2 : 1$ 로 표현하고, 이 비율이 모든 주기에서 똑같이 유지된다는 사실을 인식.)6.RP.A.3비와 비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (덩어리 전체를 $4 : 2 : 1$ 의 비로 나누어, 무한급수 합 없이 사리카의 몫 $\tfrac{4}{4+2+1} = \tfrac{4}{7}$ 을 바로 구함.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "$4 : 2 : 1$ 비율로 전체를 나누는" 비례 추론만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "$4 : 2 : 1$ 비율로 전체를 나누는" 비례 추론만 알면 풀 수 있어요!