AMC 8 · 2000 · #11

학년 4 number-theory

divisibility-rulesdigit-constraintssystematic-enumeration caseworksystematic-enumerationdigit-constraints ↑ 선수 지식: divisibility-rulesmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

The number $64$ has the property that it is divisible by its unit digit. How many whole numbers between 10 and 50 have this property?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $64$ 는 일의 자리 숫자 $4$ 로 나누어떨어집니다 ($64 \div 4 = 16$). $10$ 보다 크고 $50$ 보다 작은 자연수 중에서 자기 자신이 일의 자리 숫자로 나누어떨어지는 수는 몇 개일까요?

주어진 것: 범위: $10$ 보다 크고 $50$ 보다 작은 자연수, 즉 $11, 12, 13, \dots, 49$; 수 $N$ 의 "성질" $=$ $N$ 이 자신의 일의 자리 숫자 $u$ 로 나누어떨어진다; $u = 0$ 인 수는 자동 제외 — $0$ 으로 나누는 것은 정의되지 않음; 선택지: (A) $15$, (B) $16$, (C) $17$, (D) $18$, (E) $20$

구하는 것: $\{11, 12, \dots, 49\}$ 안에서 일의 자리 숫자로 나누어떨어지는 수의 개수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #3 가능성 지우기

범위 안 수는 $39$ 개뿐이라 전체 확인도 가능하지만, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 일의 자리 $u$ 별로 묶으면 훨씬 효율적입니다. 각 $u$ ($1$ 부터 $9$) 마다 후보는 $1u, 2u, 3u, 4u$ 네 개뿐이고, "$N$ 이 $u$ 로 나누어떨어지는가?" 라는 질문은 이 네 후보에 똑같이 적용됩니다. 그 다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 각 묶음에서 한 번의 나누어떨어짐 규칙으로 비배수를 잘라냅니다. 일의 자리별로 묶으면 $39$ 회 검사가 9 묶음(각 최대 4 개) 검사로 줄어들어 빠지거나 중복될 확률이 훨씬 낮아집니다.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.A.2 단계 1

경우 나누기 설정.
일의 자리 $u$ 를 $1$ 부터 $9$ 까지 고정합니다 ($u = 0$ 은 어떤 수도 $0$ 으로 나누어지지 않으므로 제외).
각 $u$ 에 대해 범위 안 후보는 정확히 $1u, 2u, 3u, 4u$ 네 개이고, 그중 어느 것이 $u$ 의 배수인지 확인합니다.

$$\text{일의 자리 } u \text{ 의 후보}: \;\{10+u,\; 20+u,\; 30+u,\; 40+u\}$$

💡 4학년 자릿값: 두 자리 수 $=$ (십의 자리) $\times 10 +$ (일의 자리). $u$ 를 고정하면 변하는 것은 십의 자리뿐입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 2

쉬운 일의 자리부터.
나누어떨어짐 규칙이 후보 $4$ 개를 모두 보장하는 경우입니다.
$u = 1$ 이면 모든 자연수가 $1$ 로 나누어떨어지고, $u = 2$ 이면 일의 자리가 $2$ 인 수는 짝수이므로 $2$ 로 나누어떨어지며, $u = 5$ 이면 일의 자리가 $5$ 인 수는 $5$ 로 나누어떨어집니다.

$$u=1: \{11,21,31,41\} \to 4. \quad u=2: \{12,22,32,42\} \to 4. \quad u=5: \{15,25,35,45\} \to 4.$$

💡 세 자리($1, 2, 5$)는 거저 얻습니다 — 끝자리만 보면 바로 결정되는 4학년 나누어떨어짐 규칙.

#3 가능성 지우기 3.OA.C.7 단계 3

중간 경우.
$u = 4$ 는 후보별로 직접 확인: $14, 24, 34, 44$ 중 $4$ 로 나누어떨어지는 것은 $24 = 4 \times 6$ 과 $44 = 4 \times 11$.
$u = 3$ 은 $13, 23, 33, 43$ 중 $33 = 3 \times 11$ 만.
$u = 6$ 은 $16, 26, 36, 46$ 중 $36 = 6 \times 6$ 만.
$u = 8$ 은 $18, 28, 38, 48$ 중 $48 = 8 \times 6$ 만.

$$u=4: \{24,44\} \to 2. \quad u=3: \{33\} \to 1. \quad u=6: \{36\} \to 1. \quad u=8: \{48\} \to 1.$$

💡 곱셈구구만 알면 됩니다 — $50$ 까지 $u$ 의 배수를 훑어 일의 자리가 정말 $u$ 인 것만 남깁니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 4

어렵지만 답이 없는 경우.
$u = 7$ 의 배수는 $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49$ — 범위 안에서 일의 자리가 $7$ 인 수는 없습니다 (다음으로 가능한 것은 $77$).
$u = 9$ 의 배수는 $9, 18, 27, 36, 45$ — 역시 일의 자리가 $9$ 인 수가 없습니다 (다음은 $99$).
두 경우 모두 $0$.

$$u=7: \{\,\} \to 0. \quad u=9: \{\,\} \to 0.$$

💡 $u$ 의 배수이면서 일의 자리도 $u$ 이려면 $u \cdot k$ 에서 $k$ 가 일정한 조건을 만족해야 하는데, $u = 7, 9$ 에서는 $k = 1$ 다음이 $k = 11$ 이어서 $77, 99$ 가 됩니다 — 모두 $[11, 49]$ 바깥.

#2 빠짐없이 나열하기 3.NBT.A.2 단계 5

$9$ 경우의 개수를 더해 최종 답을 구합니다.

$$\underbrace{4}_{u=1} + \underbrace{4}_{u=2} + \underbrace{1}_{u=3} + \underbrace{2}_{u=4} + \underbrace{4}_{u=5} + \underbrace{1}_{u=6} + \underbrace{0}_{u=7} + \underbrace{1}_{u=8} + \underbrace{0}_{u=9} = 17 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 빠짐없이 나열한 묶음들은 서로 겹치지 않으므로 (각 수의 일의 자리는 단 하나) 단순히 더하면 됩니다.

[1] #2 4.NBT.A.2 경우 나누기 설정. 일의 자리 $u$ 를 $1$ 부터 $9$ 까지 고정합니다 ($u = 0$ 은 어떤 수도 $0$ 으로 나누어지지 않으므로 제외

[2] #3 4.OA.B.4 쉬운 일의 자리부터. 나누어떨어짐 규칙이 후보 $4$ 개를 모두 보장하는 경우입니다. $u = 1$ 이면 모든 자연수가 $1$ 로 나누어떨어지고

[3] #3 3.OA.C.7 중간 경우. $u = 4$ 는 후보별로 직접 확인: $14, 24, 34, 44$ 중 $4$ 로 나누어떨어지는 것은 $24 = 4 \times

[4] #3 4.OA.B.4 어렵지만 답이 없는 경우. $u = 7$ 의 배수는 $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49$ — 범위 안에서 일의 자리가 $7$ 인 수

[5] #2 3.NBT.A.2 $9$ 경우의 개수를 더해 최종 답을 구합니다.

검토

합리성 확인: $17$ 개 수를 십의 자리별로 다시 적어 누락·중복을 확인합니다. 십의 자리 $1$: $11, 12, 15$ ($3$ 개 — $14$ 는 $4$ 로 나누어떨어지지 않음). 십의 자리 $2$: $21, 22, 24, 25$ ($4$). 십의 자리 $3$: $31, 32, 33, 35, 36$ ($5$). 십의 자리 $4$: $41, 42, 44, 45, 48$ ($5$). 합계 $3 + 4 + 5 + 5 = 17$ — 일의 자리별 계산과 일치합니다. 규모 점검: 각 일의 자리당 평균 $17 / 9 \approx 1.9$ 개가 후보 $4$ 개 중 살아남으니 약 $47\%$, 절반은 "쉬운" 일의 자리이고 절반은 거의 안 나누어지는 자리라는 점을 생각하면 자연스러운 비율입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 단순 전수 검사: $11, 12, 13, \dots, 49$ 를 순서대로 따라가며 매번 나누어떨어짐을 직접 확인할 수도 있습니다. $39$ 회 검사로 같은 $17$ 이 나오지만, 일의 자리별 묶음(도구 #2)이 훨씬 빠릅니다 — 나누어떨어짐 규칙 한 번으로 후보 $4$ 개를 한꺼번에 처리하기 때문입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 1-100 범위 자연수의 모든 인수쌍 구하기; 주어진 한 자리 수의 배수인지 판단하기 (각 후보 $N \in \{11, \dots, 49\}$ 에 대해 $N$ 이 자신의 일의 자리 $u$ 의 배수인지 판단하는 데 사용 — 이 표준이 정확히 말하는 "$u$ 의 배수인가?" 작업입니다.)
4.NBT.A.2 다자리 자연수를 십진 표기·이름·전개식으로 읽고 쓰기 (두 자리 수 $N = 10 \cdot t + u$ ($t \in \{1,2,3,4\}$) 의 일의 자리 $u$ 를 읽어 일의 자리별 경우 분할의 기준으로 삼는 데 사용.)
3.OA.C.7 100 이내 곱셈·나눗셈을 능숙하게 수행하기 ($14 \div 4$, $24 \div 4$, $33 \div 3$, $36 \div 6$, $48 \div 8$ 등 실제 나누어떨어짐 점검을 곱셈구구로 처리하는 데 사용.)
3.NBT.A.2 1000 이내 덧셈·뺄셈을 능숙하게 수행하기 ($9$ 경우 개수 $4 + 4 + 1 + 2 + 4 + 1 + 0 + 1 + 0 = 17$ 을 더해 최종 답을 얻는 데 사용.)

⭐ $39$ 개 수를 일의 자리별로 묶어 한 번에 한 규칙으로 확인하세요. 쉬운 자리 셋($1, 2, 5$)만으로 $12$ 개를 얻고, 나머지에서 $5$ 개를 더해 합 $17$ — 답은 (C).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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